2014年湖南高考文科数学试题含答案(Word版)

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2014年高考数学试卷,湖南高考文科数学试卷

【全国高考数学试卷】2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（） A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科网石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足 1CD =u u u r ,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是（）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎤⎣⎦， D.7-17+1⎡⎤⎣⎦，二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线2 22:212x tCy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）的普通方程为___________.13.若变量yx，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14yyxxy，则yxz+=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F的距离和到直线1-=x的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P且斜率为k的直线，则k的取值范围是___________.15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a____________.三、解答题：本大题共6小题，学科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，ρρρρρρρρρρ 其中a a ρ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ρ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率. 18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60o ，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=o ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值；（2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<L。

2014年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为（）（A ）200,10x R x ∃∈+> (B ）200,10x R x ∃∈+≤ （C ）200,10x R x ∃∈+< （D ）200,10x R x ∀∈+≤ 【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤，故选B ．（2)【2014年湖南，文2,5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ )（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > (C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C【解析】由题可得{|23}A B x x =<<，故选C ．(3)【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则（）（A ）123p p p =< (B)231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ．（4)【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是( )（A ）21()f x x =（B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = (D)()2xf x -=【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在(),0-∞是单调递减的且1y x=在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ．（5）【2014年湖南,文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（）（A ）45 （B)35 (C ）25 （D ）15【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35p =,故选B ．（6）【2014年湖南，文6,5分】若圆221:1C x y +=21x=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =( ）(A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以25025m m ->⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m -，根据圆和圆外切的判定可得()()2230401259m m -+-=+-⇒=,故选C ．(7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于( )（A ）[]6,2-- （B)[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[]2,0t ∈-时,运行程序如下:(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-，当[]0,2t ∈时，(]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．(8）【2014年湖南,文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ）（A)1 (B ）2 （C ）3 (D ）4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的2121ln ln x x e x x x -<- C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切圆的半径r ，则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B ．（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201x x <<<，则（）（A ）2121ln ln x x e e x x ->- （B ）2121ln ln x x e e x x -<- (C ）1221x x x e x e > （D ）1221x x x e x e < 【答案】C【解析】设()ln x f x e x =-,则(]0,1x ∈时,()1xf x e x'=-的符号不确定，()f x ∴的单调性不确定．设()x e g x x =,则()0,1x ∈时，()()210xx eg x x -'=<，()g x ∴在()0,1上单调递减，()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x ∴<⇒<⇒<,故选C ．(10)【2014年湖南,文10，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点,(1,0),(03),(30)A B C -，，，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( ）（A)[4,6] （B ）[19119+1]-，（C ）[2327]，（D ）[717+1]-，【答案】D【解析】点D 的轨迹是以C 为圆心的单位圆，设()[)()3cos ,sin 0,2D θθθπ+∈，则OA OB OD ++()()()223cos 1sin 3822cos 3sin θθθθ=+-++=++．因为2cos 3sin θθ+的取值范围是()()222223,237,7⎡⎤⎡⎤-++=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故827,82771,71OA OB OD ⎡⎤⎡⎤++∈-+=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦,故选D ．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(11）【2014年湖南,文11，5分】复数23i i +（i 为虚数单位）的实部等于．【答案】3-【解析】由题可得所以23i 3i i +=--，3i --的实部为3-．（12）【2014年湖南，文12,5分】在平面直角坐标系中,曲线222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为．【答案】10x y --= 【解析】联立222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 可得110x y x y -=⇒--=．（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量y x ，满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为．