2020年高中数学必修4 平面向量的坐标表示及运算 同步练习6.22(含答案解析)

2020年高中数学必修4 平面向量的坐标表示及运算
同步练习
一、选择题
1.若A(3，-6)，B(-5,2)，C(6，y)三点共线，则y=( )
A ．13
B ．-13
C ．9
D ．-9
2.已知平面向量a=(x,1)，b=(-x ，x 2
)，则向量a ＋b( )
A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线
3.设a=⎝ ⎛⎭⎪⎫32，tan α，b=⎝
⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°
4.已知向量a=(x,2)，b=(3，-1)，若(a ＋b)∥(a-2b)，则实数x 的值为( )
A ．-3
B ．2
C ．4
D ．-6
5.已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a=(2，λ)，若a ∥错误!未找到引用源。

，则实数λ的值为( )
A ．- 23 B.32 C.23 D ．- 32
6.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A ．e 1=(0,0)，e 2=(1，-2)
B ．e 1=(-1,2)，e 2=(5,7)
C ．e 1=(3,5)，e 2=(6,10)
D ．e 1=(2，-3)，e 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－34
7.下列各组向量中： ①)2,1(1-=e , )7,5(2=e ； ②)5,3(1=e ,)10,6(2=e ； ③)3,2(1-=e ,)4
3,21(2-=e .
其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③ 8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）
A.)35(2121e e +
B.)35(2121e e -
C.)53(2112e e -
D.)35(2
1
12e e -
9.与向量)5,12(=平行的单位向量为（ ）
A.)5,1312(
B.)135,1312(--
C.)135,1312(或)135,1312(--
D.)13
5,1312(±±
10.已知|a|=|b|=1，a ⊥b ，(2a ＋3b)⊥(ka －4b)，则k 等于( )
A.－6
B.6
C.3
D.－3
11.若|a|=3，|b|=3，且a 与b 的夹角为π
6
，则|a ＋b|=( )
A.3
B.3
C.21
D.21
12.|m|=2，m ·n=8，<m ，n>=60°，则|n|=( )
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题
13.已知平面向量a ，b 满足(a ＋b )·(2a －b )=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角为_____.
14.已知错误!未找到引用源。

=(6,1)，错误!未找到引用源。

=(x ，y)，错误!未找到引用源。

=(-2，
-3)，错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，则x ＋2y 的值为________．
15.已知向量a=(1,2)，b=(-2,3)，若λa＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．
16.已知A(-1,4)，B(x ，-2)，若C(3,3)在直线AB 上，则x=________.
17.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线，则实数x 的值为________．
18.已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a|=1，|2a －b|=10，则|b|=________.
三、解答题
19.已知A(1,1)，B(3，-1)，C(a ，b)．
(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系； (2)若错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

，求点C 的坐标．
20.已知向量a=(2,1)，b=(1,1)，c=(5,2)，m=λb＋c(λ为常数)．
(1)求a ＋b ；
(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．
21.已知|a|=3，|b|=2，a 与b 的夹角为60°，c=a ＋2b ，d=ma －6b(m ∈R).若c ∥d ，求|c ＋d|.
22.已知a 、b 满足|a|=13，|b|=2，|a ＋b|=13，求a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值.
23.已知向量|a|=1，|b|=2.
(1)若a 与b 的夹角为π
3
，求|a ＋2b|；
(2)若(2a －b)·(3a ＋b)=3，求a 与b 的夹角.
24.如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|=4，|AD →
|=3，∠DAB=60°.
求：(1)AD →·BC →；(2)AB →·CD →；(3)AB →·DA →
.
25.已知向量a 、b 的长度|a|=4，|b|=2.
(1)若a 、b 的夹角为120°，求|3a －4b|； (2)若|a ＋b|=23，求a 与b 的夹角θ.
26.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC 与BD 交
点P 的坐标．
答案解析
1.答案为：D ；
解析：A ，B ，C 三点共线，∴错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，而错误!未找到引用源。

=(-8,8)，错误!未找到引用源。

=(3，y ＋6)， ∴-8(y ＋6)-8×3=0，即y=-9.
2.答案为：C ；
解析：因为a ＋b=(0,1＋x 2
)，所以a ＋b 平行于y 轴．
3.答案为：A ；
解析：∵a ∥b ，∴32×13-tan α cos α=0，即sin α=1
2
，α=30°.
4.答案为：D ；
解析：因为(a ＋b)∥(a-2b)，a ＋b=(x ＋3,1)，a-2b=(x-6,4)， 所以4(x ＋3)-(x-6)=0，解得x=-6.
5.答案为：C ；
解析：根据A ，B 两点的坐标，可得错误!未找到引用源。

