第3章 电阻电路的一般分析方法

b ( n 1)
网孔电流方程数目必然与待求变量数目相同而且是独立的， 求解这组方程可得到各网孔电流，进而利用已求得的网孔电 流可求出各支路电流、电压以及功率。
例
a i1 R1 uS1 + – il1 i2 R2 + – b il2
网孔1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 网孔2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压 和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同 可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
3.1 电路的图
网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富有 趣味和应用极为广泛的一门学科。
A A
B D
C
哥尼斯堡七桥难题
B
D
C
电路的图
i R1 R3 抛开元 件性质
支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向； (2) 选定(n–1)个节点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程； (将元件特性方程代入) (4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。 支路电流法的特点： 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列 写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的 情况下使用。
自电阻总为正
a i1 R1
uS1 + – il1
i2 R2
+
i3
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
il2
R3
uS2
–
R11 il1+ R12 il2= ul1 R21il1+ R22 il2 = ul2
网孔1、网孔2之间的互电阻。
1 2 6
i1 3 4 R5
i5
取网孔为基本回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:
i6 回路1
回路2
回路3 结合元件特性消去支路电压得：
R6
+ u – S
u2 u3 u1 0 u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 uS
R2 i2 R3i3 R1i1 0 R1i1 R5 i5 R6 i6 uS R4 i4 R5 i5 R3i3 0 联立求解，即可解得b个变量
网孔电流方程的列写
（1）对每一个网孔列写出KVL方程 （2）再对每一条支路列写出支路特性方程 uk f k (ik ) （3）将其中的支路电流ik用相应的网孔电流的线性组合表示 （4）将用网孔电流表示的支路电压uk代入到每一网孔的 KVL方程中，得到一组以网孔电流为变量的网孔电流方程
网孔电流方程的数目
7I1–11I2=70-6=64 11I2+7I3= 6
0 6 1 7 64 0 406
U=US
P70 6 70 420 W I1 1218 203 6 A P6 2 6 12W 0 1 1 1 64 11 0 1218 I 2 406 203 2 A
处理方法2
列写KVL方程时避开电流源支路取回路。
列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源） (1) n–1=1个KCL方程： a 解1. I1 I2 I3 节点a：–I1–I2+I3=0 7 11 1 (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 7 + + U 6A 70V 7I1–11I2=70-U 2 _ – 11I2+7I3= U b 解2. 增补方程：I2=6A a I1 I2 I3 由于I2已知，故只列写两个方程 7 11 1 节点a：–I1+I3=6 7 + 6A 70V 避开电流源支路取回路： – 7I1＋7I3=70 b
3
6 7 2 4 8 2 3
3.2 KCL和KVL方程的独立性
1.KCL的独立方程数
2 1 1 2 2 3 5 4 3 1
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i2 i5 i6 0 i3 i4 i5 0
3
4
4
6
1
＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
b R12= R21= –R2
当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号； 否则为负号。
ul1= uS1-uS2 ul2= uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。 网孔2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。
网孔电流方程的通式
R11im1 R12im 2 ... R1mimm uS 11 R21im1 R22im 2 ... R2 mimm uS 22 . . . . . . . . . . . . Rm1im1 Rm 2im 2 ... Rmmimm uSmm
n5
1
b8
8
3 5
R2
R4 _
1 3 5 2 6 4
2
7
4
6
+
uS
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n4
b6
有向图
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支 路和节点与电路的支路和节点一一对应。 ① (1) 图的定义(Graph) G={支路，节点} １ a. 图中的节点和支路各自是一个整体。 b. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 因此允许有孤立节点存在。 ②
u1 R1i1 u2 R2i2 u3 R3i3 联立求解，即可 解得2b个变量 u4 R4i4 u5 R5i5 u6 R6i6
2. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写电路方 程并求解的方法。
对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电 流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便 可以求解这b个变量。
例.
3.4 网孔分析法和回路分析法
以平面电路中的网孔作为基本回路， 1.网孔分析法 以网孔电流为未知量列写电路方程并 分析电路的方法称为网孔法。 为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中 基本思想 有一个沿着网孔的边界流动的电流 。各支路 电流可用网孔电流的线性组合表示，来求得电 路的解。 a i1 i2 i3 网孔数为2。选图示的两个网孔电 流，支路电流可表示为： R1 R2 il1 il2 R3 + + i1 i l1 i3 i l 2 uS1 uS2 – – i2 il 2 il1 b
例.