【答案】7【解析】作出不等式组41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点()3,1处取得最大值7．（14）【2014年湖南，文14,5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是．【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F 为焦点的抛物线24y x =上,且()1y k x =+与抛物线24y x =无交点，()22441y xy y k k y k x ⎧=⎪⇒=⋅+⇒⎨=+⎪⎩方程204y k y k ⋅-+=无实根，则0k ≠且2101k k ∆=-<⇒<-或1k >, 所以()(),11,k ∈-∞-+∞．（15）【2014年湖南，文15，5分】若()()3ln 1xf x e ax =++是偶函数,则a = ．【答案】23-【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()()33ln 1ln 1x x f x f x e ax e ax --=⇒+-=++⇒()()333ln 13ln 1322x x e x ax e ax x ax a +--=++⇒-=⇒=-．三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年湖南,文16，12分】已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n N *+=∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n ann n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和．解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，∴*()n a n n N =∈． (2）由题意得：2(1)2(1)n a n n n n n b a n =+-=+-，∴数列{}n b 的前2n 项和2n T 为22212(222)(12342)22n n n T n n +=++++-+-+-+=-+．（17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败;b b ，分别表示乙组研发成功和失败．（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．解：(1）甲组研发新产品的成绩为1,1，1,0，0,1,1,1，0，1,0,1,1,0，1，其平均数为102==153x 甲．方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S -⨯+-⨯=甲;乙组研发新产品的成绩为1,0，1，1,0，1,1，0,1，0,0，1,0,1,1,其平均数为93==155x 乙．方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S -⨯+-⨯=乙 22><x x S S 甲乙甲乙，，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．（2）记E =｛恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =． (18）【2014年湖南,文18,12分】如图，已知二面角MN αβ--的大小为60°，菱形ABCD在面β内，,A B 两点在棱MN 上，BAD ∠=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α，垂足为 O ．(1）证明:AB ⊥平面ODE ；（2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解：（1）∵DO α⊥，AB α⊂，∴DO AB ⊥．∵四边形ABCD 问菱形，60BAD ∠=︒，连结BD ，则ABD ∆为正三角形．又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥．而DO DE D =,∴AB ⊥平面ODE ．（2）∵//BC AD ，∴ADO ∠是直线BC ，OD 所成的角．由（1)知,AB ⊥平面ODE ,∴AB OE ⊥，AB DE ⊥，∴DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,∴60DEO ∠=︒．设2AB =,则2AD =，3DE =，3sin 602DO DE =︒=．连结AO ，则3cos 4DO ADO AD ∠==，∴异面直线BC ，OD 所成的角的余弦值为34．（19）【2014年湖南，文19,13分】如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥,1DE =,7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=． (1）求sin CED ∠的值；（2）求BE 的长．解：（1）在CDE ∆中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-⋅⋅∠．即227+1+CD CD =，2+60CD CD -=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED α∠=，sin sin EC CDD α=∠，即722sin sin 3πα=，21sin 7α∴=． (2）0<<3πα，21sin 7α=，27cos 7α∴=， 2227cos cos()cos cos +sin sin 33314AEB πππααα∴∠=-==，在ABE ∆中，cos EAAEB BE ∠=，247cos 7/14EA BE AEB ∴===∠．(20）【2014年湖南，文20，13分】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．解：（1)设2C 的焦距为22c ，则12222a c ==，∴121a c ==．23(,1)3P 在1C 上，∴2212123:()13y C b -=,213b =．由椭圆定义知，2222223232()(11)()(11)2333a =+-+++=，∴23a =，2222222b a c =-=， ∴12,C C 的方程分别为22221,1332y y x x -=+=．（2）不存在符合题设条件的直线．①若l x ⊥轴，∵l 与2C 只有一个公共点，∴l 的方程为2x =或2x =-．当2x =时，易得()2,3A ,()2,3B-， ||22,||23OA OB AB +==,此时||||OA OB AB +≠．②若l 不垂直x 轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得222(3)230k x k m x m ----=．当l 与1C 有两个交点()11,A x y ，()22,B x y 时，12223k mx x k +=-，212233m x x k +=-,于是222212121212233()()()3k m y y kx b kx b k x x km x x m k -=++=+++=-，再将y kx b =+代入椭圆方程整理得222(23)4260k x k m x m +++-=，∵l 与2C 只有一个公共点，∴由0∆=,可得2223k m =-,于是有22222212122222333323303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +--+--⋅=+=+==≠----∴2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=⋅≠，即||||OA OB AB +≠．综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．（21）【2014年湖南,文21,13分】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．（1)求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<．解:（1）()cos sin cos f x x x x x '=--，令()0f x '=，则*()x k k N π=∈．当(2,2)()x k k k N πππ∈+∈时,()0f x '<，当(2,22)()x k k k N ππππ∈++∈时，()0f x '>，∴()f x 的单调减区间为(2,2)()k k k N πππ+∈, ()f x 的单调增区间为(2,22)()k k k N ππππ++∈．（2)由(1）知,()f x 在区间(0,)π上单调递减,∵()02f π=,∴12x π=．当*n N ∈时，∵1()()[(1)1][(1)(1)1]0n n f n f n n n πππππ+⋅+=-+⋅-++<，且()f x 的图像是连续不断的，∴()f x 在区间(,)n n πππ+内至少有一个实根,又()f x 在区间(,)n n πππ+上是单调的，∴1n n x n πππ+<<+．由此可得 222222221211111111111[41][41]23(1)1223(2)(1)n x x x n n n ππ+++<+++++<+++++-⨯⨯--2222111111111162[41(1)()()](411)(6)22321113n n n n ππππ=++-+-++-=++-=-<<---- 综上可知，对一切*n N ∈,都有2221211123n x x x +++<．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,文1)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为()A.∃x0∈R,x02+1>0B.∃x0∈R,x02+1≤0C.