荆州市高二数学上学期期中试卷理科带答案

荆州市2015-2016高二数学上学期期中试
卷（理科带答案）
荆州中学2015～2016学年度上学期期中考试卷年级：高二科目：数学（理科）
一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）
1.荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日
在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50
名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽
样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等
D.无法确定
2.已知点,且,则实数的值是（）
A.或4
B.或2
C.3或
D.6或
3．某店一个月的收入和支出总
共记录了个数据，，
其中收入记为正数，支出记为负数.
该店用右边的程序框图计算月总收入
和月净盈利，那么在图中空白的判
断框和处理框中，应分别填入下列四个
选项中的()
A．B．
C．D．
4.用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（）
A.倍
B.倍
C.2倍
D.倍
5.如图（１）所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（）
（1）
6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，给出下列结论：①若∥，则∥；②若∥，则∥；③若⊥，则⊥；④若⊥，则⊥；其中正确结论的个数是()
A.0B.1C.2D.3
7．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4.再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（）
A.3∶4
B.9∶16
C.27∶64
D.
8.在同一直角坐标系中，方程与的图形正确的是（）．
A.B.C.D.
9.若为圆的弦的中点，则直线的方程为（）
A.B.C.D.
10.已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（）
A.B.C.D.
11.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
12.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）
A.B.
C.D.
二、填空题（共20分，每小题5分）
13.过圆上一点的切线方程为．
0123
13
14.已知与之间的一组数据如右图所示，当变化时，
与的回归直线方程必过定点.
15.若四面体的四个顶点到平面的距离相等，则这样的平面的个数是．
16．荆州市为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了位老人进行调查，下表是这位老人睡眠时间
的频率分布表：
序号
分组
（睡眠时间）组中值（）
频数
（人数）频率（）
1
6
2
10
3
20
4
10
5
4
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的的值为.
三、解答题
分组频数
[0，0.5）4
[0.5，1）8
[1，1.5）15
[1.5，2）22
[2，2.5）25
[2.5，3）14
[3，3.5）6
[3.5，4）4
[4，4.5]2
合计100
17.（本小题满分10分）某地区100位居民的人均月用水量（单位：t）的频率分布直方图及频数分布表如下：（1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数与平均数；（2）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府解释说，85%以上的居民不超出这个标准，这个解释对吗？为什么？
18.（本小题满分12分）已知一条光线从点射出，经过轴反射后，反射光线与圆相切，求反射光线所在直线的方程.
19.（本小题满分12分）在2015年全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：
甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，
7.8，10.8；
乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；
（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图估计他们的中位数；
（2）已知甲、乙两人成绩的方差分别为与，分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较好，哪位运动员的成绩比较稳定.
20.（本小题满分12分）设是直线外一定点，且点到直线的距离是，试证明：.
21.（本小题满分12分）在三棱锥中，，，点在棱上，且. （Ⅰ）试证明：；
（Ⅱ）若，过直线任作一个平面与直线
相交于点，得到三棱锥的一个截面，
求面积的最小值；
（Ⅲ）若，求二面角的正弦值.
22．（本小题满分12分）已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．
（1）求实数间满足的等量关系；
（2）若以为圆心的圆与圆有公共点，试求圆的半径
最小时圆的方程；
（3）当点的位置发生变化时，直线是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由.
荆州中学2015～2016学年度上学期
期中考试卷
年级：高二科目：数学（理科）出题人：审题人：
参考答案
一、选择题
CDCBCADCCABC
二、填空题
;;7；6.42
三、解答题
17.解：（1）由图知，这组数据的众数为2.25，平均数为2.02．
（2）人均月用水量在3t以上的居民的比例为
6%+4%+2%=12%，即大约是有12%的居民月均用水量在3t 以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的．
18.解：A关于x轴的对称点。

反射光线相当于是从点射出的光线。

因为反射光线的斜率存在，所以反射光线所在的直线可设为
即因为该直线与圆相切，所以
…10分
所以反射光线所在直线方程为或
19.解：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字。

由上图知，甲中位数是9.05，乙中位数是9.15
（2）解：＝×
（9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8）
=9.11
＝×（9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1）＝9.14
S甲＝
由，这说明乙运动员的好于甲运动员的成绩
由S甲S乙，这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计，乙运动员比较稳定。

20.证明
方法一，，设是直线上一点，则
因为所以
方法二过点作直线的垂线，垂足为，则直线的方程为
而直线的方程可写为
由直线与直线都过点知
两式平方和可得
所以，点到直线的距离
21.解：（1）证明：
（2）
（3）由（2）知，当
所以，
22.解：（1）连为切点，，由勾股定理有.又由已知，故. 即：.
化简得实数间满足的等量关系为：.
（2）解法1：设圆的半径为，
圆与圆有公共点，圆的半径为1，
即且.
而，故当时，
此时,，.得半径取最小值时圆的方程为．
解法2：圆与圆有公共点，圆半径最小时为与圆外切（取小者）的情形，而这些为过原点与垂直的直线与的交点. 又直线的方程为
解方程组，得.即
所以，所求圆方程为.
（3）
化简得，同理
所以，直线MQ的方程为，代入上式得。