部编数学九年级上册专题24.5圆(压轴题综合测试卷)(人教版)(解析版)含答案

专题24.5 圆（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号一二三总分
得分
评卷人得分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022·重庆忠县·九年级期中）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
【思路点拨】
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解题过程】
解：在圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故选D．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格
点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3）B．点（2，3）
C．点（5，1）D．点（6，1）
【思路点拨】
根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可。

【解题过程】
解：∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），
∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，
∴当△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．
故选C．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙О中，点C在弦AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D．若AB=2,则CD的最大值是（）
A．4B．2C D．1
【思路点拨】
连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】
4．（2022·浙江丽水·模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．B．cm C．或D．或
【思路点拨】
先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解题过程】
解：连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
5．（2022·江苏·九年级）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（）
A B．C．1D．2
【思路点拨】
【解题过程】
解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1
的值是（）
S2
A．5π
2B．3πC．5πD．11π
2
【思路点拨】
【解题过程】
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（）
A B C D．
【思路点拨】
如图，作过A、B、F作⊙O，AFB为点F的轨迹，然后计算出AFB的长度即可．
【解题过程】
解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB
∵等边ΔABC
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°
∵BD=CE
∴△BCE≌△ABC
∴∠BAD=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠AFB=120°
∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角
∴∠AOB=120°
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB
的中点D．若⊙O AB=4，则BC的长是（ ）
A．B．C D
【思路点拨】
【解题过程】
解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB ＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（）
A B C D
【思路点拨】
【解题过程】
10．（2022·江苏无锡·九年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞
a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝12；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B
【思路点拨】
【解题过程】
解：设等边三角形的边长为a，
则a2+a2=2a2，满足奇异三角形的定义，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
故①正确；
在RtΔABC中，a2+b2=c2，
∵c>b>a>0，
∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，
若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2，∴2b2=a2+(a2+b2)，
∴b2=2a2，得b=．
∵c2=b2+a2=3a2，
∴c，
∴a：b：c=1
故②错误；
在RtΔABC中，a2+b2=c2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；
在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．
∵D是半圆ADB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2．
∴ΔACE是奇异三角形，
故③正确；
由③可得ΔACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2．
当ΔACE是直角三角形时，
由②可得AC：AE：CE=1AC：AE：CE=1，
（Ⅰ）当AC：AE：CE=1
AC：CE=1AC：CB=1
∵∠ACB=90∘，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°．
（Ⅱ）当AC：AE：CE=1时，
AC：CE=1，即AC：CB=1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°，
故④错误；
故选：B．
评卷人得分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022·全国·九年级课时练习）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
【思路点拨】
先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．
【解题过程】
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，
AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为________cm．
【思路点拨】
分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【解题过程】
解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
13．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB=2，则图中阴影部分的面积为___________．
【思路点拨】
【解题过程】
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．
【思路点拨】
连接BO并延长交AC于E，交AC于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解题过程】
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为______．
【思路点拨】
⊙O与矩形的边相切，但没有具体说与哪个边相切，所以该题有三种情况：第一种情况是圆与边AD、BC 相切，此时BF=AE；第二种情况是圆与边AB相切，利用中位线定理以及勾股定理可求出BF的长；第三种是圆与边CD相切，同样利用中位线定理以及勾股定理求得BF．
【解题过程】
解：①当圆与边AD、BC相切时，如图1所示
此时∠AEO=BFO=90°
所以四边形AEFB为矩形
即BF=AE=2；
②当圆与边AB相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交于E、N两点，与边BC交于M、F两点，连接EM、HO，如图2所示
此时OE=OF=OH=R，点O、H分别是EF、AB的中点
∴2OH=AE+BF即BF=2R-2
∵BM=AE=2
∴MF=2R-4
在Rt△EFM中，EM2+MF2=EF2
∴BF=13
．
2
评卷人得分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（2022·全国·九年级课时练习）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．
【思路点拨】
【解题过程】
解：（1）作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD,CD；
以D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F，连接DF,BD,BF，如图示：
（2）结论：BC=BF．理由如下：
由作图可得：DE是AC的垂直平分线，DA=DF,
∴DA=DC=DF,
∴∠DAC=∠DCA,AD=FD,
∴∠DBC=∠DBF,
∵四边形ABFD是圆的内接四边形，
∴∠DAB+∠DFB=180°,
∵∠DCA+∠DCB=180°,
∴∠DFB=∠DCB,
∵DB=DB,
∴△DCB≌△DFB,
∴BC=BF.
