中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型六:几何新定义阅读理解题

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(1)解:如图所示,(画出其中一种即可).
(2)证明:∵AE∥CD,∴∠AEB=∠C, 又∵AB∥ED,∴∠B=∠DEC,∴△ABE∽△DEC, 即ADEC=BEEC,
又∵∠B=∠C, AB BE
∴△ABE 为等腰三角形,AB=AE,故DC=EC.
(3)解:过 E 点分别作 EF⊥AB,EG⊥AD,EH⊥CD, 垂足分别为点 F,G,H,如答图. ∵AE 平分∠BAD,∴EF=EG, 又∵DE 平分∠ADC,∴EG=EH,∴EF=EH, 又∵EB=EC,∴Rt△BFE≌Rt△CHE, ∴∠1=∠4,又∵EB=EC,∴∠3=∠2, ∴∠1+∠2=∠3+∠4,即∠ABC=∠DCB.
(2)如图②,在钝角三角形 ABC 中,∠ACB 为钝角,
∠ABC=45°,若 AD,AF 分别为△ABC 的高线和角平
分线,倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E,若 tan∠ACD
=3,BE=2,求线段 AE 的长. (3)在△ABC 中,若 AB=2,∠ABC=30°,倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E,当△ABE 为等腰三角形,且 AE ≠AB 时,求线段 BC 的长.
新定义考题虽有着较为新颖的命题形式,但依然是基于学生知识基础进 行的几何创新,理解定义的核心含义是问题求解的基础.数形结合、模 型建立是问题求解的有效方法.基于定义内容,把握知识联系,是构建 解题思路的基本策略.
5.(2013·安徽第 23 题 14 分)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角 形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”,如图①,四边形 ABCD 即为 “准等腰梯形”,其中∠B=∠C. (1)在图①所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直 线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三 角形和一个梯形(画出一种示意图即可); (2)如图②,在“准等腰梯形”ABCD 中,∠B=∠C,E 为边 BC 上一点, 若 AB∥DE,AE∥DC,求证:ADBC=BEEC;
(2)过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G, 由(1)易得∠CAD=∠Eห้องสมุดไป่ตู้G,∠BAD=∠EBG=45°, 令 EG=x,∵tan∠ACD=3, ∴tan∠ACD=tan∠AEG=AEGG=3, ∴易得 BG=x,AG=3x, ∴AE= 10x, 又∵BE= 2x=2, ∴AE=2 5.
△E△BEBED,可求 BE=E66 ,由勾股定理AC可求解.90
D
°
解:(1)∠C=50°或 35°. (2)CD=475或 3.
(3)如答图,将△ABC 沿 BC 向下翻折得到△EBC, ∴CE=AC=4,∠BCA=∠BCE,∠CBA=∠CBE, ∠E=∠BAC=90°,∴∠ABE+∠ACE=180°, ∵∠ACD=2∠ABC=∠ABE, ∴∠ACD+∠ACE=180°, ∴点 D,C,E 共线,
43 综上所述,线段 BC 的长为 3 ,2 3+2 或 2 3-2.
又∵四边形 ABCD 为 AD 截某三角形所得,且 AD 不平行 BC,∴ABCD 为“准 等腰梯形”. 当点 E 不在四边形 ABCD 内部时,有两种情况: 当点 E 在四边形 ABCD 的边 BC 上时,四边形 ABCD 为“准等腰梯形”; 当点 E 在四边形 ABCD 的外部时,四边形 ABCD 仍为“准等腰梯形”. 同理证明 Rt△BFE≌Rt△CHE,从而证明∠ABC=∠DCB 即可.
类型六:几何新定义阅读 理解题
如果三角形的两个内角α与β满足α-β=90°,那么我们称这样的 三角形为“准互余三角形”. (1)若△ABC 是“准互余三角形”,∠A>90°,∠B=20°,求∠C 的度数; (2)如图①,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=4,BC=5,点 D 是 BC 延 长线上一点.若△ABD 是“准互余三角形”,求 CD 的长; (3)如图②,在四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,AC=4,CD=5,∠BAC =90°,∠ACD=2∠ABC,且△BCD 是“准互余三角形”,求 BD 的长.
【分层分析】(1)由“准准互互余余三三角形角”定义可求解;(2)由勾股定理可求
AC=33,分两两种 情况讨形论,由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可
求解;(3)将种△ABC 沿 BC 翻折得到△EBC,可得 CE=AC=44 ,∠BCA=
∠∠BCBCE,∠CBA=∠∠CCBBE,∠E=∠∠BAB C=90 °,可通过证明△CEB∽
(3)情况一:如答图①, EA=EB,∠B=∠EAB=30°, ∵AE 为三角形的倍角高线, ∴作 AD⊥BC, 可得∠BAE=∠CAD=30°, ∴∠C=60°,∠BAC=90°, ∵AB=2, ∴BC=4 3 3;
情况二:如答图②, BA=BE,∠BAE=∠BEA=75°, 作 AD⊥BC,∵AE 为△ABC 的倍角高线, ∴∠BAE=∠CAD=75°,∴∠ACB=15°, 过点 C 作 AB 的垂线交 BA 的延长线于点 F, ∴∠CAF=45°,设 AF=CF=x,则 BF= 3x,
∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=2∠ABC+∠ACB=90°+∠ABC, ∴∠BCD-∠ABC=90°,∵△BCD 是“准互余三角形”, ∴∠BCD-∠CDB=90°, ∴90°+∠ABC-∠CDB=90°,∴∠CDB=∠ABC=∠EBC,
CE BE 4 BE 又∵∠E=∠E,∴△CEB∽△BED,∴BE=ED,即BE= 9 , ∴BE=6,∴BD= BE2+DE2=3 13.
(3)在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中,∠BAD 与 ∠ADC 的平分线交于点 E,若 EB=EC,请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时(即 图③所示情形),四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”,为什么?若点 E 不 在四边形 ABCD 内部时,情形又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)
(1)Ⅰ)解:根据题意可得∠EAF,∠BAE.
Ⅱ)证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD, 即∠B=∠CAD. 又∵AF 平分∠BAC,∠DAF=∠FAE, ∴∠BAF-∠EAF=∠CAF-∠DAF, 即∠BAE=∠CAD, ∴∠B=∠BAE,∴EB=EA,
即△ABE 为等腰三角形.
3x-x=2,得 x= 3+1, ∴BC=2 3+2;
情况三:如答图③, BA=BE,∠BAE=∠BEA=15°, 作 AD⊥BC,∵AE 为△ABC 的倍角高线, ∴∠BAE=∠CAD=15°,∴∠BAC=45°, 过点 C 作 CF⊥AB 于点 F, 设 CF=AF=x,∵∠ABC=30°, ∴BF= 3x,∴ 3x+x=2,得 x= 3-1,∴BC=2 3-2.
16.我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内 角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角 高线. (1)如图①,AD,AF 分别为△ABC 的高线和角平分线, 若 AE 为△ABC 的倍角高线. Ⅰ ) 根 据 定 义 可 得 ∠ DAF = ________ , ∠ CAD = ______(填写图中某个角); Ⅱ)若∠BAC=90°,求证:△ABE 为等腰三角形.
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