辽宁省朝阳市中考数学试卷及答案

2011年辽宁省朝阳市中考数学试卷及解答
(时间：120分钟 满分：150分)
一、 选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)
1. 下列实数中，是无理数的为( )．
A. 3
B. 9
C. 3.14
D. 1
3
2. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
23
x ＋1＞0，
2－x ≥0
的整数解是( )．
A. 1,2
B. 0,1,2
C. －1,1,2
D. －1,0,1,2
3. 下面图中，能够判断∠1＞∠2的是( )．
4. 主视图、左视图、俯视图分别是下列三个图形的物体是( )．
(第4题)
5. 甲、乙两人5次射击命中的环数如下： 甲：7 9 8 7 9 乙：7 8 9 8 8
计算得甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环，甲命中环数的方差为0.8，由此可知( )．
A. 甲比乙的成绩稳定
B. 乙比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人成绩一样稳定
D. 无法确定谁的成绩更稳定
6. 如图，点P (2,1)是反比例函数y ＝k x
的图象上一点，则当y ＜1时，自变量x 的取值范围是( )．
A. x ＜2
B. x ＞2
C. x ＜2且x ≠0
D. x ＞2或x ＜0
7. 用配方法解一元二次方程x 2
－4x ＋2＝0时，可配方得( )．
A. (x －2)2＝6
B. (x ＋2)2＝6
C. (x －2)2＝2
D. (x ＋2)2
＝2
8. 如图，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，
下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④等腰梯形．一定能拼出的是( )．
A. 只有①②
B. 只有③④
C. 只有①③④
D. ①②③④
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．把解答直接填写在
题中的横线上)
9. 2011年3·15消费者权益日主题：消费与民生．某市2010年人均消费4 760元，这个数据是衡量你的月薪和消费是否平衡的最权威凭证．数据4 760元用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为________元．
10. 计算(－3a2b)·(ab2)3＝________.
11. 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4的度数为________．
(第11题)
12. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt △DEF，则点A的对应点D的坐标是________．(第12
题)
13. 如图，身高是1.6 m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆
的影子长分别为1.2 m和9 m，则旗杆的高度为________m. (第13题)
14. 一个扇形的圆心角是120°，面积为3π cm2，那么这个扇形的弧长为________cm.
15. 观察下列图形：
(第15题)
它们是用●按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有________个●.
(第16题)
16. 亮亮骑自行车到距家9千米的体育馆看一场球赛，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出故障，他只好停下来修车．车修好后，他加速继续匀速赶往体育馆，其速度为原正
常速度的4
3
倍，结果正好按预计时间(如果自行车不出故障，以正常速度匀速行驶到达体育馆
的时间)到达．亮亮行驶的路程s (千米)与时间t (分)之间的函数关系如图所示，那么他修车占用的时间为________分．
三、 解答题(本大题共10小题，满分102分；解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程)
17. (本小题满分6分)
计算：12＋4×(5－π)0
－|－23|
18. (本小题满分6分)
先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1÷x x 2－1
，其中，x ＝－32.
19. (本小题满分10分)
某校九(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款400元，捐款情况如下表：表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．捐款10元和15元的人数各是多少名？
某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图(时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组)和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题．
(1)本次调查的学生人数为________人；
(2)补全频数分布直方图；
(3)根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是________(只填所有正确结论的代号)；
A. 由图(1)知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内
B. 由图(1)知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内
C. 图(2)中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°
D. 图(1)中，落在第五组内数据的频率为0.15
(4)学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？
(注：每组内数据不含最小值，含最大值)
(第20题)
21. (本小题满分10分)
有两个布袋，甲袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”；乙袋中装有三个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”“3”．
小颖和小明共同设计了一个游戏：小颖每次从甲袋中随机摸出一个球，小明就从乙袋中随机摸出一个球．如果小颖所摸球上的数字与小明所摸球上的数字之和为偶数，则小颖获胜；如果和为奇数，则小明获胜．你认为这个游戏公平吗？请用概率知识说明理由．
如图(3)是利用四边形的不稳定性制造的一个移动升降装修平台，其基本图形是菱形，主体部分相当于由6个菱形相互连接而成，通过改变菱形的角度，从而可改变装修平台高度．
(1)如图(1)是一个基本图形，已知AB＝1米，当∠ABC为30°时，求AC的长及此时整个装修平台的高度(装修平台的基脚高度忽略不计)；
(2)当∠ABC从30°变为90°(如图(2)是一个基本图形变化后的图形)时，求整个装修平台升高了多少米．
[结果精确到0.1米，参照数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41]
23. (本小题满分10分)
如图，AB为⊙O的直径，D为弦BC的中心，连接OD并延长交过点C的切线于点P，连接AC.求证：△CPD∽△ABC.
