资金时间价值及其等值计算

等额分付现金流之二
从第1年末到第 年末有一个等额的现 从第 年末到第n年末有一个等额的现 年末到第 金流序列，每年的金额均为A， 金流序列，每年的金额均为 ，这一等额 年金序列在利率为i的条件下 的条件下， 年金序列在利率为 的条件下，其现值是多 少？
上式为等额分付现值公式， 上式为等额分付现值公式， 称为等额分付现值系数，记为 ／ ， ， ， 称为等额分付现值系数，记为(P／A，i，n)， (P／A，i，n)的值可查附表。 的值可查附表。 ／ ， ， 的值可查附表
甲企业向乙公司借1000万元， 1000万元 例4 3甲企业向乙公司借1000万元，年利 10%，每年计息两次（年中、年末各一次） 率10%，每年计息两次（年中、年末各一次） 经协商甲企业在今后的五年中分10 10次等额 经协商甲企业在今后的五年中分10次等额 还本利息(每年两次，年中、年末各一次) 还本利息(每年两次，年中、年末各一次) 在归还5次以后，乙公司急等用钱， 在归还5次以后，乙公司急等用钱，提出要 企业在第六次还款时一次支付600万元， 600万元 企业在第六次还款时一次支付600万元，条 件是以此支付冲销余下的所有欠款， 件是以此支付冲销余下的所有欠款，向甲 企业是否同意？为什么？画出现金流量图。 企业是否同意？为什么？画出现金流量图。
第一年: 第一年 第二年: 第二年 第三年: 第三年 第四年: 第四年 第五年: 第五年
利息 10000元 本金 16380 剩余 83620 元 利息 8362元 本金 18018 剩余 65602 元 剩余45782 利息 6560元 本金 19820 剩余 元 剩余23980.2 利息 4578.2元 本金 元 本金源自文库1801.8 剩余 利息 2398元 本金 23982 0 元
3.名义利率和实际利率 名义利率和实际利率 (1)名义利率：计息周期的利率乘以每年的 名义利率： 名义利率 计息周期数。 计息周期数。 (2) 实际利率：每年的计息周期数用复利计 实际利率： 息所得到的年利率。 息所得到的年利率。 （3）两者的关系：设名义利率为 ，一年中 ）两者的关系：设名义利率为r， 计息数为m，则一个计息周期的利率应为r/m 计息数为 ，则一个计息周期的利率应为 年实际利率： 年实际利率： i=(1+r/m)m—1 当 m=1时， i=r，即名义利率＝实际利率 时 ，即名义利率＝实际利率; 当 m>1时， i>r，即名义利率＜实际利率 时 ，即名义利率＜实际利率; 无穷时， 当 m→无穷时，i=e r—1 无穷时
1 0 P 2
n
(2)一次支付现值公式 一次支付现值公式 已知n年后一笔资金 ，在利率i下 已知 年后一笔资金F，在利率 下，相当 年后一笔资金 于现在多少钱？ 于现在多少钱？ P=F（1+i）－n （ ） 这是一次支付终值公式的逆运算。 这是一次支付终值公式的逆运算。 系数 （1+i）－ n称为一次支付现值系数，记为 ） 称为一次支付现值系数， (P／F，i，n)，其值可查附表。 ／ ， ， ，其值可查附表。
解:画出四种偿还方式的现金流量图 画出四种偿还方式的现金流量图
１０００万元 １０００万元
(1) 0
1
2
3
4
5
60万元 万元 1000万元 万元 １０００万元 １０００万元
(2) 0
5
1338.2万元 万元
(3) 0
1000万元 万元
1
2
3
36
4
24
5
200万元 万元 12
60 1000万元 万元
第三章 资金时间价值及其等值计算 3.1 资金时间价值及相关概念 一、资金时间价值 资金时间价值是指等额货币在不同 资金时间价值是指等额货币在不同 时点上具有不同的价值。 时点上具有不同的价值。即资金在 扩大再生产及其循环周转过程中， 扩大再生产及其循环周转过程中， 随着时间变化而产生的增值。 随着时间变化而产生的增值。
二、资金等值计算公式
1．一次支付型 ． （1）一次支付终值公式 ） 如果现在存入银行P元 年利率为i， 年后拥 如果现在存入银行 元，年利率为 ，n年后拥 有本利和多少？ 有本利和多少？
F＝P(1＋i)n ＝ ＋
系数(1+i)n称为一次支付终值系数，记为 ／P， 称为一次支付终值系数，记为(F／ ， 系数 i，n)，其值可查附表。 ， ，其值可查附表。 F
