归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法
摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.
关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算
前言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
1. 预备知识
1.1二重积分的定义]1[
设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对
任给的正数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有
()1
,n
i
i
i i f J ξησ
ε=∆-<∑,
则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作
(),D
J f x y d σ=⎰⎰,
其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.
1.2二重积分的若干性质
1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D
kf x y d σ⎰⎰(),D
k f x y d σ=⎰⎰.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且
()()[,,]D
f x y
g x y d σ±⎰⎰()(),,D
D
f x y d
g x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰.
1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可
积,且
1.3在矩形区域上二重积分的计算定理
设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =⨯上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d
c
f x y dy ⎰存
在,则累次积分(),b d
a
c
dx f x y dy ⎰⎰也存在,且
(),D
f x y d σ⎰⎰(),b
d
a
c
dx f x y dy =⎰
⎰.
同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b
a
f x y dx ⎰存在,在上述条件上可得
2.求的二重积分的几类理论依据
二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算
X -型区域: ()()(){}1
2
,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤
Y -型区域: ()()(){}1
2
,,D x y x y x x y c y d =
≤≤≤≤
定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则
即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 222x y a +=与222x z a +=.
只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的
立体式以z =,以四分之一圆域D : 为底的曲顶柱体,所以
于是3
163
V a =
. 另外,一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.
2.2 二重积分的变量变换公式
定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,变换T : (),x x u v =, (,)y y u v =将平面uv 由
按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ,函数
(),x x u v =,(,)y y u v =在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ()()()
,,0,x y J u v u v ∂=≠∂, (),u v ∈∆,
则()()()()(),,,,,D
f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆
=⎰⎰⎰⎰.
用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求x y x y
D
e
dxdy -+⎰⎰,其中D 是由0x =,0y =,1x y +=所围区域.
解 为了简化被积函数,令u x y =-,v x y =+.为此作变换T :1()2
x u v =+,1()2
y u v =-,则
()1
1
12
2,01122
2
J u v ==>-. 即1111
00111()2224x y u u v x y
v
v v D
e e e
dxdy e dudv dv e du v e e dv ---+-∆
-==-=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例2 求抛物线2y mx =，2y nx =和直线y x β=，y x α=所围区域D 的面积()D μ
(0,0)m n αβ<<<<．
解D 的面积()D
D dxdy μ=⎰⎰．
为了简化积分区域，作变换T ： 2u x v =
，u
y v
=．它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域[][],,m n αβ∆=⨯．由于
()2
3
4212,01u
u v v J u v u v v
v
-
=
=>-，(),u v ∈∆， 所以
2.3 用极坐标计算二重积分
定理: 设(),f x y 在有界闭域D 上可积,且在极坐标变换T ：cos sin x r y r θ
θ=⎧⎨=⎩
0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立
()(),cos ,sin (,)D
f x y dxdy f r r J r drd θθθθ∆
=⎰⎰⎰⎰．
其中cos sin (,)sin cos r J r r r θθθθ
θ
-=
=．
当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为()22,f x y 时，采用该极坐标变换．
二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：
（i ）若原点O D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与D 边界至多交与两点，则∆必可表示成
12()()r r r θθ≤≤，αθβ≤≤，
于是有
类似地，若xy 平面上的圆r =常数与D 的边界多交于两点，则∆必可表示成
12()()r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤，
所以
221
1()
()
(,)(cos ,sin )r r r r D
f x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰
⎰⎰
.
（ii ）若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成
0()r r θ≤≤，02θπ≤≤.
所以
2()
(,)(cos ,sin )r D
f x y dxdy d f r r rdr
π
θθθθ=⎰⎰⎰
⎰
.
(iii)若原点O 在D 的边界上,则∆为0()r r θ≤≤,αθβ≤≤, 于是
例1 计算2
2()
x
y D
I e d σ-+=⎰⎰,其中D 为圆域: 222x y R +≤.
解 利用极坐标变换,由公式得
22
20
(1)R
r R I re dr e ππ--==-⎰
⎰
.