如图(1)，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在AC上，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE.
(1)线段BE与AD的数量关系是________，位置关系是________．
(2)如图(2)，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
(3)绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°＜α＜180°时，延长DC交AB于点F，请在
图(3)中补全图形，并求出当AF＝1＋
3
3
时，旋转角α的度数．(第24题)
为迎接2011年中国国际旅游节，某宾馆将总面积为6 000平方米的房屋装修改造成普通客房(每间26平方米)和高级客房(每间36平方米)共100间及其他功能用房若干间，要求客房面积不低于总面积的50%，又不超过总面积的60%.
(1)求最多能改造成普通客房多少间．
(2)在(1)的情况下，旅游节期间，普通客房以每间每天100元的价格全部租出，高级客房每天租出的间数y(间)与其价格x(元/间)之间的关系如图所示．试问：该宾馆一天的最高客房收入能达到12 000元吗？若能，求出此时高级客房的价格；若不能，请说明理由．
平面直角坐标中，对称轴平行于y 轴的抛物线经过原点O ，其顶点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫3，－92；Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴上，直角顶点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，且BC ＝5，AC ＝3(如图(1))． (1)求出该抛物线的解析式；
(2)将Rt △ABC 沿x 轴向右平移，当点A 落在(1)中所求抛物线上时Rt △ABC 停止移动．D (0,4)为y 轴上一点，设点B 的横坐标为m ，△DAB 的面积为s .
①分别求出点B 位于原点左侧、右侧(含原点O )时，s 与m 之间的函数关系式，并写出相应自变量m 的取值范围(可在图(1)、图(2)中画出探求)；
②当点B 位于原点左侧时，是否存在实数m ，使得△DAB 为直角三角形？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
(第26题)
参照解答
1. A
2. D
3. B
4. A
5. B
6. D
7. C
8. C
9. 4.8×103 10. －3a 5b 7
11. 115°
12. (2,1) 13. 12 14. 2π 15. 30 16. 5 17. 原式＝23＋2×1－23(4分) ＝2.(6分)
18. 原式＝x x ＋1·x ＋1x －1
x ＝x －1.(4分)
当x ＝－3
2时，
原式＝－32－1＝－5
2
.(6分)
19. 设捐款10元的为x 人，捐款15元的为y 人．(1分) 得{ x ＋y ＝25，10x ＋15y ＝400－120，(6分) 解此方组，得{ x ＝19，y ＝6.(9分)
答：捐款10元的有19人，捐款15元的有6人．(10分) 20. (1)60.(2分)
(2)补全的频数分布直方图如图所示：(5分)
(3)A 、C 、D.(8分)
(说明：本小题多选、错选均不得分；每选对1个，记1分，共3分) (4)6＋12＋1860＝3660＝60%，即样本中，完成作业时间不超过120分钟的学生占60%.(10
分)
∴ 560×60%＝336.