∃x0∈R,x02+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0答案:B解析:因为全称命题的否定为特称命题,所以p为∃x0∈R,x02+1≤0.故选B.2.(2014湖南,文2)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=()A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<3}答案:C解析:由交集的概念,结合数轴(数轴略)可得A∩B={x|2<x<3}.故选C.3.(2014湖南,文3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案:D解析:由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故选D.4.(2014湖南,文4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x答案:A解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数.A选项,f'(x)=-2x3在(-∞,0)恒大于0;B选项,f'(x)=2x在(-∞,0)恒小于0.故选A.5.(2014湖南,文5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15答案:B解析:由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=3,故选B.6.(2014湖南,文6)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11答案:C解析:易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=25-m(m<25).由两圆相外切得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,解方程得m=9.故选C.7.(2014湖南,文7)执行如图所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于()A .[-6,-2]B .[-5,-1]C .[-4,5]D .[-3,6]答案:D解析:当t ∈[-2,0)时,执行以下程序:t=2t 2+1∈(1,9],S=t-3∈(-2,6];当t ∈[0,2]时,执行S=t-3∈[-3,-1],因此S ∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6].故选D .8.(2014湖南,文8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4答案:B 解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA ,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B .9.(2014湖南,文9)若0<x 1<x 2<1,则( ) A .e x 2−e x 1>ln x 2-ln x 1 B .e x 2−e x 1<ln x 2-ln x 1 C .x 2e x 1>x 1e x 2 D .x 2e x 1<x 1e x 2答案:C解析:设f (x )=e x -ln x ,则f'(x )=x ·e x -1.当x>0且x 趋近于0时,x ·e x -1<0;当x=1时,x ·e x -1>0,因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2),因此A,B 不正确;设g (x )=e x x,当0<x<1时,g'(x )=(x -1)e xx 2<0,所以g (x )在(0,1)上为减函数.所以g (x 1)>g (x 2),即e x 1x 1>e x 2x 2,所以x 2e x 1>x 1e x 2.故选C .10.(2014湖南,文10)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0, 3),C (3,0),动点D 满足|CD |=1,则|OA +OB +OD |的取值范围是( ) A .[4,6] B .[ -1, +1] C .[2 3,2 7] D .[ 7-1, 7+1]答案:D解析:设动点D 的坐标为(x ,y ),则由|CD |=1得(x-3)2+y 2=1,所以D 点的轨迹是以(3,0)为圆心,1为半径的圆.又OA +OB +OD =(x-1,y+ ),所以|OA +OB +OD |= (x -1)2+(y + 3)2,故|OA +OB +OD |的最大值为(3,0)与(1,- )两点间的距离加1,即 1,最小值为(3,0)与(1,- )两点间的距离减1,即 1.故选D . 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2014湖南,文11)复数3+i i 2(i 为虚数单位)的实部等于 .答案:-3解析:由题意可得3+i i2=3+i-1=-3-i,故复数的实部为-3. 12.(2014湖南,文12)在平面直角坐标系中,曲线C : x =2+ 2t ,y =1+ 2t(t 为参数)的普通方程为 . 答案:x-y-1=0解析:两式相减得,x-y=2-1,即x-y-1=0.13.(2014湖南,文13)若变量x ,y 满足约束条件 y ≤x ,x +y ≤4,y ≥1,则z=2x+y 的最大值为 .答案:7解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,作直线l 0:2x+y=0并平移,当直线经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值,且最大值为7. 14.(2014湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y 2=4x.由题意知过点P 的直线为y=kx+k (k ≠0),要使机器人接触不到过点P 的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得k4y 2-y+k=0,即Δ=1-k 2<0,解得k>1或k<-1. 15.(2014湖南,文15)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= . 答案:-3解析:由题意得f (-x )=ln(e -3x +1)-ax=ln 1+e 3xe3x -ax=ln(1+e 3x )-ln e 3x -ax=ln(e 3x +1)-(3+a )x ,而f (x )为偶函数,因此f (-x )=f (x ),即ax=-(3+a )x ,所以a=-3.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)(2014湖南,文16)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.分析:在第(1)问中,通过S n 可求出a n ,在求解过程中要注意分n=1和n ≥2两种情况进行讨论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论得到b n =2n +(-1)n n ,然后利用分组求和法分别计算(21+22+…+22n )和(-1+2-3+…+2n ),最后相加得到{b n }的前2n 项和. 解:(1)当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n −(n -1)2+(n -1)=n.故数列{a n }的通项公式为a n =n.(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n n.记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A=21+22+ (22),B=-1+2-3+4-…+2n ,则A=2(1-22n )1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n ]=n.故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A+B=22n+1+n-2.17.(本小题满分12分)(2014湖南,文17)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ) 其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败;b ,b 分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.分析:在第(1)问中,通过已知条件可分别写出甲、乙两组的成绩,然后利用平均数公式分别计算甲、乙两组的平均成绩,再结合方差公式得到甲、乙两组的方差,进而比较甲、乙两组的研发水平;在第(2)问中,充分利用古典概型的概率公式,转化为计算基本事件的个数,从而求得概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为x 甲=1015=23; 方差为s 甲2=115 1-23 2×10+ 0-232×5 =29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x 乙=9=3; 方差为s 乙2=115 1-352×9+ 0-352×6 =625. 因为x 甲>x 乙,s 甲2<s 乙2,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共7个.故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=7.18.