17．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；
(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
【思路点拨】
（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数；
（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．
【解题过程】
解：（1）如图：连接OD
∵DE与⊙O相切
∴∠ODE＝90°
∵AB∥DE
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．（1）求证：GP＝GD；
（2）求证：P是线段AQ的中点；
（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．
【思路点拨】
（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案．
【解题过程】
（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB于E，
∴∠CEB=90°，
∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，
∴PC=PA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，
∴∠PCQ=∠CQA，
∴PC=PQ，
∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点；
（3）连接CD，
∵弧AC=弧CD，
∴CD=AC，
∵CD=2，
∴AC=2，
19．（2022·全国·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P 上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q 间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．
(1)d（点O，AB）＝；
(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；
(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．
①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．
【思路点拨】
(1)理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．
(2)先理解当⊙O与线段有交点时，d(⊙O,AB)=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解．
(3)①先确定A′位于x轴上，再求出OA′的长即可求解；②先确定A′的轨迹，再利用存在两个α使
d(⊙O,A')=0，确定并求出两个界点值，即可求解．
【解题过程】
∴∠A′NB=90°，
由旋转知BA′=BA=2−(−2)=4，
∵∠ABA′=30°，
BA′=2,
∴A′N=1
2
∴A′位于x轴上，BN=42−22=23，
∴A′M=23，
∴A′O=23−2，
∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，
∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），
此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O
由B(2,2)，得OB=22+22=22,
当⊙O与该半圆内切时，r=4−22，
当⊙O经过A点时，r=22，
∴4−22＜r＜22．
20．（2022·四川德阳·九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD=∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．【思路点拨】
【解题过程】
解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠EBC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=90°，
∴∠OCE+∠E=180°，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∴CF=3，
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，以AB为直径的⊙O上有一动点C，⊙O的切线CD交AB的延
长线于点D，过点B作BM∥OC交⊙O于点M，连接AM，OM，BC．
(1)求证：AM∥CD
(2)若OA=5，填空：
①当AM＝时，四边形OCBM为菱形；
②连接MD，过点O作ON⊥MD于点N，若BD=，则ON＝．
【思路点拨】
(1)首先根据圆周角定理可得∠MAB+∠ABM=90°，由切线的性质可得∠DOC+∠CDO=90°，再根据平行线的性质即可证得∠MAB=∠CDO，据此即可证得结论；
(2)①根据菱形性质可得OM= OA=MB= 5，即可求得AB，再根据勾股定理即可求得；②首先可证得△ODC 是等腰直角三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DOC+∠CDO=90°，
又∵BM∥OC，
∴∠ABM=∠DOC，
∴∠MAB=∠CDO，
∴AM∥CD；
（2）解：①若四边形OCBM为菱形，
则OM=OA=MB =5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∵BD=52−5，OB=5，
∴OD=OB+BD=5+5
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
22．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，
PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．
(1)求证：CD＝EF；
(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝OG的长．
【思路点拨】
【解题过程】
（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，则∠OMF=∠OND=90°，
∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，
∴OM=ON，
在Rt△OFM和Rt△ODN中，
∵OF=OD OM=ON，
∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM=DN，
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
23．（2022·全国·九年级课时练习）问题提出：（1）如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC 的面积为______．
问题探究：（2）如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=△ABC的最大面积．
问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；
（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F 于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．
【解题过程】
24．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是；
(2)如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
【思路点拨】
【解题过程】
即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD。