二次函数图像和性质复习整理

y ax 2
二次函数y=ax2的性质
y ax 2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
，故
①若b＝0对称轴为y轴， ②若a，b同号对称轴在y轴左侧， ③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
（5）增减性：
b ①若a＞0，当 x 时，y随x的增大而增大； 2a
b 当 x 2a 时，y随x的增大而减小。
b ②若a＜0，当 2 a 时，y随x的增大而减小； b 当 x 2a 时，y随x的增大而增大。 x
(6)抛ห้องสมุดไป่ตู้线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点 ①抛物线 y ax2 bx c 与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线 y ax2 bx c与x轴的交点坐标为
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左（或向右）平移得到： • 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 • 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
当b＝0，c＝0时： y＝ax2 当b＝0时： y＝ax2＋c 当c＝0时： y＝ax2＋bx
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0) （3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0)
二次函数解析式
二次函数的解析式有两种形式： 1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为 一般式，列出三元一次方程组求出待定系 数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时， 通常设解析式为顶点式求出待定系数。
x1 ,0 , x2 ,0，其中 x1 , x2为方程 ax2 bx c 0
的两实数根
(7)抛物线 y ax bx c 与x轴的交点情况
2
可由对应的一元二次方程ax 2 bx c 0
的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
典型例题
例1.二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点,求这个函数的解析式.
例2.已知抛物线
y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
5、已知二次函数 y x 6 x m 的最小值 为1，则m= 。
2
6、如图，二次函数y=ax2+bx+c
则a 0, b a+b+c b2-4ac 0, c 0, 0 0,
－1 1 1 － 1
a－b+c 0,
7.练习：根据下列已知条件， 求二次函数的解析式： (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
【考点链接】
二次函数的图象
图象：是一条抛物线。 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。 （2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最 高点）。
y y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2 • 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到： • 当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k • 当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k
二次函数复习
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)
注意：它的特殊形式：
的最大值是0，求此函数的解析式．
例6.已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② 2 2
①②③⑦
.
1
y ( x 1) 2 4 y x 4x 1 y 2x 2 4 ⑤ y mx2 nx p ⑥ ④ y 3x y x ⑧ 2 2 ⑦ y ( x 1) x y 3( x 2)(x 1)
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
x b 2a
（2）对称轴是直线
b x 2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开 口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值： b 如果a＞0，当 x 2a 时，函数有最小值，
b 如果a＜0，当 x 2a 时，函数有最大值， 2
4ac - b y最大＝ ; 4a
4ac - b 2 y最小＝ , 4a
(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)
(4)已知二次函数的图象经过点（1，0），
(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。
(5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0）， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位, 在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得 到.
2 y ax bx c 的性质： 3．二次函数
（1）顶点坐标
b 4ac b2 , ; 4a 2a
③
=2 时,函数y=(m+1)χ 2.当m_______ 函数？
m2 m - 2χ+1 是二次
3、抛物线y=－x2+2x － 3的开口向 ， 对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。
2
4、抛物线 y 2( x m) n的顶点是(－2,3)， 则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。
例3. 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大 值或最小值，最大值或最小值是多少？
1 2 1 例4.已知函数y x 3x 2 2
，当x为何值 时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
例5. 已知二次函数
y m 1 x2 2mx 3m 2 m 1