(本小题满分12分)(2014湖南,文18)如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,∠BAD=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O. (1)证明:AB ⊥平面ODE ;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.分析:在第(1)问中,可利用线面垂直的判定定理证明,由DO ⊥平面α可得到DO ⊥AB ,然后利用△ABD 为正三角形得到DE ⊥AB ,最后根据线面垂直的判定定理得出所证结论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论AB ⊥平面ODE ,从而得到二面角α-MN-β的平面角,达到立几化平几的目的,即转化为求∠ADO 的余弦,然后利用解直角三角形的方法求出余弦值.解:(1)如图a,因为DO ⊥α,AB ⊂α,所以DO ⊥AB.图a连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形. 又E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB. 而DO ∩DE=D ,故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即∠ADO 是BC 与OD 所成的角. 由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°. 不妨设AB=2,则AD=2.易知DE= 3. 在Rt △DOE 中,DO=DE ·sin 60°=3. 连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO=DO=32=3.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19.(本小题满分13分)(2014湖南,文19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE=1,EC= 7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3. (1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助余弦定理得到CD 的长,然后在△CDE 中,利用正弦定理得到∠CED 的正弦值;在第(2)问中,利用∠CED 的正弦值求得其余弦值,然后利用角之间的关系表示出∠AEB ,进而表示出∠AEB 的余弦值,最后在Rt △EAB 中利用边角关系,求得BE 的长. 解:如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC. 于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD-6=0. 解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC=CDsin α. 于是,sin α=CD ·sin 2π3EC =2× 327=217,即sin ∠CED= 21.(2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α= 1-sin 2α= 1-2149=2 77. 而∠AEB=2π-α,所以cos ∠AEB=cos 2π-α =cos 2πcos α+sin 2πsin α=-1cos α+ 3sin α=-1×2 7+ 3×21=7.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB=EA =2,故BE=2= 714=4 7.20.(本小题满分13分)(2014湖南,文20)如图,O 为坐标原点,双曲线C 1:x 2a 12−y 2b 12=1(a 1>0,b 1>0)和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1(a 2>b 2>0)均过点P2 3,1 ,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1,C 2的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB |?证明你的结论.分析:在第(1)问中,利用已知条件结合图形以及双曲线、椭圆中a ,b ,c 的几何意义,列出关于a 1,b 1,a 2,b 2的方程,得到它们的值,从而求出双曲线C 1、椭圆C 2的方程;在第(2)问中,首先对直线l 的斜率进行分类讨论,当斜率k 不存在时易得A ,B 两点的坐标,进而判断满足题设条件的直线l 不存在;当斜率k 存在时,可先设出l 的方程,然后代入曲线方程,利用根与系数的关系并结合向量的运算,依此判断满足题设条件的直线l 不存在. 解:(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 33,1 在双曲线x 2-y 2b 12=1上,所以2 332−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)+ 2 332+(1+1)=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x 2-y 23=1,y 23+x 22=1. (2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 或x=- .当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3), 所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3. 此时,|OA+OB |≠|AB |. 当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m. 由 y =kx +m ,x 2-y 2=1得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0. 当l 与C 1相交于A ,B 两点时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由 y =kx +m ,y 2+x 2=1得(2k 2+3)x 2+4kmx+2m 2-6=0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k 2m 2-8(2k 2+3)(m 2-3)=0. 化简,得2k 2=m 2-3,因此OA·OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2+3k 2-3+3k 2-3m 2k 2-3=-k 2-3k 2-3≠0,于是OA 2+OB 2+2OA ·OB ≠OA 2+OB 2-2OA ·OB , 即|OA +OB 2|≠|OA −OB 2|,故|OA +OB |≠|AB |. 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.21.(本小题满分13分)(2014湖南,文21)已知函数f (x )=x cos x-sin x+1(x>0).(1)求f (x )的单调区间;(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *,有1x 12+1x 22+…+1n 2<2.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助导数,转化为判断导数在(0,+∞)上的符号,进而得出函数的单调区间;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到f (x )在(n π,(n+1)π)上存在零点,从而得出n π<x n+1<(n+1)π,然后分n=1,n=2,n ≥3三种情况讨论112+122+…+1n 2的值与2的大小关系,即可得证. 解:(1)f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x.令f'(x )=0,得x=k π(k ∈N *).当x ∈(2k π,(2k+1)π)(k ∈N )时,sin x>0,此时f'(x )<0; 当x ∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N )时,sin x<0,此时f'(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π,(2k+1)π)(k ∈N ),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N ). (2)由(1)知,f (x )在区间(0,π)上单调递减. 又f π=0,故x 1=π.当n ∈N *时,因为f (n π)f ((n+1)π)=[(-1)n n π+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f (x )的图象是连续不断的,所以f (x )在区间(n π,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f (x )在区间(n π,(n+1)π)上是单调的,故n π<x n+1<(n+1)π.因此,当n=1时,1x 12=4π2<23; 当n=2时,1x 12+1x 22<1π2(4+1)<23;当n ≥3时,1x 12+1x 22+…+1x n 2<1π2 4+1+122+…+1(n -1)2 <1π2 5+11×2+…+1(n -2)(n -1) <12 5+ 1-1 + 1-1 +…+ 1n -2-1n -1 =1π2 6-1n -1<6π2<23. 综上所述,对一切n ∈N *,1x 12+1x 22+…+1x n 2<23.。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(含解析)

