第三、四节矩阵满秩谱分解

6 3
e3
令
3 22 66 3 6 22 33 , Q 6 3 6 0 3 3
2 R 0 0
2 3 0
2 2 3 3 6 3
则
A QR
Householder变换
Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有明 显的几何意义。在 R 3 中，给定一个向量，令表示 关于平面（以 为法向量）的反射变换所得像， 如图所示， R3 记
（1）H是Hermite矩阵，H H H ； （2）H是酉矩阵，H H H I ； H （3）H是对合矩阵， 2 I ； H 1 H （4）H是自逆矩阵 （5）diag(I,H ) 也是一个Householder矩阵; （6）det H = -1。
定理
令Householder矩阵 H ( ) I 2 , 其中 2
i 0 1 1 0 1 2i 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
说明：1· 若不要求R具有正对角元，则A的不同QR分解仅在正交 矩阵的列和上三角矩阵R的对应行相差模为1的因子。
2· 若A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q与复非奇异上三角矩阵 R，使A = QR 该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵 QR分解的方法。 例1 解
记 1 2 2 x1 1 , x2 0 , x3 2 ，则 0 1 1
R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分解 当 A R nn 时，则称为A的正三角分解 QR分解定理 任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，
其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。
证明
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x
a1 H n 1 H 2 H 1 A
* a2
* R * an
[3]因 H i 为自逆矩阵，令 Q H1 H 2 H n1 则
A=QR
0 3 1 利用Householder变 例2：已知矩阵 A 0 4 2 , 换求A的QR分解 2 1 1
2
~ H H 2 I 2u2 u2
则
1 0T H2 ~ 0 H 2
a1 H 2 ( H 1 A) 0 0
பைடு நூலகம்
* a2 0
* * * * C2
其中
C2 C
( n2)( n 2)
得
依次进行下去，得到第n-1个n阶的Household矩阵 Hn-1 ，使
e1 单位化 e2 e3
y1 y1 y2 y2 y3 y3

2 2 3 3 6 6
1,1,0
T
1,1,1
T
1,1,2T
整理得
x1 2e1 x2 2e1 3e2 x3 2 2e1 33 e2
H ( ) I 2uuT , (u Rn , uT u 1)
2
使得 Hx ae1 ，其中 a x
上述结论表明，可以利用Householder变换将任意向量 化为与第一自然基向量 e1 平行的向量（共线）。
x Rn
例2 用Householder变换将向量 x 2i, i, 2 化为与 e1 1, 0, 0T平行的向量。
由于x 1,x 2, …,x
n
n
线性无关，将它们用Schmidt正交
n
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e
x1 b11e1 x b e b e 其中 bii 0 , i 1,2,, n 2 12 1 22 2 xn b1n e1 b2 n e2 bnn en
i 2 0 1 1 0 1 2i 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 2 0 1 1 0 1 2i 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
解
T
x 2 3 x H e1 2i 由于
为了使 a x 2 , axH e1 a2i 为实数，取 a 3i
5i x ae1 1 i x ae1 2 30 2
10 5 10i 1 H H I 2 5 14 2i 15 10i 2i 11
H
设 , C n , , 如果 2 2 ,
则 H
推论1 对于任意的 x C n，存在Householder矩阵H，使
H 得 Hx ae1 其中 a x 2 , ax e1为实数。
推论2
对于任意的 x R n ，存在Householder矩阵H
（1）式称为矩阵A的满秩分解. 说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分 解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称 此满秩分解为平凡分解。
例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
说明 也可取 a 3 或 a 3i
令
则
因此 Hx 3ie1
利用Householder矩阵求矩阵的QR分解的步骤： [1] 将矩阵A按列分块 A 1 , 2 , , n ,取
1 a1e1 1 , a1 1 1 a1e1 2
则
2
H1 I 211H
从而有
x1
x2 xn e1 e2
b11 b12 b1n b22 b2 n en bnn
令Q e1 e2
则QT Q I
b11 b12 b1n b22 b2 n en , R bnn
0
0 0
0 0
则取A的第 k1 , k 2 , , k r 列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵
C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解
满秩分解的步骤 1）求矩阵A的Hermite 标准形H； 2）取矩阵C为H的前r个非0行； 3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列； 则A=BC
例：求矩阵
a1 * * 0 H 1 A H 1 1 , H 1 2 , , H 1 n B1 0
B [2] 将矩阵 B1 C ( n1)( n1) 按列分块， 1 2 , 3 , , n
2 b2 e1 , b2 2 取 u2 2 b2 e1 2
第二节
QR分解
QR分解也称为正交三角分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换
定义:设 A C nn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵
再证唯一性
由此得
如果A QR Q1R1 , 则
Q Q1R1R 1 Q1D
式中D=R1R-1仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于
I Q T Q Q1 D T Q1 D D T D
即D为正交矩阵，因此D为单位矩阵（正规上三角为对角阵）
故
Q Q1 D Q1 , R1 DR R
2 2 5,
14 3 , 5 3 4
令 2 b2e2 1 1,3T , 1 2 b2e2 2 10
~ H H 2 I 22 2
记
1 0 0 1 0 H2 ~ 0 H 0 4 3 , 2 0 3 4
第三节 满秩分解
本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一 个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题. 主要内容：
1· 矩阵的Hermite标准型 2· 利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解
满秩分解定理
设A Crmn r 0 , 则存在B Crmr , C Crrn，使 A BC (1)
求矩阵A的QR分解
1 2 2 A 1 0 2 0 1 1
将 x1 , x2 , x3 正交化
y1 x1 T y y2 x2 (( x21 ,, y11 )) y1 x2 y1 1,1,1 y y1 x y3 x3 (( x31 ,, y1 )) y1 (( y32 ,, y22 )) y2 y y T 1 1 x3 2 y1 3 y2 3 1,1,2
因为1 0,0,2T , 记 a1 1
2
2, 令
H1 I 211H
0 0 1 0 1 0 , 1 0 0
1 a1e1 1 1 a1e1 2
从而
1 1,0,1T 2
则
2 1 2 T H1 A 0 4 2 记 4,3 , 则 b2 0 3 1
T
则
2 1 2 H 2 H 1 A 0 5 1 R 0 0 2
则
0 3 4 1 取 Q H1 H 2 0 4 3 5 5 0 0
A QR
说明： 1、利用Householder变换进行QR分解，即使A不是列满秩 矩阵也可进行，但此时R 是奇异矩阵； 2、设 A C mn , 则也有相应的QR分解； 2、QR分解在求解线性方程组最小二乘问题中有重要应用。 见P121。
4 1 1 2 A 1 2 1 2 1 2 2 1


H ( ) I 2 T
O
+
则
H ( )
即：该变换将向量 变成了以 的平面的对称向量 。


为法向量
定义
设 C n 是一个单位向量，令
H ( ) I 2 H
则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。 性质5.1.1 设H是一个Householder矩阵，则