2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）
一、选择题
1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()
A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.
答案 D
解析由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝
＝
＝＝.
2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.
4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.
答案 A
解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.
5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()
A. B. C. D.
答案 B
解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则解得
所以P，
所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.
6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()
A.B．4 C．2 D.
答案 D
解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()
A. B.C．2 D.
答案 D
解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x
＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()
A.B．1
C.D．2
答案 C
解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.
11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：
－
＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，
以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析 如图，
由题意知，以OF 为直径的圆的方程为
2＋y 2＝
①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②
得x ＝ ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝
，所以|PQ |
＝2
.
由|PQ |＝|OF |，得2
＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e
＝ ，故选A.
12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：
－
＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.
B.
C ．2
D ．3
答案 A
解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ .
又tan ∠POF ＝
＝
，所以等腰△POF 的高h ＝ ×
＝
，所以S △PFO ＝
× ×
＝
. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，则( )
A ．222a b =
B ．2234a b =
C ．2a b =
D ．34a b =
【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．
【解析】：由题意，1
2
c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，
22244a b a ∴-=，即2234a b =．
故选：B ．
【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．
14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③
【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．
【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；
当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…
，解得(0x ∈， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．
当0x >时，由2
2
1x y xy +=+得2222
12
x y x y xy ++-=…，（当x y =时取等），
222x y ∴+…，∴C 上y ，根据对
称性可得：曲线C
在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1
2112
=
⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．
【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．
15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()
A. B.C．2 D.
答案 D
解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
二、填空题
1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案(3，)
解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为
△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，则得
所以M的坐标为(3，)．
2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．
答案(x－1)2＋y2＝4
解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，
准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．
又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，
∴r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案－2
解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝ ＝ .
方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以
×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝ ＝ .
4．(2019·浙江，15)已知椭圆
＋
＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 答案
解析 依题意，设点P (m ，n )(n ＞0)，由题意知F (－2,0)，|OF |＝2，所以线段FP 的中点M
在圆x 2＋y 2＝4上，所以
2＋
2
＝4，又点P (m ，n )在椭圆 ＋
＝1上，
所以
＋
＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－
或m ＝
(舍去)，当m ＝－
时，n ＝
，所以k PF ＝
＝ .
5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－
＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________． 答案 y ＝± x
解析 因为双曲线x 2－
＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－
＝1，得b ＝ ，所以该双曲线的
渐近线方程是y ＝±bx ＝± x .
6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋
(x >0)上的一个动点，则点
P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4
解析 设P
，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝
＝≥
＝4，当且仅当
2x ＝
，即x ＝ 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.
7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：
－
＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若 ＝ ， · ＝0，则C 的离心率为________． 答案 2
解析 因为F 1B →·F 2B →
＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．
因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以＝，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案(3，)
解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为
△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，则＝，
＝，，
，
得
所以M的坐标为(3，)．
三、解答题
1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．
由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，
所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，
化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，
所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.
2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.
由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
则|y|·2c＝16，·＝－1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
又＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(x1，y1)，
则＝2y1.
由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
故＝x1，
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0，
于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.
设M为线段AB的中点，则M.
由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，||＝2，
所求圆的方程为x2＋2＝4；
当t＝±1时，||＝，
所求圆的方程为x2＋2＝2.
4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标x M＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|x M|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．
5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．
解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.
所以椭圆的离心率为.
(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.
由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．
点P的坐标满足消去y并化简，
得到7x2＋6cx－13c2＝0，
解得x1＝c，x2＝－.
代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.
因为点P在x轴上方，所以P.
由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．
因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，
故＝，解得t＝2.
因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.
又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
解(1)由题意得＝1，即p＝2.
所以，抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得
y2－y－4＝0，
故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.
又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.
即C，G.
所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，
得Q(t2－1,0)．
由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而
＝＝
＝＝2－.
令m＝t2－2，则m＞0，
＝2－＝2－≥2－＝1＋.
当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．
7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求点E的坐标．
解(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.
又因为DF1＝，AF2⊥x轴，
所以DF2＝＝＝.
因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.
由b2＝a2－c2，得b2＝3.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．
又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.
由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.
将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.
因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．
由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.
将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.
因此E.
方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.
因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.
因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.
所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．
因为F1(－1,0)，由得y＝±.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.
因此E.
8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．
(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．
解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.
因为PB⊥AB，
所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.
所以PB＝＝＝15.
因此道路PB的长为15(百米)．
(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，
所以∠BAD为锐角．
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．
设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1B sin∠P1BD＝P1B cos∠EBA ＝15×＝9；
当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置．
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径．
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．
方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.
因为AB为圆O的直径，AB＝10，
所以圆O的方程为x2＋y2＝25.
从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，
直线PB的方程为y＝－x－.
所以P(－13,9)，PB＝＝15.
所以道路PB的长为15(百米)．
(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，
所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．
在线段AD上取点M，
因为OM＝<＝5，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．
设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；
当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置．
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，
得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．
9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t<，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2，
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，
代入C的方程得x1＝3，x2＝，
即A(3,3)，B，
故|AB|＝.
10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.
(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；
(ⅱ)求△PQG面积的最大值．
(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．
由得x＝±.
记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．
由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①
设G(x G，y G)，则－u和x G是方程①的解，
故x G＝，由此得y G＝.
从而直线PG的斜率为＝－，
因为k PQ·k PG＝－1.
所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．
(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.
设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．
因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为.
11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E
为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面
积．
(1)证明 设D
，A (x 1，y 1)，则
＝2y 1.
由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故
＝x 1.
整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.
设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点
.
(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋
. 由
可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0， 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2 ＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝ |x 1－x 2|
＝ ＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝ ，d 2＝
，
因此，四边形ADBE 的面积S ＝
|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3) .
设M 为线段AB 的中点，则M
. 由于
⊥ ，而 ＝(t ，t 2－2)，
与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.
当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .
12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；
（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．
【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，
设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 可得124x x k +=-，124x x =-， 直线OM 的方程为11y y x x =，即14x
y x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24
x
y x =-， 可得14(
A x ，1)-，2
4
(B x ，1)-， 可得AB 的中点的横坐标为121142(
)224
k
k x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，
半径为212||1441616
||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．
则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．
【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
13．(2019·天津理，18)设椭圆
＋
＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为
. (1)求椭圆的方程；
(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．
解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c ＝1.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(x P，y P)(x P≠0)，M(x M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB 的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得x P＝－，
代入y＝kx＋2得y P＝.
所以直线OP的斜率为＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，
从解得k＝±.
所以直线PB的斜率为或－.。