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1、已知集合A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{-2}2、=（）A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i3、函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4、设向量，满足|+|=，|-|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55、等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n-1）C．D．6、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B 1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8、执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79、设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110、设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711、若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．（-∞，-1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12、设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（）A．[-1，1]B．[-，]C．[-，]D．[-，]二、填空题13、甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__________．14、函数f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx的最大值为__________．15、偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=__________．16、数列{an }满足an+1=，a8=2，则a1=__________．三、解答题17、四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19、某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20、设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21、已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．23、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．24、设函数f（x）=|x+|+|x-a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．试题解析：∵A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}={-1，2}，∴A∩B={2}．故选B2、答案：B试题分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．试题解析：化简可得====-1+2i故选：B3、答案：C试题分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．试题解析：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C4、答案：A试题分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．试题解析：∵|+|=，|-|=，∴分别平方得+2•+=10，-2•+=6，两式相减得4•=10-6=4，即•=1，故选：A．5、答案：A试题分析：由题意可得a42=（a4-4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．试题解析：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4-4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4-3×2=2，∴Sn =na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．6、答案：C试题分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．试题解析：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．7、答案：C试题分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．试题解析：∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A-B1DC1的体积为：=1．故选：C．8、答案：D试题分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．试题解析：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．9、答案：B试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．试题解析：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．10、答案：C试题分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．试题解析：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=-．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x-）=（x-）．代入抛物线方程，消去y，得16x2-168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案为：12．11、答案：D试题分析：f′（x）=k-，由于函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．试题解析：f′（x）=k-，∵函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：D．12、答案：A试题分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．试题解析：由题意画出图形如图：点M（x，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，的取值范围是[-1，1]．∴x故选：A．二、填空题13、答案：试题分析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．试题解析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．14、答案：试题分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．试题解析：∵f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-sinφcosx=sin（x-φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．15、答案：试题分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．试题解析：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（-1）=f（-1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（-1）=f（1）=3，故答案为：3．16、答案：试题分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．试题解析：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=-1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，-1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．三、解答题17、答案：试题分析：（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．试题解析：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=13-12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=5-4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=-，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．18、答案：试题分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．试题解析：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．19、答案：试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．20、答案：试题分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．试题解析：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2-c2，即c2+-a2=0，则，即2e2+3e-2=0解得e=或e=-2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（-c，-2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21、答案：试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2-6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为-2，∴f（-2）=-2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3-3x2+x+2，设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，由题设知1-k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2-6x+1-k＞0，g（x）单调递增，g（-1）=k-1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3-3x2+4，则g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2-6x=3x（x-2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（-1）=k-1，g（0）=4，则g（x）=0在（-∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、答案：试题分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．试题解析：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．23、答案：试题分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得 cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．试题解析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．24、答案：试题分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3-a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．试题解析：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|≥|（x+）-（x-a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3-a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2-5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6-a+＜5，即 a2-a-1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。

