1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)

福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案
班级姓名设计者日期
课题：§1.2应用举例（第一课时测量距离问题）课时：3课时●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
一、课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

二、讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。

解：根据正弦定理，得
ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC
ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55 = )
7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒
︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m)
答:A 、B 两点间的距离为65.7米
变式练习：海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο
的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο的视角，问：B 、C 间的距离
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方
法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。

首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，
∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得 AC =
)](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )
sin(sin γβαγ++a 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒,求AB 间的距离
解：AB=206
评注：在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程
较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

三、当堂训练
1、海上有A、B、C三个小岛，已知A、B之间相距8海里，A、C之间相距5海里，在A岛测得B岛和C岛的视角为60︒，问：B岛与C岛相距多少海里？
2、课本第14页练习第1、2题
四、能力提升
1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30︒，灯塔B在观察站C南偏东60︒，则A、B之间的距离为多少？（解略：2a km）
2、在海中有一小岛B，周围3.8海里有暗礁，军舰由向东航行到A，望见岛B在北偏东
75︒，航行8海里岛C，望见岛B在北偏东60︒，若此军舰不改变航向继续航行，有无触礁危险？（画图p9）
第二课时测量高度问题
●教学过程
一、课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
二、讲授新课
[范例讲解]
例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。

解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。

由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得
AC = )
sin(sin βαβ-a AB = AE + h
= AC αsin + h
=
)
sin(sin sin βαβα-a + h
变式训练：在地面A 处测得树梢的仰角为60︒，A 与树底部B 相距为5cm ，问：树高？
例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A
处的俯角β=501'︒。

已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
解:在∆ABC 中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,∠BAC=α- β,∠BAD =α.
根据正弦定理有：)sin(βα-BC = )
90sin(β+︒AB
AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)
sin(cos βαβ-BC 解Rt ∆ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=)
sin(sin cos βααβ-BC 将测量数据代入上式,得BD = )
1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'
''︒︒︒≈177 (m) CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
思考：有没有别的解法呢？
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.
解:在∆ABC 中, ∠A=15︒,∠C= 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,
A BC sin = C
AB sin ,
BC =C A AB sin sin =︒
︒10sin 15sin 5 ≈ 7.4524(km)
CD=BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
变式训练：有一长为10cm 的斜坡，它的坡角是75︒，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加成坡面的方法将它的坡角改为30︒，问坡底要延长多少cm?(画图p11)
三、当堂训练
1、课本第16页练习
2、在楼顶测得距楼底水平距离为3m 处的一物体的俯角为60︒，则楼高为
3、一斜坡长1km ，其坡角为30︒，则斜坡的铅直高度为
四、能力提升
1、为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？（答案：20+
3320(m)）
2、在地面C 处观察同一铅垂面内迎面飞来的一架飞机，当飞机在A 处时测得其仰角为30︒，过1min 后，飞机到达B 处，又测得飞机的仰角为75︒，如果该飞机以480km/h 的速度沿水平方向飞行，试求飞机的高度。

（画图P11）
3、在测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 、D ，测得AB A C S CD BDC BCD ，求塔高的仰角为测量塔顶并在点θβα,,,==∠=∠.
(画图P12)
第三课时测量角度问题
●教学过程
一、课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和
角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

二、讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB 。

解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，
AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222
=︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722
≈113.15
根据正弦定理,
CAB BC ∠sin = ABC
AC ∠sin sin ∠CAB = AC ABC BC ∠sin
= 15
.113137sin 0.54︒ ≈0.3255,
所以 ∠CAB =19.0︒,
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中，
AC=BC=30，
AD=DC=103，
∠ADC =180︒-4θ，
∴θ2sin 310=)
4180sin(30θ-︒ 。

因为 sin4θ=2sin2θcos2θ
∴ c os2θ=2
3,得 2θ=30︒ ∴ θ=15︒，
∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15
答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h
在 Rt ∆ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302
在 Rt ∆ADE 中,x 2+h 2=(103)2
两式相减，得x=53,h=15
∴在 Rt ∆ACE 中,tan2θ=
x h +310=3
3 ∴2θ=30︒,θ=15︒ 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
∠ACB=︒75+︒45=︒120
∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120
∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-16
9(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去），
∴3831'︒+︒45=8331'︒
答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活
的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
三、当堂训练
1、课本第18页练习
2、若B 在A 的北偏东30︒的方向，则A 在B 的 的方向。

3、 甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45︒方向，距A 有9海里，并以20海里/小时的速
度沿南偏东15︒方向行驶，若甲船以28海里/小时的速度行驶，应沿哪个方向，用多少小时才能尽快追上乙船？（已知6.038sin ,7.13==ο）
四、能力提升
1、我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向
以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，问需要多少的速度？
2、海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东
30︒，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45︒，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（画图P14）
五、课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。