二次函数专题复习总结

二次函数专题复习总结
二次函数
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a
b
x 2-
=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b
（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b
. 7.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2
).
（3）抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，
由方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交
点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为
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()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c x x a b x x =
⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=
-=-=44422
212
212
2121
1．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， 0<y ，且y 随x 的增大而减小。

2.抛物线)2(22
++-=m mx x y 的顶点坐标在第三象限，则m 的值为（ ） A ．21>-<m m 或 B ．10-><m m 或 C ．01<<-m D ．1-<m ． 3．抛物线y=x 2－2x ＋3的对称轴是直线（ ） A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =－1 D ．x =1
4． 二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 5．抛物线y=x 2－x 的顶点坐标是（ ） 11111
A.(1,1) .(,1) .(,) .(
,
)
22424
B C D - 6．二次函数c bx ax y ++=2
的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大小关系
是（ ）
A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0
B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一
跳，函数h=3．5 t －4．9 t 2(t 的单位s ；h 中的单位：m ）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A ．0．71s B ．0.70s C ．0.63s D ．0．36s
8．已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（2，l ）C ．（2，－1）D ．（1，2）
9．若二次函数y=x 2－x 与y=－x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图象有相同的对称轴 B ．这两个函数图象的开口方向相反 C ．方程－x 2+k=0没有实数根
D ．二次函数y=－x 2＋k 的最大值为1
2
10．抛物线y=x 2 +2x －3与x 轴的交点的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11．抛物线y=（x —l ）2 +2的对称轴是（ ）
A ．直线x =－1
B ．直线x =1
C ．直线x =2
D ．直线x=2
12．已知二次函数
c bx ax y ++=2
的图象如图所示，则在“① a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ）
A 、①②③④
B 、④
C 、①②③
D 、①④
13．已知二次函数c bx ax y ++=2
(a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）
A ．l 个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
14．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函
数有（）
A ．最大值1
B ．最小值－3
C ．最大值－3
D ．最小值1
15．用列表法画二次函数c bx ax y ++=2
的图象时先列一个表，当表中对自变
量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ） A ．506 B ．380 C ．274 D ．182
16．将二次函数y=x 2－4x+ 6化为 y=(x —h)2+k 的形式：y=___________ 17．把二次函数y=x 2－4x+5化成y=(x —h)2+k 的形式：y=___________ 18．若二次函数y=x 2－4x+c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c=__ _________________（只要求写一个）．
19．抛物线y=(x －1)2+3的顶点坐标是____________．
20．二次函数y=x 2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （－1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，
(1)求抛物线的解析式和顶点M 的坐标
(2)若点（x 0,y 0）在抛物线上，且0≤x 0≤4,试写出y 0的取值范围。

22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数y=162－3x ；
（1）写出商场每天的销售利润w （元）与每件的销售价x （元）的函数关系式；
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（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y＝x2－(b ＋10)x＋c.
⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；
⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x ＋b的解析式.
26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中x l<x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式
27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 .
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=1
2
S梯形ABCD。

若存在，请求出该点坐
标，若不存在，请说明理由.
28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6０米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。

(1)活动小组提交如图的方案。

设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x 米2．当x=15时，y 最大值 =450米2。

(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．
答案:
1．>5 2. D 21. (1) (1,4) (2) –5≤y 0≤4 22. (1) W= –3x 2+252x –4860
(2) W
最大
=432（元）
23. (1) S= 1
2 t 2–2t (t >0) (2) 当S=30时，t=10 (3) 当T=8时，S=16
24. (1) y= –
125
x 2 (2) 水位约4小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60千米/小时 25. (1) y=x 2–4x –6 或 y=x 2–10
(2) y= –2x –2 (提示，Rt △ABC 中，OB 2=OA ·OC 26. (1) 1<m< 7
3 (2) y= –x 2+4x –3
27 (1) B(–2, 0) (2) y= –1
2
x 2+2x+6
(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C ，因此，P 点必定在直线BD 下方， P 1 (1+21 ，21 –3) P 2（1–21 ，–21 –3）
28．以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、……）R 的一半，
如图S=1
2 ×10
3 ×（20+10×2＋20）=300 3 ≈520米
2
围成半圆面积最大，最大的面积为：573米2。