误区: 误区: A1(F/A,8%,3)=A2(P/A,8%,3)
某企业从银行借款1000万元，在5年内以年 万元， 年内以年 例2 某企业从银行借款 万元 利率6%还清全部本金和利息，现有四种不同的 还清全部本金和利息， 利率 还清全部本金和利息 还款方式： 还款方式： (1)每年年末偿付所欠利息，本金到第五年末 每年年末偿付所欠利息， 每年年末偿付所欠利息 一次还清; 一次还清 (2)第5年末一次还清本息和 年末一次还清本息和; 第 年末一次还清本息和 (3)将所借本金作分期均匀摊还，每年末偿还 将所借本金作分期均匀摊还， 将所借本金作分期均匀摊还 本金200万元，同时偿还到期利息 万元， 本金 万元 同时偿还到期利息; (4)每年末等额偿还本息 每年末等额偿还本息; 每年末等额偿还本息 试分析各种还款方式每年的债务情况， 试分析各种还款方式每年的债务情况，并说 明哪种方式最优。 明哪种方式最优。
(F/P,i,n)
F
现值系数
(P/F,i,n)
终值系数
P
F
(F/A,i,n)
偿债基金系数
(A/F,i,n)
A
现值系数 现值 年 现 P=A((1+i)n 公式 值 值 -1)/(i(1+i)n) (P/A,i,n) 回收 现 年 A=P((1+i)n) 回收系数 公式 值 值 i /( (1+i)n-1) (A/P,i,n)
式中， 式中，〔 (1+i)n－1)/i 〕 称为等额分付终值系 数，用（F／A，i，n）表示，其值可由附表查 ／ ， ， ）表示， 出。
(2)等额分付偿债基金公式 等额分付偿债基金公式 等额分付偿债基金公式是等额分付终值公式 的逆运算，即已知终值F， 的逆运算，即已知终值 ，求与之等价的等 额年值A。 额年值 。
称为等额分付资本回收系数， 称为等额分付资本回收系数， 记为(A／ ， ， ， 记为 ／P，i，n)，其值可 查附表。 查附表。
类别
已 未 知 知
公式
系数与符号 终值系数
现金流量图
一 次 支 付 等 额 分 付
终值 现 终F=P(1+i)n 公式 值 值 P F 现值 终 现 P=F/(1+i)n 公式 值 值 终值 年 终 F=A((1+i)n 公式 值 值 -1)/i A F 基金 终 年 A=F*i/(( 公式 值 值 1+i)n-1)
查附表求： 查附表求： （F/P，10%，30）=？ ， ， ） ？ （F/P，30%，40）=？ ， ， ） ？ （P/F，10%，30）=？ ， ， ） ？ （P/F，30%，40）=？ ， ， ） ？
２．等额分付型
0 1 2 3 4 n-2 n-1 n
F
A
等额分付现金流之一
（1）等额分付终值公式 ） 如果某人每年末存入资金A元 年利率为 年利率为i,n 如果某人每年末存入资金 元,年利率为 年后资金的本利和为多少? 年后资金的本利和为多少
二、利息与利率
1．利息与利率 ． 利息：占用资金所付出的代价(或放弃使用资 利息：占用资金所付出的代价 或放弃使用资 金所的的补偿)。 金所的的补偿 。 Fn=P+ In 其中： 本利和； －本金； 利息； 其中：Fn－本利和；P－本金； In－利息； n－计算利息的周期数。 －计算利息的周期数。 利率： 利率：在一个计息周期内所得到的利息额与 借贷金额之比。 借贷金额之比。 i= I1/P×100% × 其中： 一个计息周期的利息。 其中：I1－一个计息周期的利息。
48
(4) 0
1
2
3
4
5
A=237.4万元 万元
分析:
四种偿还方式5年来偿还给银行的累计金额 四种偿还方式 年来偿还给银行的累计金额: 年来偿还给银行的累计金额 (1) 1300万元 (2) 1338.2万元 万元 万元 (3) 1180万元 (4) 1187万元 万元 万元 结论：根据等值的概念，四种方式等价。 结论：根据等值的概念， 但是对企业来说，如果其投资收益率＞ 但是对企业来说，如果其投资收益率＞ 银行利率，企业应该负债经营， 银行利率，企业应该负债经营，不应过 早的还债，因此第二种方式最优。 早的还债，因此第二种方式最优。 如果其投资收益率＜银行利率， 如果其投资收益率＜银行利率，企业应 尽早还贷，以免负债累累， 尽早还贷，以免负债累累，这时第三种 方式最优。 方式最优。
3 0 1 2 4 5 6
A2=?