I1 7
+ 70V
求各支路电流及电压源各自发出的功率。 a
I2 1 6V + – 2
1 2 7 0
解 I3 11
(1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7
–
b 1 1 1 7 11 0 203 0 11 7
独立方程的列写
（1）根据KCL可以列写出(n-1)个独立的节点电流方程 （2）根据KVL可列写出b-(n-1)个独立的回路电压方程 （3）根据元件的性能关系，又可列写出b个支路电压、 支路电流关系方程 （支路特性方程）
例 i2
1 R1 R2
1
2 i3 R3
R4
2
KCL方程: 1 i
1
i4 3
2 3
(2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的 方程，消去中间变量。
对理想电流源支路的处理
如果电路中的某个支路是单一电流源或单一受控 电流源 ,需作一些相应的处理才能用支路电流法。
处理方法1
（1）假设电流源两端有一电压U，将电流源视为 电压为U的电压源列写方程； （2）补充电流源的数值与支路电流的关系方程。
基本回路(单连支回路) 基本回路具有独占的一条连枝 6 4 2 1 3 1 5 2 3 1 5 6 2 3
结论
节点、支路和 基本回路关系
支路数＝树支数＋连支数 ＝节点数－1＋基本回路数
b n l 1
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。
1
4 8 5
5 8 6 7
4 8 3 6
第3章
重点
电阻电路的一般分析
1.熟练掌握法
4. 节点电压法
线性电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。 方法的基础 （1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。 （2）元件的电压、电流关系特性。
i 2 i6 0 i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0
i1 3 4 R5
i5
取网孔为基本回路，沿顺时 针方向绕行列写KVL方程:
i6 回路1
回路2 回路3
R6
+ u – S
元件特性方程：
u2 u3 u1 0 u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 uS
6 11 7
I 3 I1 I 2 6 2 4 A
例.
I1 7 +
70V –
列写支路电流方程.(电路中含有受控源） a
I2 1 +
5U
解
I3
节点a：–I1–I2+I3=0
7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U
11
2 b
+ 7
_
U
_
增补方程：U=7I3
有受控源的电路，方程列写分两步： (1) 先将受控源看作独立源列方程；
i3 R3 整理得：
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
uS2
即： R11 il1+ R12 il2= ul1
观察可以看出如下规律： R11=R1+R2 R22=R2+R3
R21il1+ R22 il2 = ul2
网孔1的自电阻,等于网孔1中所有电阻之和。 网孔2的自电阻,等于网孔2中所有电阻之和。
有了方程通式，只需设出网孔电流，观察电路，写出自阻、 互阻及各网孔电压源电压升代数和并代入通式，即可迅速得 到按网孔电流顺序排列的相互独立的方程组 。
2.回路分析法
基本思想
以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。
a i1 R1 i2 R2 il1 + uS2 – b
为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中 有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的 线性组合表示。来求得电路的解。
c. 如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
(2) 路径
从图G的一个节点出发沿着一些支路连续 移动到达另一节点所经过的支路构成路径。
图G的任意两节点间至少有一条路径 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。
（3）连通图
(3) 子图
若图G1中所有支路和节点都是图G中 的支路和节点，则称G1是G的子图。
树 (Tree)
树T是连通图的一个子图满足下列条 件： (1)连通 (2)包含所有节点 (3)不含闭合路径
树
不 是 树
树支：构成树的支路
连支：属于G而不属于T的支路
特点
1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的： 连支数：
bt n 1
bl b bt b (n 1)
回路 (Loop)
回路L是连通图的一个子图，构成一个 闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个 节点关联2条支路
1 7 6
1
2 5 8 4 3 2 5
2 7 5 8 4
3
不是 回路
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
l bl b (n 1)
结论 n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2.KVL的独立方程数 KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结 论
n个结点、b条支路的电路, 独立的 KCL和KVL方程数为：
(n 1) b (n 1) b
3.3 支路法
以支路电压和（或）支路电流为电路变量列写电路方 程并进行求解的方法称为支路法。 对于有n个节点、b条支路的电路，当 1. 2b法 选择支路电压和支路电流作为电路变量列 写电路方程时，共有2b个未知变量。只要 列出2b个独立的电路方程，便可以求解这 2b个变量。
独立方程的列写
（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 （2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程 （3）利用元件特性方程替换支路电压
例 i2
1 R1 R2
1
2 i3 R3
有6个支路电流，需列写6个方程。 KCL方程: 1 i i i
R4
2
i4 3
2 3
0 i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0