衡水中学2020届高三二轮数学专题04 函数与导数(讲)(解析版)

x 1
x 1
1 x
1 x
1 x
1
x
1 1
x
2
2
(1
x)
1 1
x
2
0
，当 1
x
1 1
x
，即
x
0
时取等号，∴
2a
g ( x)max
0
，则 a
0
.当
x
1 时，
f
(x) x
恒成立，令 h(x)
x ln x
，
则
h( x)
ln x 1 (ln x)2
，当
x
e
时，
B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0
D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当 x＜0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得 x ，则 y＝f（x）﹣ax﹣b
最多有一个零点；当 x≥0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，
4．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直 x
线 x y 0 的距离的最小值是 .
【答案】4
【解析】由
y
x
4 x
(x
0) 得
y
1
4 x2
，设斜率为 1的直线与
y
x
4 x
(x
0) 切于 (x0 , x0
4 )，
x0
1、确定函数单调区间的步骤
（1）确定函数 f(x)的定义域。（2）求 f′(x)。
（3）解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间。
（4）解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。
导数与函 2．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在
数单调性
(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
3、根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的
子集。
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空
子区间上 f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解。
y x2 (a 1)x ，当 a+1≤0，即 a≤﹣1 时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则 y＝f
（x）﹣ax﹣b 最多有一个零点，不合题意；当 a+1＞0，即 a>﹣1 时，令 y′＞0 得 x∈(a+1，+∞），此时函 数单调递增，令 y′＜0 得 x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 y＝ f（x）﹣ax﹣b 恰有 3 个零点⇔函数 y＝f（x）﹣ax﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有 2 个零点，如图：
C．0, e
D．1, e
【答案】C
【解析】当 x 1 时， f (1) 1 2a 2a 1 0 恒成立；当 x 1时， f (x) x2 2ax 2a 0
2a x2 恒成立，令 g(x) x2 ，则 g(x) x2 (1 x 1)2 (1 x)2 2(1 x) 1
由 1
4 x02
1 得
x0
2 （ x0
2 舍 去 ）， ∴ 曲 线 y x 4 (x 0) 上 ， 点 P( x
2,3
2) 到 直 线
23 2
x y 0 的距离最小，最小值为
4 .故答案为 4 ．
12 12
【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导
1
∴ 0且
，解得 b＜0，1﹣a＞0，b
（a+1）3，则 a>–1，
b<0.故选 C．
3．【2019
年高考天津理数】已知
a
R
，设函数
f
(x)
x2 2ax
x
a
ln
x,
2a,
x 1, 若关于 x 的不等式 f (x) 0 x 1.
在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为（ ）
A． 0,1
B．0, 2
4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断
点。
5、个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0 在 x＝
导数的几 何意义
(2)求曲线过点 P 的切线，则 P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标 的方程解出切点坐标，进而写出切线方程。 2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并 解出参数。
3
(1)切点处的导数是切线的斜率。(2)切点在切线上。(3)切点在曲线上。
数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
一、考向分析：
函数与导数
导数的几 何意义
导数与函 数单调性
导数与函的 极值、最值
导数与不等式 导数与零点
二、考向讲解
考查内容
解 题 技巧 1．求切线方程的方法
(1)求曲线在点 P 处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数在点 P 处的导数，然后 利用点斜式写出切线方程。
h( x)
0
，函数
h(x)
单调递增，当
0
x
e
时，
h( x)
0
，函数
h(x)
单调递减，则 x e 时， h(x) 取得最小值 h(e) e ，∴ a h(x)min e ，综上可知， a 的取值范围是 [0, e] .
故选 C.
2
【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后 解决恒成立问题.
衡水中学 2020 届高三二轮数学 专题 04 函数与导数
1．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 y aex x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
（）
A． a e，b 1 C． a e1，b 1
【答案】D
B．a=e，b=1
D． a e1 ， b 1
【 解 析 】 ∵ y aex ln x 1, ∴ 切 线 的 斜 率 k y |x1 ae 1 2 ， a e1 ， 将 (1,1) 代 入 y 2x b ，得 2 b 1,b 1 .故选 D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属
于常考题型.
x, x 0
2．（2019 浙江）已知 a, b R ，函数
f
(
x)
1 3
x3
1 (a 1)x2 2
．若函数
ax, x 0
y
f (x) ax b 恰
有 3 个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0