折算到“ 折算到“3”时点的贷款额应等于折算到“3” 时点的贷款额应等于折算到“ 时点的还款额。 时点的还款额。 A1(F/P,8%,3)+A1(F/P,8%,2)+A1(F/P,8%,1) =A2(P/A,8%,3) 解得 A2=1360.5(万元) =1360.5(万元) 万元 解2: A1(1+8%)*(F/A,8%,3)=A2(P/A,8%,3) =1360.5(万元 万元) 解得 A2=1360.5(万元)
某人贷款10万元购房，年利率为10% 10万元购房 10%， 例3 某人贷款10万元购房，年利率为10%， 年于每年末等额偿还全部贷款， 分5年于每年末等额偿还全部贷款，则每 年应偿还利息与本金各多少？ 年应偿还利息与本金各多少？
解:
P=100000元 元
0 1 2 3 4 5
A=?（26380元） （ 元
2．单利和复利 ．
(1)单利 单利(Simple Interest)：仅用本金计算利息，利 单利 ：仅用本金计算利息， 息不再生利息。（债券、银行存款） 。（债券 息不再生利息。（债券、银行存款） In =P× i × n × n个计息周期后本利和： 个计息周期后本利和： 个计息周期后本利和 Fn=P+ In=P(1+i×n) × (2)复利 复利(Compound Interest)：以本金与累计利息 复利 ： 之和为基数计算利息，即利上加利。（银行贷款） 。（银行贷款 之和为基数计算利息，即利上加利。（银行贷款） Fn =P× (1+i)n × 技术经济中的计息方法为复利法。 技术经济中的计息方法为复利法。
3.2 3.2 资金等值计算
一、资金等值的概念
资金等值：在考虑资金时间价值因素后， 资金等值：在考虑资金时间价值因素后， 不同时点上数额不等的资金在一定利率条 件下具有相等的价值。 件下具有相等的价值。
贴现与贴现率： 贴现与贴现率：把将来某一时点的资金金额换算 成现在时点的等值金额称为贴现或折现。 成现在时点的等值金额称为贴现或折现。贴现时 所用的利率称贴现率或折现率。 所用的利率称贴现率或折现率。 现值：现值是指资金“现在”的价值。 现值：现值是指资金“现在”的价值。注意 现值”是一个相对的概念，一般地说， ＋ 时 “现值”是一个相对的概念，一般地说，将t＋k时 点上发生的资金折现到第t个时点 个时点， 点上发生的资金折现到第 个时点，所得的等值金 额就是第t＋ 个时点上资金金额在 时点的现值， 个时点上资金金额在t时点的现值 额就是第 ＋k个时点上资金金额在 时点的现值， 现值用符号P表示。 现值用符号 表示。 表示 终值：终值是现值在未来时点上的等值资金， 终值：终值是现值在未来时点上的等值资金，用 符号F表示 表示。 符号 表示。 等年值：等年值是指分期等额收支的资金值， 等年值：等年值是指分期等额收支的资金值，用 符号A表示 表示。 符号 表示。
A
P
三．综合应用
某工程项目计划3年完成 年完成， 年中每年 例1 某工程项目计划 年完成，3年中每年 年初分别贷款1000万元，年利率 万元， 年初分别贷款 万元 年利率8%，若 ， 建成后分三年每年年末等额偿还全部投资 每年应偿还多少? 额，每年应偿还多少
解：先画现金流量图（以项目为研究对象） 先画现金流量图（以项目为研究对象） A1=1000
为等额分付偿债基金系数， 其中 为等额分付偿债基金系数，用符 号（A／F，i，n）表示，其值可查附表。 ／ ， ， ）表示，其值可查附表。 查附表求： 查附表求： （F/A，8%，15）=？ （A/F，8%，15）=？ ， ， ） ？ ， ， ） ？
(3)等额分付现值公式 等额分付现值公式
A 0 P 1 2 3 4 n-2 n-1 n
(4)资本回收公式 资本回收公式 银行现提供贷款P元 年利率为i，要求在n 银行现提供贷款 元，年利率为 ，要求在 年内等额分期回收全部贷款， 年内等额分期回收全部贷款，问每年末应 回收多少资金？这是已知现值P求年金 的 回收多少资金？这是已知现值 求年金A的 求年金 问题。 问题。
查附表求： 查附表求： （P/A，30%，10）=？ （A/P，30%，10）=？ ， ， ） ？ ， ， ） ？