《任意角》示范课教案【高中数学】

《任意角》教学设计
◆教学目标
1. 了解任意角的概念，能区分正角、负角和零角.
2. 掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3. 会表示终边相同的角的集合。

◆教学重难点
◆
教学重点：理解任意角的意义．
教学难点：会用集合符号表示终边相同的角．
◆课前准备
PPT课件．
◆教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本第158页，回答下列问题：
（1）本章将要研究哪类问题？
（2）本章研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.
预设的答案：（1）本章将要研究三角函数.（2）起点是自然界的周期现象，目标建构刻画周期性现象的数学模型. 为了刻画圆周上点的运动，用（r,α）,（x,y）都可以表示圆周上的点.
设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、新课导入
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．
运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．
你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
引语：要解决这个问题，就需要进一步学习任意角.（板书：第1课时 7.1.1任意角） 设计意图：情境导入，引入新课。

【探究新知】
在某次跳水比赛中，甲运动员顺时针腾空转体两周半入水，乙运动员逆时针腾空转体一周半入水。

根据上述材料回答以下问题：
问题1：设甲运动员转过的角为α，如何用任意角来描述甲运动员的动作？
问题2：设乙运动员转过的角为β，如何用任意角来描述乙运动员的动作？
问题3: α与β有何关系？ 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：1. 900α=-︒ 2. 540β=︒ 3. α与β终边相同.
追问1：阅读教材第159页，思考任意角的定义及角的分类？
预设的答案：1 任意角的定义、图示、记法 有关概念
描 述 定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成
的图形
图示
其中O 为顶点，OA 为始边，OB 为终边
记法
角α或α∠，或简记为α
2角的分类
名称
定义 正角
按逆时针方向旋转形成的角 负角
按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 追问2：在坐标系中，以x 轴的非负半轴为始边，思考：
1、210°角终边落在第几象限？-45°角终边落在第几象限？-150°角终边落在第几象限？
2、0°、90°角的终边落在什么位置？
预设的答案：1、210°角终边落在第三象限；-45°角终边落在第四象限；-150°角终边落在第三象限．
2、0°角终边落在x轴非负半轴. 90 角落在y轴非负半轴。

追问3：象限角与轴线角如何定义？
预设的答案：（1）象限角:在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.
(2) 轴线角: 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在坐标轴上. 问题4:与角α终边相同的角的集合如何表示？
预设的答案：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
说明：对终边相同的角的理解
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同。

设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
【巩固练习】
例1. 给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角．
其中正确说法的序号为________．(把正确说法的序号都写上)
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③错误．
反思与感悟：解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．
设计意图：明确、区分锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念。

例2.已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是() A．①②B．①③C．②③D．②④
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：－120°为第三象限角，①错；－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②对；180°为轴线角；495°＝360°＋135°，∵135°为第二象限角，∴495°为第二象限角，故④对．故选D .
反思与感悟：判断象限角的步骤：①当0°≤α<360°时，直接写出结果；②当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
设计意图：明确象限角的判断方法。

例3. 已知1910α=-︒．
（1）把α写成360(k k αβ=+︒∈Z ，0360)β︒<︒的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且7200θ
-︒︒． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：（1）∵19103606-︒÷︒=-余250︒，
∴19106360250-︒=-⨯︒+︒，
∴相应的250β=︒，是第三象限角．
∴6360250α=-⨯︒+︒是第三象限角．
（2）令250360()k k θ=︒+︒∈Z ，
取1k =-，2-，则250360110︒-︒=-︒，250720470︒-︒=-︒．
∴与α的终边相同，且适合7200θ-︒︒的角θ为110-︒角，470-︒角．
反思与感悟： 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．
设计意图：明确终边相同的角的表示及运用。

【课堂小结】
1.板书设计：
第1课时 7.1.1任意角
1. 任意角概念的理解 例1
2. 象限角的判定 例2
3. 终边相同的角 例3 2．总结概括：
问题：1.与角α终边相同的角如何表示？
2. 象限角如何分类？如何表示？
3. 如何求适合某种条件且与已知角终边相同的角？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：1．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360S k ββα==+︒，}k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．象限角的分类及表示方法如下： 36090360,}k k α︒<<︒+︒∈Z 90360180360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z |180360270360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z 270360360360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z
3.先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确任意角的有关知识．
布置作业：
【目标检测】
1. 喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A ．30︒
B ．30-︒
C ．60︒
D ．60-︒
设计意图：巩固任意角的概念。

2. 给出下列四个命题：
①75-︒角是第四象限角；
②225︒角是第三象限角；
③475︒角是第二象限角；
④315-︒角是第一象限角；
⑤90-︒角是第四象限角．
其中正确的命题的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
设计意图：巩固象限角的概念。

3. 与457-︒角终边相同的角的集合是（ ）
A ．{|360457k αα=︒+︒，}k ∈Z
B ．{|36097k αα=︒+︒，}k ∈Z
C ．{|360263k αα=︒+︒，}k ∈Z
D ．{|360263k αα=︒-︒，}k ∈Z
设计意图：巩固终边相同的角的表示。

4. 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)的角．
设计意图：巩固终边相同的角的表示。

参考答案：
1. 利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，
又周角为360︒，所以有36026012
︒⨯=︒，即分针走过的角度是60-︒．故选D ． 2. 利用象限角的概念来判断．
先把已知角α写成360(,0360)k k αββ=︒+∈︒<︒Z 的形式，
再判断β是第几象限角，从而确定α是第几象限角．
所以①②③④都对．
90-︒的角的终边在y 轴的非正半轴上，
所以90-︒角不是第四象限角．因此⑤是不正确的．所以正确的命题的个数是4．故选C ．
3. 由4572360263-︒=-⨯︒+︒，可得给论为C ，或者由457-︒角与97-︒角终边相同，97-︒角与263︒角终边相同，263︒角应与360263k ︒+︒角终边相同，故应选C ．
4. 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )，
(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.。