高中数学第三章一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法(习题课)练习(含解析)

第三章 不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第3课时 一元二次不等式解法（习题课）
A 级 基础巩固
一、选择题
1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )
A ．{x |x >1}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |x ≥1或x ＝－2}
D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 解析：(x －1)x ＋2≥0，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧x －1≥0，x ＋2≥0或x ＝－2，
⇒x ≥1或x ＝－2，故选C.
答案：C
2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )
A ．{a |0<a <4}
B ．{a |0≤a <4}
C ．{a |0<a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4} 解析：因为ax 2－ax ＋1<0无解，当a ＝0的显然正确；
当a ≠0时，则⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0⇒0≤a ≤4. 综上知，0≤a ≤4.选D.
答案：D
3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N
B ．M ∪N
C ．∁R(M ∩N )
D ．∁R(M ∪N )
解析：因为M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |x ≤－3}，
所以M ∪N ＝{x |x <1}，故∁R(M ∪N )＝{x |x ≥1}，选D.
答案：D
4．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )
A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}
B ．{x |－1＜x ＜lg 2}
C ．{x |x ＞－lg 2}
D ．{x |x ＜－lg 2}
解析：由题意知，一元二次不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪－1＜x ＜12.而f (10x )＞0，所以－1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12
，即x ＜－lg 2. 答案：D
5．对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )
A ．1<x <3
B ．x <1或x >3
C ．1<x <2
D ．x <1或x >2 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0，a ∈[－1，1]恒成立⇒(x －2)a ＋x 2－4x ＋4>0，a
∈[－1，1]恒成立．
所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－1）＋x 2
－4x ＋4>0，（x －2）×1＋x 2－4x ＋4>0， 解得3<x 或x <1.选B.
答案：B
二、填空题
6．若不等式(a 2－1)x 2
－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤－35，1 7．已知关于x 的不等式
ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________． 解析：由于不等式
ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，所以a ＝－2.
答案：－2 8．关于x 的方程x 2m
＋x ＋m －1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m 的取值范围是________．
解析：若方程x 2m ＋x ＋m －1＝0有一个正实根和一个负实根，则有⎩
⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －1＞0. 所以0＜m ＜1或∅.
答案：(0，1)
三、解答题
9．已知一元二次不等式(m －2)x 2
＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.求m 的取值范围． 解：因为y ＝(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4为二次函数，所以m ≠2.
因为二次函数的值恒大于零，即(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.
所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，Δ＜0，即⎩
⎪⎨⎪⎧m ＞2，4（m －2）2－16（m －2）＜0， 解得：⎩⎪⎨⎪
⎧m ＞2，2＜m ＜6.
所以m 的取值范围为{m |2＜m ＜6}．
10．已知f (x )＝－3x 2
＋a (6－a )x ＋3，解关于a 的不等式f (1)≥0.
解：f (1)＝－3＋a (6－a )＋3＝a (6－a )，因为f (1)≥0，所以a (6－a )≥0，a (a －6)≤0， 方程a (a －6)＝0有两个不等实根a 1＝0，a 2＝6，
由y ＝a (a －6)的图象，得不等式f (1)≥0的解集为{a |0≤a ≤6}．
B 级 能力提升
1．若实数α，β为方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为
( )
A ．8
B ．14
C ．－14
D ．－494
解析：因为Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，
所以m 2－m －6≥0，所以m ≥3或m ≤－2.
(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342
－494，因为m ≥3或m ≤－2，所以当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.
答案：A
2．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．
解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x
.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为 4（x －8）x 升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x －8－4（x －8）x 升． 依题意，得x －8－4（x －8）x
≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2
－150x ＋400≤0，
即(3x －10)(3x －40)≤0.
解得103≤x ≤403
. 又x ＞8，所以8＜x ≤403.
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤8，403 3．已知关于x 的一元二次方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．
解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图，由图分析可得，
m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0.
解得－56<m <－12
.。