八年级数学下册 第十八章 平行四边形 第19课时 平行四边形的判定(3)—三角形的中位线(课时导学案
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第一部分 新课内容
第十八章 平行四边形
第19课时 平行四边形的判定（3） ——三角形的中位线
核心知识
1.三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线． 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形 的第三边，且等于第三边的一半．
典型例题
知识点1：三角形的中位线定理 【例1】如图18-19-1，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC的 中点. （1）若BC=6，则DE=____3______； （2）若∠C=60°，则∠AED=___6_0_°_____.
（2）AB＝2OF．
（2）∵△ABF≌△ECF， ∴BF=CF. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO.∴OF是△ABC的中位线. ∴AB＝2OF.
9.如图18-19-12,已知E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如答图18-19-2,连接BD. ∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴HE∥DB，HE= BD， FG∥DB,FG= DB. ∴FG∥HE，FG=HE. ∴四边形EFGH是平行四边形.
知识点3：三角形的中位线定理的综合运用 【例3】如图18-19-5，在△ABC中，点D在BC上，DC=AC， CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：EF∥BC．
证明： ∵AC=DC,CE⊥AD， ∴AE=ED. 又∵F为AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线. ∴EF∥BD，即EF∥BC.
变式训练
知识点2：三角形的中位线定理的简单运用 【例2】如图18-19-3， ABCD的对角线AC,BD相交于点O， 且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点． 求证：四边形EFGH是 平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC. ∵点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点， ∴EF= AB，GH= CD，EH= AD，FG= BC. ∴EF=GH,EH=FG. ∴四边形EFGH是平行四边形.
解：△PMN是等腰三角形．理由如下. ∵点P是BD的中点，点M是CD的中点， ∴PM= BC. 同理PN= AD. ∵AD=BC，∴PM=PN. ∴△PMN是等腰三角形．
巩固训练
第1关
4.如图18-19-7，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且
AB=10,AC=14,BC=16,则DE等于
解：四边形CEDF是平行四边形.理由 如下. ∵点D，E，F分别是AB，AC，BC边上 的中点， ∴DE∥FC，DF∥EC. ∴四边形CEDF是平行四边形.
7．如图18-19-10，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如答图18-19-1,连接AC. ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF= AC. 同理HG∥AC，HG= AC. 综上可得EF∥HG，EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形.
1. 如图18-19-2，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的
中点，连接DE，EF，FD得△DEF，如果△ABC的周长是24 cm，
那么△DEF的周长是
（ B）
A．6 cm
B．12 cm
C．18 cm
D．48 cm
2.如图18-19-4,已知△ABC的中线BD,CE交于点O，F,G 分别是OB,OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．
证明：∵D,E分别为AC,AB的中点， ∴ED∥BC，ED= BC． 同理FG∥BC，FG= BC. ∴ED∥FG,ED=FG. ∴四边形DEFG是平行四边形．
பைடு நூலகம்
3.如图18-19-6，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中 点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说 明理由．
A．5
B．7
（C ）
C．8
D．12
5. 如图18-19-8，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处
的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC，BC，并分别取线段
AC，BC的中点E，F，测得EF=20 m，则AB长为 （ D ）
A．10 m
B．20 m
C．30 m
D．40 m
第2关 6.如图18-19-9，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点， 请判断四边形CEDF的形状，并说明理由．
拓展提升
8．已知：如图18-19-11，E为 ABCD中DC边的延长线上的一 点，且CE＝DC，连接AE分别交BC,BD于点F,G，连接AC交BD于 点O，连接OF． 求证：（1）△ABF≌△ECF；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． 又∵DC=CE，∴AB=CE． ∵AB∥CD，∴∠BAF=∠E，∠ABF=∠ECF． ∴△ABF≌△ECF（ASA）.
第十八章 平行四边形
第19课时 平行四边形的判定（3） ——三角形的中位线
核心知识
1.三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线． 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形 的第三边，且等于第三边的一半．
典型例题
知识点1：三角形的中位线定理 【例1】如图18-19-1，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC的 中点. （1）若BC=6，则DE=____3______； （2）若∠C=60°，则∠AED=___6_0_°_____.
（2）AB＝2OF．
（2）∵△ABF≌△ECF， ∴BF=CF. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO.∴OF是△ABC的中位线. ∴AB＝2OF.
9.如图18-19-12,已知E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如答图18-19-2,连接BD. ∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴HE∥DB，HE= BD， FG∥DB,FG= DB. ∴FG∥HE，FG=HE. ∴四边形EFGH是平行四边形.
知识点3：三角形的中位线定理的综合运用 【例3】如图18-19-5，在△ABC中，点D在BC上，DC=AC， CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：EF∥BC．
证明： ∵AC=DC,CE⊥AD， ∴AE=ED. 又∵F为AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线. ∴EF∥BD，即EF∥BC.
变式训练
知识点2：三角形的中位线定理的简单运用 【例2】如图18-19-3， ABCD的对角线AC,BD相交于点O， 且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点． 求证：四边形EFGH是 平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC. ∵点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点， ∴EF= AB，GH= CD，EH= AD，FG= BC. ∴EF=GH,EH=FG. ∴四边形EFGH是平行四边形.
解：△PMN是等腰三角形．理由如下. ∵点P是BD的中点，点M是CD的中点， ∴PM= BC. 同理PN= AD. ∵AD=BC，∴PM=PN. ∴△PMN是等腰三角形．
巩固训练
第1关
4.如图18-19-7，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且
AB=10,AC=14,BC=16,则DE等于
解：四边形CEDF是平行四边形.理由 如下. ∵点D，E，F分别是AB，AC，BC边上 的中点， ∴DE∥FC，DF∥EC. ∴四边形CEDF是平行四边形.
7．如图18-19-10，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如答图18-19-1,连接AC. ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF= AC. 同理HG∥AC，HG= AC. 综上可得EF∥HG，EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形.
1. 如图18-19-2，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的
中点，连接DE，EF，FD得△DEF，如果△ABC的周长是24 cm，
那么△DEF的周长是
（ B）
A．6 cm
B．12 cm
C．18 cm
D．48 cm
2.如图18-19-4,已知△ABC的中线BD,CE交于点O，F,G 分别是OB,OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．
证明：∵D,E分别为AC,AB的中点， ∴ED∥BC，ED= BC． 同理FG∥BC，FG= BC. ∴ED∥FG,ED=FG. ∴四边形DEFG是平行四边形．
பைடு நூலகம்
3.如图18-19-6，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中 点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说 明理由．
A．5
B．7
（C ）
C．8
D．12
5. 如图18-19-8，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处
的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC，BC，并分别取线段
AC，BC的中点E，F，测得EF=20 m，则AB长为 （ D ）
A．10 m
B．20 m
C．30 m
D．40 m
第2关 6.如图18-19-9，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点， 请判断四边形CEDF的形状，并说明理由．
拓展提升
8．已知：如图18-19-11，E为 ABCD中DC边的延长线上的一 点，且CE＝DC，连接AE分别交BC,BD于点F,G，连接AC交BD于 点O，连接OF． 求证：（1）△ABF≌△ECF；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． 又∵DC=CE，∴AB=CE． ∵AB∥CD，∴∠BAF=∠E，∠ABF=∠ECF． ∴△ABF≌△ECF（ASA）.