概率论与数理统计作业(三)答案[1]

1、设随机变量X 的分布律为{},1,2,,a
P X k k N N
===,则a = .
解 由{}111N N
k k a
P X k a N
======∑∑知1a =.
2、设随机变量X 的分布函数为
00,,
0)(≥<-⎩
⎨⎧=-x x e A x F x
. 则A = ;(12)P ξ<≤= .
解 由于()lim ()lim x x x F x A e A -→+∞
→+∞
=-=,分布函数的性质知1A =;
()()21211
(12)(2)(1)11P F F e e e e
ξ--<≤=-=---=-
3、设随机变量X 的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭
⎫
⎝⎛-=其它0
211122x x x f 则X 的分布函数()=x F ．
解 当1x ≤时,()()0x
F x f t dt -∞
==⎰
;
当12x <≤时,()2111()2122x
x
F x f t dt dt x t x -∞⎛⎫⎛⎫
==-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰; 当2x >时,()221
1()211x F x f t dt dt t -∞
⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
⎰
⎰.
故X 的分布函数
()0,
1122,121,
2x F x x x x x ≤⎧⎪
⎪⎛⎫
=+-<≤⎨ ⎪⎝
⎭⎪⎪>⎩
4、设~()X P λ,且(1)(2)P X P X ===,则(1)P X ≥= ,2(03)P X <<= . 解 ~()X P λ ()!
k e P X k k λ
λ-∴==,其中0λ>
(1)(2)
P X P X === 21!2!
e e λλ
λλ--∴
= 2λ∴=
2
(1)
1(1)1(0)11
P X P X P X e e λ--∴≥=-<=-==-=-
2
2(03)(0(1)21!
e P X P X P X e λ
λ--<<=<<====.
5
则随机变量X Y =的分布律为 ． 解
2
60,
10.4,11()()0.8,131,
3x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪
=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩
则X 的分布律为 ．
解 由于连续型随机变量的分布函数是连续函数,而由已知随机变量X 的分布函数()F x 在1,1,3X =-处间断,故可确定X 为离散型随机变量,且其所有可能的取值为1,1,3-且
(1)(1)(1)0.4(1)(01)(1)(0)0.80.40.4(3)(13)(3)(1)10.80.2
P X P X F P X P X F F P X P X F F =-=≤-=-===<≤=-=-=
==<≤
=-=-= 故
1、设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求:
(1)X 的分布律; (2)X 的分布函数;
(3){}133,1,1,12222P X P X P X P X ⎧
⎫⎧⎫⎧⎫≤<≤≤≤<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩
⎭⎩⎭⎩⎭.
解 (1)由于
3121132131333315151522121
(0),(1),(2).353535
C C C C P X P X P X C C C =====
====
故X )0X x ≤=;
当01x ≤<时,22
()()(0)35
F x P X x P X =≤===;
当12x ≤<时,34
()()(0)(1)35
F x P X x P X P X =≤==+==;
当2x ≥时,()()1F x P X x =≤=.
故X 的分布函数
0,
022
,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩
(3)1122
,2235P X F ⎧⎫⎛⎫≤==⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭
3334341(1)0,
22353533121(1)1,
2235P X F F P X P X P X ⎧⎫⎛⎫
<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭
⎧⎫⎛
⎫≤≤==+<≤=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝
⎭
{}341
12(2)(1)(2)10.3535
P X F F P X <<=--==--=
2、有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
解 设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000,0.0001).由于1000n =较大,而0.0001p =较小,故可用参数为0.1np λ==的泊松分布逼近.于是
(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=
010001
9991000100010.99990.00010.9999C C =-⨯-⨯⨯ 0.10.1
10.10.22
e e --≈--⨯≈
3、已知随机变量X 的密度函数为
||(),x f x Ae x -=-∞<<+∞
求:(1)A 值;(2){}01P X <<;(3)()F x . 解 (1)由()d 1f x x ∞-∞
=⎰
得||0
1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞
---∞
===⎰⎰,故12
A =
. (2)11
011(01)(1)22x p X e dx e --<<=
=-⎰ (3)当0x <时,11
()22x x x F x e dx e -∞==⎰
当0x ≥时,0||01111
()12222
x x x x x x F x e dx e dx e dx e ----∞-∞==+=-⎰⎰⎰
故随机变量X 的分布函数为
1,02
()1102
x
x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
4、设()2~3,2X N
(1)求{}{}{}{}25,410,2,3P X P X P X P X <≤-<≤>>; (2)确定c 使{}{}P X c P X c >=≤.
解 (1)23353(25)2
22X P X P ---⎛⎫
<≤=<≤ ⎪⎝⎭
11(1)(1)1220.841310.69150.5328
ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫
=--=-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=-+=
433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫
=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-
323323222215122151220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=+-=
333(3)1(0)0.522X P X P Φ-⎧⎫
>=>=-=⎨⎬⎩⎭
-
(2)由{}{}P X c P X c >=≤得{}{}1P X c P X c -≤=≤,即{}1
2
P X c ≤=,故3c =. 5、设()~0,1X N
(1)求X Y e =的概率密度;
(2)求221Y X =+的概率密度.
解 (1)当0y ≤时,()()0Y F y P Y y =≤=
当0y >时,ln ()()(e )(ln )()d y x Y X F y P Y y P y P X y f x x -∞
=≤=≤=≤=⎰
故当0y >
时
()2
ln 2
()1()(ln ),0y Y Y x dF y f y f y y dy y -
=
==>
当0y ≤时()0.Y f y =
(2)2(211)1P Y X =+≥=
当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=
当1y >时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=
+≤
21()2X y P X P X f x dx ⎛-⎛
⎫=≤=≤≤= ⎪ ⎝⎭⎝
故当1y
>时
(1)/4(1)/4
()()Y Y X X y y d f y F y f f dy ----⎤
⎛==
+⎥ ⎥⎝⎦
==
当1y ≤时()0.Y f y =。