高中数学三角恒等式变形解题常用方法

高中数学三角恒等式变形解题常用方法

一.知识分析

1. 三角函数恒等变形公式

（1）两角和与差公式

（2）二倍角公式

（3）三倍角公式

（4）半角公式

（5）万能公式

，，

（6）积化和差

，

，

，

（7）和差化积

，

，

，

2. 网络结构

3. 基础知识疑点辨析

（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？

实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在

和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形

式不同，结构不同，但本质相同：

。

（2）怎样正确理解正切的和差角公式？

正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：

①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。

②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定

，都不等于。

③用代替，可把转化为，其限制条件同②。

（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？

①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。

②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小

（注意这两个条件缺一不可）。

③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。

（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？

先用二倍角公式导出，再把两式的左

边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：

，，分别叫做正弦、余弦、

正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，

容易证明。

4. 三角函数变换的方法总结

三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。

（1）变换函数名

对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名

法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

解析：已知

显然有：

由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0

即有：acosθ＋b=0

又 a≠0

所以，cosθ＝－b/a ③

将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a

即a4＋b4＝2a2b2

∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜

点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。

（2）变换角的形式

对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α

－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

解析：设θ＋15°＝α，则

原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα

＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα

＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα

＝0

点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。

【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试

证明：tan（α＋β）＝

证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β）

∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ

∴ tan（α＋β）＝

点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。

（3）以式代值

利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x －tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：

解析：原式＝

＝

＝

＝

点评：1＝“”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。

（4）和积互化

积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。

【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x