与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：
T ：cos sin x ar y br θ
θ=⎧⎨
=⎩ 0r ≤<+∞，02θπ≤≤， cos sin (,)sin cos a ar J r abr b br θθθθ
θ
-=
=．
如求椭球体222
2221x y z a b c
++≤的体积时，就需此种变换．
2.4利用二重积分的几何意义求其积分
当(,)0f x y ≥时，二重积分(,)D
f x y dxdy ⎰⎰在几何上就表示以(,)z f x y =为曲顶，D 为
底的曲顶体积．当(,)1f x y =时，二重积分(,)D
f x y dxdy ⎰⎰的值就等于积分区域的面积．
例6
计算：D
I σ=，其中D ：22221x y a b +≤．
解
因为被积函数z =0≥，
所以I 表示D
为底的z =
由平行xoy 面的截面面积为
()(1)A x ab z π=-，(01)z ≤≤，
根据平行截面面积为已知的立体体积公式有
2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２.５１利用变量代换计算
设D 为有界闭域，它的边界曲线，()t αβ≤≤且{}(,),()D x y a x b c y y x =≤≤≤≤，当
x a =时，t α=；当x b =时，t β=。

设(,)f x y 在D 上连续，且存在(,)P x y ，(,)x y D
∈使得
(,)P
f x y y
∂=∂，则 ２.５２利用格林公式计算
定理 若函数(,)P x y ，(,)Q x y 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则
有
这里L 为区域D 的边界线，并取正方向． 计算步骤：
（１） 构造函数(,)P x y ，(,)Q x y 使
Q x ∂∂(,)P
f x y y
∂-=∂，但(,)P x y ，(,)Q x y 在D 上应具有一阶连续偏导数；
（２）利用格林公式化曲线积分求之．
例7计算34D
x y dxdy ⎰⎰，D 是由椭圆cos x a θ=，sin y b θ=所围成．
解法一（利用变量代换）设1D 为D 在第一象限，则
1
352
4
2
4
2535352
0444cos ,sin cos sin (sin )5564D D a b x y dxdy x y dxdy x y dx x a y b a b d ππθθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰作变换 解法二（利用格林公式）令251
5P x y =-，0Q =，则
24P x y y ∂=-∂，0Q x
∂=∂． 2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法 ２.７１积分区域关于坐标轴对称
性质１ 若(,)f x y 在区域D 内可积，且区域D 关于y 轴（或x 轴）对称，则二重
积分满足下列性质：
其中1
D 为区域D 被y 轴（或x 轴）所分割的两个对称子域之一．
例 计算(23)D
h x y dxdy --⎰⎰，其中D 是由222x y R +=所围成的闭区域．
解析 由于积分区域D 关于x 轴＼y 轴均对称性，只需考虑被积函数
(,)23f x y h x y =--关于x 或y 的奇偶性．易见，(,)f x y 关于x 或y 既非奇函数，也
非偶函数．若记()2f x x =-，()3f y y =-，则(,)()()f x y h f x f y =++且()f x 为x 的奇函数，
()
f y 为y 的奇函数．由此由性质１，有
4
1
12
20
00cos()cos()02
2
2cos()2cos()1
2
y
y D dxdy LDy y xx x y x y x y D D x y dxdy dy x y dx πππ
π
ππ
-=====
≤+=
≤++≤=+=+=
-⎰⎰⎰⎰，
2
0D
hdxdy hR π=⎰⎰ 故有(,)D
f x y dxdy =
⎰⎰()D
f x dxdy ⎰⎰+()D
f y dxdy ⎰⎰+D
hdxdy ⎰⎰=D
hdxdy ⎰⎰=2
hR
π
２.７２积分区域关于某直线L 对称
性质２ 若(,)f x y 在区域D 内可积，且区域D 关于L 对称，则二重积分满足下列性质：
其中1
D 为区域D 被L 所分割的两个对称子域之一．
例 求，其中D 由直线0y =，y x =，2
x π=
围成．
解析 对任意(,)x y D ∈，有0x y π≤+≤．而当02
x y π
≤+≤
时，
c o s ()x y +≥．当
2
x y π
π≤+≤时，cos()0x y +≤．故作直线L ：2
x y π
+=
，把D 分成
1D 和2D 两部分，而1D 和2D 关于直线L 对称．又cos()x y +关于直线L 偶对称．故
2.8 运用导数的定义求极限
例10 计算)0(ln )ln(lim
0>-+→h x
h
x h x
思路：对具有000
)()(lim x x x f x f x --→或h
x f h x f h )
()(lim 000-+→形式的极限，可由导数的定义来进行计算.
解：原式=h
x h x 1|)'(ln =
= 2.9运用定积分的定义求极限]3[
例11
计算01lim 1cos
n n →++ 思路：和式极限，利用定积分定义1001
1lim ()()n n i i
f f x n n →==∑⎰dx 求得极限.
解：原式
2.10 运用微分中值定理求极限
例12：计算sin 0lim sin x x
x e e x x
→--
思路：对函数()f x 在区间[sin ,]x x 上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式0
lim 1e αα→== （其中α在[sin ,]x x 区间内）
总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）[M]. 高等教育出版社，2001. [2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003. [3] 李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报，2004.。