《金版新学案》高三数学一轮复习 第六章 第4课时 基本不等式课件 文 新人教A版

a＋ b ab≤ ＝ 4，故选 B. 2
答案：
B
3．若 x＋2y＝4，则 2x＋4y 的最小值是( A． 4 B． 8 C． 2 2 D． 4 2 x y x 2y x＋ 2y 解析： ∵2 ＋4 ≥2· 2 · 2 ＝2· 2 ＝2· 24＝8， 当且仅当 2x＝22y，即 x＝2y＝ 2 时取等号，
【思考探究】 的条件是什么？
上述四个不等式等号成立
提示： 满足 a＝b.
3． 算术平均数与几何平均数
a＋ b 设 a＞ 0， b＞0， 则 a， b 的算术平均数为______ 2 ，
ab ，基本不等式可叙述为： 几何平均数为______
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 x＝y 时， (1)如果积 xy 是定值 p， 那么当且仅当_____ x＋y 有_____ 最小 值是 2 p.(简记：积定和最小) x＝ y (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当_____ p2 时，xy 有______ 最大 值是 .(简记：和定积最大) 4
答案：
3
5 ． (2010· 重 庆 卷 ) 已 知 t ＞ 0, 则 函 数 y ＝ t2－4t1 1 解析： ∵ t＞0， ∴ y＝ ＝ t＋ － 4≥2 t t －4＝－2.
答案：
－2
利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不 等式的一种情况，综合法是指从已证不等式 和问题的已知条件出发，借助不等式的性质 和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转 化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”， 逐步推向“未知”．
a＋ b 1．“a＞0 且 b＞0”是“ ≥ ab”的 2 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案： A
2． 已知两个正数 a， b 的等差中项为 4， 则 a， b 的等比中项的最大值为 ( ) A． 2 B． 4 C． 8 D．16
解析：
第4课时
基本不等式
a＋ b 1．基本不等式 ab≤ 2 a＞0，b＞0 (1)基本不等式成立的条件：___________. (2)等号成立的条件：当且仅当_______ a＝b 时取等 号．
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥_____ 2ab (a，b∈R)； a＋ b2 ≤ (2)ab___ (a， b∈ R)； 2 2 2 a ＋b a＋ b2 ≥ (3) ___ (a， b∈ R)； 2 2 b a (4) ＋ ≥___( 2 a，b 同号且不为零)． a b
(2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋ b＝1， 1 1 a＋ b a＋ b b a ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋ a b a b a b ba 2 ·＝4， ab 1 1 1 即 ＋ ≥4， 当且仅当 a＝b＝ 时等号成立． 2 a b
1 1 1 a b 1 证法二： ＋ ＝ ＋ · (a＋ b)＝2＋ ＋ a b a b b a ba ≥2＋2 ·＝ 4. ab 1 当且仅当 a＝b＝ 时等号成立． 2
bc ac ab (1)设 a，b，c 都是正数， 求证： ＋ ＋ a b c ≥a＋b＋c. 1 (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： ＋ a 1 ≥4. b
证明： (1)∵ a，b， c 都是正数， bc ca ab ∴ ， ， 都是正数． a b c bc ca ∴ ＋ ≥2c，当且仅当 a＝b 时等号成立， a b ca ab ＋ ≥2a，当且仅当 b＝ c 时等号成立， b c ab bc ＋ ≥2b，当且仅当 a＝ c 时等号成立． c a bc ca ab 三式相加，得 2 ＋ ＋ ≥2(a＋b＋ c)， a b c bc ca ab 即 ＋ ＋ ≥a＋ b＋ c，当且仅当 a＝b＝ c 时等号成立． a b c
【变式训练】 1.已知 a＞0， b＞0， a＋b＝1， 1 1 求证：1＋ 1＋ ≥9. a b 证明： 证法一：因为 a＞0，b＞ 0，a＋b＝ 1， a＋ b 1 b 所以 1＋ ＝1＋ ＝2＋ . 2 a a 1 a 同理 1＋ ＝2＋ . b b 1 1 b a 所以1＋ 1＋ ＝2＋ 2＋ a b a b b a ＝5＋2 ＋ ≥5＋ 4＝9. a b 1 1 1 所以1＋ 1＋ ≥9(当且仅当 a＝b＝ 时等号成立)． a b 2
∴2x＋4y 的最小值为 8. 答案： B
)
1 4．当 x＞1 时，求函数 f(x)＝x＋ 的最小 x－ 1 值________．
解析：
∵x＞1，∴x－1＞0， 1 1 x ＋ ＝ (x － 1) ＋ ＋ x－ 1 x－ 1 1≥ 2
1 x－1· ＋ 1＝ 3. x － 1
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等” 这三个条件缺一不可． 若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为 定值或积为定值．
a＋ b 1 1 1 1 1 证法二：1＋ 1＋ ＝1＋ ＋ ＋ ＝1＋ ＋ a b a b ab ab
1 2 ＝1＋ ，因为 a，b 为正数，a＋b＝1， ab ab a ＋ b 1 1 2 2 所以 ab≤ ≥4， ≥8， ＝ ，于是 4 ab ab 2 1 1 1 因此1＋ 1＋ ≥1＋ 8＝9(当且仅当 a＝b＝ 时 a b 2 等号成立)．