2014年高考文科数学湖南卷-答案

【提示】（1）求函数的导数，利用导数研究的单调区间；
（2）利用放缩法即可证明不等式即可.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性
∵圆与圆外切，∴ ，解得： .
【提示】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.
【考点】圆的切线方程
7.【答案】D
【解析】若，则不满足条件输出，若，则满足条件，此时，此时不满足条件，输出，综上： .
【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论.
【考点】复数代数形式的乘除运算.
12.【答案】
【解析】∵曲线（为参数），∴两式相减可得 .
【提示】利用两式相减，消去，从而得到曲线的普通方程.
【考点】直线的参数方程
13.【答案】
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时，故答案为： .
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
21.【答案】（1），令，则 .
当时，，当时，，
∴ 的单调减区间为，
的单调增区间为 .
（2）由（1）知，在区间上单调递减，∵ ，∴ .
当时，∵ ，且的图象是连续不断的，
∴ 在区间内至少有一个实根，又在区间
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】∵命题，是一个特称命题.
∴ .
【提示】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项.
【考点】命题的否定

2014年湖南省高考数学试卷(文科)学生版

2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0D．∀x0∈R，x02+1≤02．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x 5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣117．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．49．（5分）（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x110．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于．12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为．13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=．三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．。

2014年高考真题——文科数学(湖南卷)Word版含解析

2014年高考文科数学湖南卷(含详细答案)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：x ∀∈R ,210x +>,则p ⌝为( )A .0x ∃∈R ,210x +＞ B .0x ∃∈R ,210x +≤ C .0x ∃∈R ,210x +＜ D .x ∀∈R ,210x +≤2.已知集合{|2}A x x =＞,{|13}B x x =＜＜,则A B = ( )A .{|2}x x ＞B .{|}x x ＞1C .{|23}x x ＜＜D .{|13}x x ＜＜3.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜B .231p p p =＜C .132p p p =＜D .123p p p == 4.下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是( )A .21()f x x=B .2()1f x x =+C .3()f x x =D .()2x f x -= 5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ,则X ≤1的概率为( )A .45B .35C .25D .156.若圆1C ：221x y +=与圆2C ：22680x y x y m +--+=外切,则m =( )A .21B .19C .9D .11-7.执行如图所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-8.设一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4 9.若1201x x <<<,则( )A .2121e e ln ln x xx x ->- B .2121e e ln ln x xx x -<- C .1221e e x xx x >D .1221e e x xx x <10.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的取值范围是( )A .[4,6] B.11] C.D.1]第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中的横线上.11.复数23+ii（i 为虚数单位）的实部等于 . 12.在平面直角坐标系中,曲线C：2,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为 .13.若变量x ,y 满足约束条件41y x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为 .14.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等.若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 15.若3()ln(e 1)x f x ax =++是偶函数,则=a .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=,*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n an n n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(,)a b ,(,)a b ,(,b)a ,(,b)a ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,b)a ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,b)a ,(,)a b其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败；b ,b 分别表示乙组研发成功和失败. （Ⅰ）若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.18.（本小题满分12分）如图,已知二面角MN αβ--的大小为60,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,60BAD ∠=,E 是AB 的中点,DO ⊥平面α,垂足为O .（Ⅰ）证明：AB ⊥平面ODE ；（Ⅱ）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图,在平面四边形ABCD 中,DA AB ⊥,1DE =,EC =2EA =,2π3ADC ∠=,π3BEC ∠=.（Ⅰ）求sin CED ∠的值；（Ⅱ）求BE 的长.20.（本小题满分13分）如图,O 为坐标原点,双曲线1C ：221122111(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆2C ：222222221(b 0)y x a a b +=＞＞均过点P ,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ,使得l 与1C 交于A ,B 两点,与2C 只有一个公共点,且||OA OB +=||AB ？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+＞. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i ∈N 个零点,证明：对一切*n ∈N ,有2221211123n x x x +++…＜.【解析】∵213{|}{|}A x x B x x =>=<<，，∴21{|}323{|}{|}AB x x x x x x =><<=<<.数学试卷第10页（共30页）||1CD C =，，∴(2OA OB OD ++=+||(2cos )(3+sin OA OB OD θθ++=++（其中2sin cos ϕ=，||OA OB OD ++的||1,(3,0)CD C =量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出案为：7.数学试卷第16页（共30页）2212)(12342)22n n n n ++++-+-+-+=-+x x >乙甲，（Ⅱ）记数学试卷第22页（共30页）DODE D =，⊥平面ODE （Ⅱ）∵BC AD ∥3sin602DE ︒=. 中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-∠.60-=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED ∠sin EC D =∠2sin α∴=）π0<<3α277α=，中，cos AEB ∠27AEB ==.23,13P ⎛ ⎝221)⎛-+ ||22OA OB +=||23AB =||||OA OB AB +≠.轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得(3)2k x kmx ---于是有123333OA OB x x k k k k =----2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=≠，即||||OA OB AB +≠. 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线.⎫||||OA OB AB +≠.若直线3m -.由22y kx m =+⎧⎪可得0OA OB ≠，可得||||OA OB AB +≠.数学试卷第28页（共30页）1)(ππ)[(1)π1][(1)(1)π1]n n f n n n ++=-+-++<π)+内至少有一个实根，又()f x 在区间(π,n 2222221111111114141π23(1)π1223(2)(1)x n n n ⎡⎤⎡⎤++<+++++<+++++⎢⎥⎢⎥-⨯⨯--⎣⎦⎣⎦12n ⎛++ -⎝21x ++<。

2014年大纲版高考文科数学试题含答案(Word版)(卷)

2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（）A ．45B ．35C ．35-D ．45- 3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（） A ．{|21}x x -<<- B ．{|10}x x -<< C ．{|01}x x << D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A ．16BC ．13D5.函数1)(1)y x =>-的反函数是（）A ．3(1)(1)x y e x =->-B ．3(1)(1)x y e x =->-C ．3(1)()x y e x R =-∈D ．3(1)()x y e x R =-∈ 6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y += 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，，则C 的焦距等于（）A ．2 B． C ．4 D．12.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 . 15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 三、解答题（本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+.。

(完整word版)2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学,推荐文档

2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- 2.131i i +=-（） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（）A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（）A. 1B. 2C. 3D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.2717B.95C.2710D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.2 8.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（）A.4B.5C.6D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（）A. B.6 C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n n ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O e 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈. （1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =I ，选B ．考点：集合的运算．2．B【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i i i ++-+===-+-+，选B ．考点：复数的运算．3．C【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件．4．A【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=r r r r ，2226a a b b -⋅+=r r r r ，两式相减得，44a b ⋅=r r ，故1a b ⋅=r r ．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和．6．C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=．考点：三视图．7．C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =I ，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．8．D【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图．9．B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122z y x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划．10．C【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．11．D【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞．【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==．考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12．【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学文

将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为 P(E)=
.
18.(12 分)如图，已知二面角 α-MN-β 的大小为 60°，菱形 ABCD 在面 β 内，A、B 两点在棱 MN 上，∠BAD=60°，E 是 AB 的中点，DO⊥面 α，垂直为 O.
(Ⅰ)证明：AB⊥平面 ODE； (Ⅱ)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值. 解析：(Ⅰ)运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线； (Ⅱ)根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO 是二面角 α-MN-β 的平面角，不妨设 AB=2，从而求出 OD 的长，再在直角三角形 AOD 中，求出 cos∠ADO. 答案：(1)如图，∵DO⊥面 α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接 BD，由题设知，△ABD 是正三角形，
2n+1 1 2 2n
+n=2
2n+1
+n-2.
+n-2.
17.(12 分)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (a，b)，(a， )，(a，b)，( ，b)，( ， )，(a，b)，(a，b)，(a， )， ( ，b)，(a， )，( ， )，(a，b)，(a， )，( ，b)(a，b) 其中 a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败. (Ⅰ)若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； (Ⅱ)若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率. 解析：(Ⅰ)分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可. (Ⅱ)找 15 个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是 7 个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决. 答案：(Ⅰ)甲组研发新产品的成绩为 1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则 = ， = = = ，