答：九年级学生中，课业负担适中的学生约为366人．(12分) 21. 小颖小明 游戏开始11232123
所以每次游戏可能出现的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种．(6分)
此时，小颖获胜的概率为12，小明获胜的概率也为1
2
.(9分)
所以游戏公平．(10分)
22. (1)连接图(1)中菱形ABCD 的对角线AC 、BD . 设AC 、BD 交于点O ，则△ABO 中，
∠AOB ＝90°，∠ABO ＝1
2
∠ABC ＝15°.(2分)
∴ OA ＝AB ·sin∠ABO ＝1×sin15°≈0.26.(4分) 此时AC ＝2AO ≈2×0.26＝0.52.(5分) 0．52×6＝3.12≈3.1，
∴ 此时整个装修平台的高度约为3.1米．(6分)
(2)连接图(2)中正方形ABCD的对角线AC，
则AC＝ 2.(8分)
62－3.1≈8.46－3.1≈5.4，
此时，整个装修平台升高了5.4米．(10分)
23. 连接OC.
∵PC是⊙O的切线，点C为切点，
∴∠OCP＝90°.(2分)
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥CD.
又点D为弦BC的中点，
∴OP⊥CD.(3分)
∴∠P＋∠POC＝90°，
∠OCD＋∠POC＝90°.
∴∠P＝∠OCD.(5分)
∵OC＝OB，
∴∠OCD＝∠B.
∴∠P＝∠B.(7分)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.(8分)
∴∠CDP＝∠ACB＝90°.
∴△CDP∽△ABC.(10分)
24. (1)BE＝AD，BE⊥AD.(2分)
(2)仍然成立．(3分)
如图(1)，延长BE交AD于点M.
在△BCE和△ACD中，{BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝α，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD.
∴BE＝AD.(6分)
∵∠1＝∠2，∠CAD＝∠CBE，
∴∠AMB＝∠ACB＝90°.
即BE⊥AD.(8分)
(3)如图(2)，过点C作CN⊥AB于点N.(9分)
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴ CN ＝AN ＝12AB ＝1，∠BCN ＝45°. ∵ AF ＝1＋33
， ∴ FN ＝AF －AN ＝
33.(10分) 在Rt △CNF 中，tan ∠FCN ＝
FN CN ＝33， ∴
∠FCN ＝30°. ∴
∠BCF ＝∠BCN －∠FCN ＝15°. ∵
∠FCE ＝90°， ∴ ∠BCE ＝∠BCF ＋∠FCE ＝105°.
∴ 当AF ＝1＋33
时，旋转角α为105°.(12分) 25. (1)设改造成的普通客房为n 间(n 为正整数)， 则3 000≤26n ＋36(100－n )≤3 600.(2分)
解此不等式组，得－600≤－10n ≤0,0≤n ≤60，
∴ 最多可改造成普通客房60间．(4分)
(2)由图象，得y 与x 之间的函数关系为
y ＝－12
x ＋110.(6分) 由题意，设每天的客房收入为w 元，
则 w ＝6 000＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12x ＋110x ＝－12
x 2＋110x ＋6 000. 即 w ＝－12
(x －110)2＋12 050.(9分) ∵ 高级客房租出的间数最多为40间，
即 －12
x ＋110≤40，x ≥140. 由二次函数的性质，知x ＝140时，w 有最大值为11 600元． ∵ 11 600＜12 000，
∴ 该宾馆一天最高客房收入不能达到12 000元．(12分)
26. (1)由题意，设所求抛物线为
y ＝a (x －3)2－92
.① 将点(0,0)代入①，得a ＝12
. ∴ y ＝12
x 2－3x .(3分) (2)①当点B 位于原点左侧时，如图(1)：
S ＝S △OBD ＋S 梯形OCAD －S △ABC ＝12·4·(－m )＋12(4＋3)(5＋m )－152
＝32
m ＋10. ∴ S ＝32
m ＋10.(－4.5≤m ＜0)(6分) 当点B 位于原点右侧(含原点O )时，如图(2)：
S ＝S 梯形OCAD －S △OBD －S △ABC
＝12(4＋3)(5＋m )－12·4·m －152
＝32
m ＋10.(8分) ∴ S ＝32
m ＋10.(0≤m ＜15－2)(9分) ②m 1＝－1，m 2＝－4，m 3＝－4.4.(14分) (说明：本小题写出m 1，m 2的值，给3分，写出m 3的值，给2分．)。