三角函数的和差角公式

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝
sin αcos β－cos αsin β ；
tan α＋tan β (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝ 1－tan αtan β
；
tan α－tan β (6)T(α－β)：tan(α－β)＝ 1＋tan αtan β .
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin αcos α ；
(1)S2α：sin 2α＝
cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1＝ 1－2sin2α (2)C2α：cos 2α＝ ；
2tan α 1－tan2α (3)T2α：tan 2α＝
.
3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
1＋cos 2α 1－cos 2α 2 (2)cos α＝ ，sin α＝ ； 2 2
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、 准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β ＝tan(α＋β)· (1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多
种变形等．
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推 广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用
两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间
的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
π 3 1．(1)已知 sin α＝ ，α∈ ，π，则 5 2
5 (2)(2013· 远 模 拟 ) 已 知 α 为 锐 角 ， cos α ＝ 5 ， 则 清
π π 10 6 0， ，f 3α＋ ＝ (2)设α，β∈ 2 2 13 ，f(3β＋2π)＝ 5 ，
求cos(α＋β)的值．
[自主解答]
1 π (1)∵f(x)＝2sin3x－6，
5π 5π π π ＝2sin － ＝2sin ＝ ∴f 4 4 12 6
α＝________.
π tan α＋1 2 解析：tanα＋ 4＝ ＝ ， 1－tan α 5
即 5tan α＋5＝2－2tan α. 3 则 7tan α＝－3，故 tan α＝－ . 7
3 答案：－ 7
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”． “符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋” 号；前面是两角差，则后面中间为“－”号． (2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
π 3 4 ∵sin α＝ ，α∈2，π，∴cos α＝－ . 5 5 7 ∴原式＝－ . 5 2×2 2 5 (2)依题意得，sin α＝ ，故 tan α＝2，tan 2α＝ ＝ 5 1－4
4 π 1－3 4 1 － ，所以 tan4＋2α＝ ＝－ . 3 4 7 1＋ 7 3 答案：(1)－ (2)B 5
2.
π π 10 6 0， ，f3α＋ ＝ ，f(3β＋2π)＝ ， (2)∵α，β∈ 2 2 13 5 π 6 10 ∴2sin α＝ ，2sinβ＋2 ＝ . 13 5
5 3 即sin α＝ ，cos β＝ . 13 5 12 4 ∴cos α＝ ，sin β＝ . 13 5 ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 12 3 5 4 16 ＝ × － × ＝ . 13 5 13 5 65
式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低
次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观 察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中 的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
[例 1]
(2011· 广东高考)
已知函数
1 π f(x)＝2sin3x－6，x∈R.
(1)求
5π f 4 的值；
x (1)∵f(x)＝2cos2 － 3sin x＝1＋cos x－ 3 2
π sin x＝1＋2cosx＋ ， 3
∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．
π 1 1 1 (2)∵fα－ ＝ ，∴1＋2cos α＝ ，即cos α＝－ . 3 3 3 3
2 2 . 3 cos2α－sin2α cos 2α ∴ ＝ 1＋cos 2α－sin 2α 2cos2α－2sin αcos α 1 2 2 cos α＋sin α －3＋ 3 1－2 2 ＝ ＝ ＝ . 2 2 2cos α － 3 ∵α为第二象限角，∴sin α＝
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所
得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－ 1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是
逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、 变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知 角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变
π tan4＋2α＝
＝________. π 2sinα＋ 4
cos 2α
(
1 B．－ 7 D．－7
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．－3 4 C．－ 3
cos2α－sin2α 解析：(1) ＝ ＝cos α－sin α π 2 2 2sinα＋ 4 2 sin α＋ cos α 2 2 cos 2α
答案：B
2 3．已知 sin α＝ ，则 cos(π－2α)等于( 3
)
5 A．－ 3 1 C. 9
1 B．－ 9 5 D. 3
解析： cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α 4 1 －1＝2× －1＝－ . 9 9
答案：B
4 4．(教材习题改编)若 cos α＝－ ，α 是第三象限角，则 5
2
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α± α＝ cos
π 2sinα± . 4
[小题能否全取]
sin 2α 1．(2011· 福建高考)若 tan α＝3，则 2 的值等于( cos α )
A．2
B．3
三角函数公式的逆用与变形应用
[例 2]
(2013· 德州一模)已知函数 f(x)＝2cos － 3sin x. 2 (1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
π 1 cos 2α α－ ＝ ，求 (2)若α为第二象限角，且f 3 3 1＋cos 2α－sin 2α
2x
的值．
[自主解答]
π sinα＋4 ＝________
3 解析：由已知条件 sin α＝－ 1－cos α＝－ ， 5
2
π sinα＋4 ＝
2 2 7 2 sin α＋ cos α＝－ . 2 2 10
7 2 答案：－ 10
π 2 5．若tanα＋4 ＝ ，则tan 5
[知识能否忆起]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1) C(α－β)：cos(α－β)
＝
cos αcos β＋sin αsin β
；
(2) C(α＋β)：cos(α＋β)＝ (3) S(α＋β)：sin(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin； β sin αcos β＋cos αsin β；
C．4
D．6
sin 2α 2sin αcos α 解析： ＝ ＝2tan α＝2×3＝6. cos2α cos2α
答案： D
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为
2 A．－ 2 3 C. 2 2 B. 2 D．1
(
)
解析：原式＝sin 68° 23° cos －cos 68° 23° sin ＝sin(68° 2 －23° )＝sin 45° ＝ . 2
自主解答1fx2sin1013f3210132sin13cos1213sincoscoscossinsin12131665两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广可用的三角函数表示的三角函数在使用两角和与差的三角函数公式时特别要注意角与角之间的关系完成统一角和角与角转换的目的
两角和与差的正弦、余弦和正切公式