2014·湖南卷(文科数学)

2014·湖南卷(文科数学)1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤01．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 2．[2014·湖南卷] 已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ＞2} B ．{x |x ＞1}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |1＜x ＜3}2．C [解析] 由集合运算可知A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}． 3．[2014·湖南卷] 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 33．D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 5．[2014·湖南卷] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25 D.155．B [解析] 由几何概型概率计算公式可得P ＝1－（－2）3－（－2）＝35.6．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7．[2014·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]7．D [解析] (特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，排除A ，B ，C.8．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打A ．1B ．2C ．3D ．48．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－102＝2.9．[2014·湖南卷] 若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2 D ．x 2e x 1＜x 1e x 29．C [解析] 依题可构造函数f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )＝e xx在区间(0，1)上递减，故0＜x 1＜x 2＜1时有f (x 1)＞f (x 2)，即x 2e x 1＞x 1e x 2.10．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]10．D [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．11．[2014·湖南卷] 复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．11．－3 [解析] 因为3＋i i 2＝3＋i－1＝－3－i ，所以实部为－3.12．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．12．x －y －1＝0 [解析] 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.13．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．7 [解析] 依题意，画出可行域，如图所示．由⎨⎪⎧x ＋y ＝4，得点B 的坐标为(3，1)，则z ＝2x ＋y 在B (3，1)处取得最大值7.F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．14．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y 2＝4x .设直线l ：y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＜0，得k 2＞1，解得k ＜－1或k ＞1.15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．15．－32[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32.16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x 甲＝1015＝23，方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x 乙＝915＝35，方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625. 因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.18．、[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB . 连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．19．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.20．、、[2014·湖南卷] 如图1-5所示，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝⎛⎭⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程．(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB | ？证明你的结论.20．解： (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝⎛⎫2332－1b 21＝1，故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．(i)若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当 x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.(ii)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3.因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2. 故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线． 21．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n＜23. 21．解： (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0; 当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)f []（n ＋1）π＝[(－1)n n π＋1][(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]＜0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2＜23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎡⎦⎤4＋1＋122＋…＋1（n －1）2 ＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋11×2＋…＋1（n －2）（n －1）＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝⎛⎭⎫6－1n －1＜6π2＜23.综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23.。

2014年湖南高考文科数学试题含答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p=< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（） A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科网石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（）A.2121ln ln x xe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足 1CD = ,则OA OB OD ++的取值范围是（）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线22:12x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.15.若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a____________.三、解答题：本大题共6小题，学科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率. 18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60 ，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠= ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值；（2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年全国高考数学真题文科及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-正确答案：A（2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 正确答案：A（3）设i iz ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2正确答案：B（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1正确答案：D（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数正确答案：A（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. B.21 C. 21D. 正确答案：C（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 正确答案：C8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱正确答案：B9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158正确答案：D10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，zxxk xF A 045=，则=x 0（）A. 1B. 2C. 4D. 8正确答案：C（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 正确答案：B（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-（B ）正确答案：A第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 正确答案：2/3（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________. 正确答案：A（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.正确答案：(（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .本文来自正确答案：150三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014年湖南省高考数学试卷(文科)学生版