=(3,1)，
∵a ∥错误!未找到引用源。

，∴2×1-3λ=0，解得λ=2
3
，故选C.
6.答案为：B ；
解析：A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1=1
2
e 2，∴e 1∥e 2；
D 中e 1=4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 7.A 8.A 9.C
10.答案为：B ；
解析：(2a ＋3b)·(ka －4b)=0，2k|a|2－8a ·b ＋3ka ·b －12|b|2
=0. ∵|a|=|b|=1，a ·b=0，∴2k －12=0，k=6.
11.答案为：D ；
12.答案为：D ；解析：∵m ·n |m|·|n|=cos<m ，n>，∴82|n|=1
2
，∴|n|=8.
13.答案为：π
3
;
解析：由题意可得(a ＋b )·(2a －b )=2a 2－b 2
＋a ·b =8－16＋a ·b =－4，解得a ·b =4，
所以cos θ=a ·b |a ||b |=12，又因为θ∈[0，π]，所以θ=π
3.
14.答案为：0；
解析：∵错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

＋错误!未找到引用源。

＋错误!未找到引用源。

=(6,1)＋(x ，y)＋(-2，-3)=(x ＋4，y-2)，
∴错误!未找到引用源。

=-错误!未找到引用源。

=-(x ＋4，y-2)=(-x-4，-y ＋2)． ∵错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，∴x(-y ＋2)-(-x-4)y=0，即x ＋2y=0.
15.答案为：λ=μ；
解析：∵a=(1,2)，b=(-2,3)，∴a ＋b=(1,2)＋(-2,3)=(-1,5)， λa＋μb=λ(1,2)＋μ(-2,3)=(λ-2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a ＋b)，∴-1×(2λ＋3μ)-5(λ-2μ)=0，∴λ=μ.
16.答案为：23；
解析：错误!未找到引用源。

=(x ＋1，-6)，错误!未找到引用源。

=(4，-1)，∵错误!未找到引用源。

∥错误!未找到引用源。

，∴-(x ＋1)＋24=0，∴x=23.
17.答案为：1；
解析：∵向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线，∴2(3x-1)-4×1=0，解得x=1. 18.答案为：32;
解析：
19.解：
(1)若A ，B ，C 三点共线，则错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

共线． 错误!未找到引用源。

=(3，-1)-(1,1)=(2，-2)，错误!未找到引用源。

=(a-1，b-1)， ∴2(b-1)-(-2)(a-1)=0，∴a ＋b=2.
(2)若错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

，则(a-1，b-1)=(4，-4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，-3)． 20.解：
(1)因为a=(2,1)，b=(1,1)，所以a ＋b=(2,1)＋(1,1)=(3,2)．
(2)因为b=(1,1)，c=(5,2)，所以m=λb＋c=λ(1,1)＋(5,2)=(λ＋5，λ＋2)． 又因为a=(2,1)，且a 与m 平行， 所以2(λ＋2)=λ＋5，解得λ=1.
21.解：
22.解：
23.解：
24.解：(1)因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →
夹角是0°.
所以AD →·BC →=|AD →|·|BC →
|·cos0°=3×3×1=9.
(2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →
的夹角是180°，
所以AB →·CD →=|AB →|·|CD →
|·cos180°=4×4×(－1)=－16. (3)AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →
的夹角为120°，(←此处易错为60°.)
所以AB →·DA →=|AB →|·|DA →
|·cos120°=4×3×(-0.5)=－6. 25.解：
26.解：设P(x ，y)，则错误!未找到引用源。

=(x-1，y)，错误!未找到引用源。

=(5,4)，错误!
未找到引用源。

=(-3,6)，错误!未找到引用源。

=(4,0)．
由B ，P ，D 三点共线可得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=(5λ，4λ)． 又∵错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=(5λ-4,4λ)，
由于错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

共线得，(5λ-4)×6＋12λ=0.解得λ=4
7
，
∴错误!未找到引用源。

=47错误!未找到引用源。

=⎝ ⎛⎭⎪⎫207，167，∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫277，167.。