2014 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）．（分）（2014?湖南）设命题2+1＞ 0，则￢ p 为（）1 5p： ? x∈R，xA．? x0∈ R， x02+1＞ 0B．? x0∈R，x02+1≤0．∈ R， x2+1＜0D．? x ∈R，x2+1≤0C? x00002．（ 5 分）（2014?湖南）已知会合 A={ x| x＞2} ，B={ x| 1＜ x＜3} ，则 A∩B=（）A．{ x| x＞2}B．{ x| x＞ 1}C．{ x| 2＜x＜3}D．{ x| 1＜x＜3} 3．（ 5 分）（2014?湖南）对一个容量为N 的整体抽取容量为n 的样本，入选用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不一样方法抽取样本时，整体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5 分）（ 2014?湖南）以下函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加的是（）．（）2+1C．f （x）=x3．（）﹣ xA f x =B．f（ x）=x D f x=2 5．（ 5 分）（2014?湖南）在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数 X，则 X≤1 的概率为（）A．B．C．D．6．（5 分）（2014?湖南）若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣ 117．（5分）（2014?湖南）履行以下图的程序框图，假如输入的t ∈[ ﹣2，2] ，则输出的S属于（）A．[ ﹣6，﹣2]B．[ ﹣5，﹣1]C．[ ﹣4，5]D．[ ﹣3，6] 8．（5 分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图以下图，将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于（）A．1B．2 9．（5 分）（2014?湖南）若A．﹣＞lnx2﹣lnx1C．30＜x1＜x2＜ 1，则（）D．4B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x110．（5 分）（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（﹣ 1，0），B（ 0，），（，），动点D 知足|| =1，则|+ + | 的取值范围是（）C 3 0A．[ 4，6]B．[﹣1，+1]C．[ 2 ，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5分）（湖南）复数（i 为虚数单位）的实部等于．2014?12．（ 5分）（湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参2014?数）的一般方程为．13．（ 5 分）（2014?湖南）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（ 5 分）（ 2014?湖南）平面上一机器人在前进中一直保持与点F（1，0）的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线，则 k 的取值范围是．3x15．（ 5 分）（2014?湖南）若 f（x）=ln（e +1）+ax 是偶函数，则 a=．三、解答题（共 6 小题， 75 分）16．（ 12 分）（ 2014?湖南）已知数列{ a n} 的前n 项和S n=， n∈ N*．（Ⅰ）求数列{ a n} 的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣ 1）n a n，求数列{ b n} 的前2n 项和．17．（ 12 分）（2014?湖南）某公司有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组早年研发新产品的结果以下：（a， b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（ a，），（， b），（a，），（，），（ a， b），（a，），（，b）（ a， b）此中 a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某构成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，不然记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的均匀数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该公司安排甲、乙两组各自研发同样的产品，试预计恰有一组研发成功的概率．18．（12 分）（ 2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN ﹣β的大小为 60°，菱形ABCD 在面β内，A、B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为 O．（Ⅰ）证明： AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值．19（．13 分）（2014?湖南）如图，在平面四边形 ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠ BEC=．（Ⅰ）求 sin∠ CED的值；（Ⅱ）求 BE的长．20．（13 分）（2014?湖南）如图， O 为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞ 0，1＞0）和椭圆C2：+（2＞b2＞0）均过点P（，1），且以 C1的两b=1 a个极点和 C2的两个焦点为极点的四边形是面积为 2 的正方形．（Ⅰ）求 C1、C2的方程；（Ⅱ）能否存在直线l，使得 l 与 C1交于 A、B 两点，与 C2只有一个公共点，且|+ | =|| ？证明你的结论．21．（ 13 分）（ 2014?湖南）已知函数 f （x）=xcosx sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求 f（ x）的区；（Ⅱ） x i f（x）的从小到大的第 i（i∈N*）个零点，明：全部 n∈N*，有++⋯+＜．。

2014年湖南省高考数学试卷及解析(文科)

2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤02．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P34．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x5．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣1117．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A ．﹣＞lnx2﹣lnx1B ．﹣＜lnx2﹣lnx12C．x 2＞x 1D．x 2＜x 110．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数（i 为虚数单位）的实部等于．12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=．三、解答题（共6小题，75分）316．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n =，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a ，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a ，），（，b），（a ，），（，），（a，b），（a ，），（，b）（a，b）其中a ，分别表示甲组研发成功和失败，b ，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．18．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．419．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P （，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；5（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．62014年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选：B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．2．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}【分析】直接利用交集运算求得答案．7【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）8A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．【解答】解：选项A ，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A ．B ．C ．D ．9【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9．10故选：C．【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．11【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．12【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A ．﹣＞lnx2﹣lnx1B ．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x 2＞x 1D．x 2＜x 1【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e x+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案．【解答】解：令f（x）=e x﹣lnx，则f′（x）=，当x趋近于0时，xe x﹣1＜0，当x=1时，xe x﹣1＞0，因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；令g（x）=，13，当0＜x＜1时，g′（x）＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴，即．∴选项C正确而D不正确．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．10．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），14∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．15【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵=．∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C ：（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣1=0．【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程．【解答】解：∵曲线C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化．1613．（5分）若变量x，y 满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．1714．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=﹣．【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，18则f（﹣x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1）﹣ax，即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=ln =ln=lne﹣3x=﹣3x，即2a=﹣3，解得a=﹣，故答案为：﹣，【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f （x）是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n =，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，19∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a ，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a ，），（，b），（a ，），（，），（a，b），（a ，），（，b）（a，b）其中a ，分别表示甲组研发成功和失败，b ，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可．20（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==．因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a ，），（，b），（a ，），（，b），（a ，），（a ，），（，b）共7个，故事件E 发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力．2118．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO．【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，22∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD 所成角的余弦值为．【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题．19．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．23（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE 中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos （）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．24【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P （，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P （，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x 轴，设直线l得方程为y=kx+m ，由可得y1•y2 =．由25可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．由于点P （，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或x=﹣．当x=时，可得A （，）、B （，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||．同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m ，由可得26（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=．于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||．综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．【点评】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；27（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N*），当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，又f （）=0，故x1=，当n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）n nπ+1][（﹣1）n+1（n+1）π+1]＜0，且函数f（x）的图象是连续不间断的，∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，故nπ＜x n＜（n+1）π，+128因此当n=1时，有=＜成立．当n=2时，有+＜＜．当n≥3时，…++…+＜[][]（6﹣）＜．综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜．【点评】本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．29。

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