第三章 圆板的应力分析

板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不 同作用方式的外载，如图所示。
t
(a)受纵向载荷的板
(b)受横向载荷的板
第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷 情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载 同时作用时，可通过叠加求解。
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§3.1 基本概念与假设 §3.2 圆板轴对称弯曲基本方程 §3.3 圆板与环板的计算 §3.4 带有平盖圆筒的边缘分析 §3.5 平盖的工程设计
梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。
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于是，可将各应力分量沿板厚合成
为相应的内力。 r , 可分别合成为弯
矩 M r , M ， rz可合成为横向剪力Qr，
它们之间的关系为
t2
t2
rz
M r r zdz，M zdz
r
d
t2 r z
t2
dr
(a)
3
16
q
R
2
1 3 3
r2
M
19
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w q
R2 r2 64 D
5 1
R2
r2
M
21
D
R2 r2
M r
3 q
16
R2 r2
M，M
3
q
16
R2
1 3 3
r
2
M
r z t 2
6 t2
3 q
16
R2 r2
M
(#1)
r
dw dr
M
D
1 r
dw dr
d2w dr 2
得
Mr M
3 q R2 r2 M
16
3
16
q
R
2
1 3 3
r
2
M
(#1b)
代入
r
z t 2
6M t2
r
，
z t 2
6M t2
(2-60#)
得
r z t 2
6 t2
3 q
16
R2 r2
M
(#1c)
z t 2
6 t2
现考察距离中面为z的微小线段AB。 w
ab
AB
a1
b1 z B1
r
－dw
变形前AB=ab=dr；变形后ab→a1b1， A1
AB→A1B1，且位于变形后的法线上。 z r z
直法线假设
又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则A点处的两向应变为
r
A1B1 AB z d (a)
AB
dr
2πr z 2πr
基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向
同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设
6
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弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
变形，只有沿中面法线 w 的挠度 。 只有横向力载荷
q t
可由边界条件dw dr rR 0，
借助于(#1)求得。
R 图2-29(b)
将第一式代入得
qR3
81 D
MR
1 D
0
qR2 M
8
w q R2 r2 64 D
ຫໍສະໝຸດ Baidu5 1
R2
r2
M
21
D
R2 r2
M r
3 q
16
R2 r2
M，M
3
16
q
R2
1 3 3
r
2
M
r z t 2
有 M r , M ,Qr 3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。
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3.几何方程
图2-27 圆板的变形
圆板在轴对称载荷作用下，中面
将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所 示。设中面上任意一点a 变形后的挠
d
r dr
z
+d
度为w，转角为 。由图可知
tan dw dr (c) 0 z
D
，C3
5 qR4 641 D
MR2
21 D
于是
w q R2 r2 64D
5 1
R2
r2
M
21 D
R2 r2
(#1a)
18
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w q R2 r2 64D
5 1
R2
r
2
21
M
D
R2 r2
(#1a)
代入
(M2r-59)D
d2w dr 2
一般在工程要求的精度范围内，当 wmax t 1 5 时，按
小挠度问题计；当1 5 wmax t 5时，按大挠度问题考虑。
5
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薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时，
属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其 分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维 问题来分析，其求解过程较为复杂。
R
同样，由式(#1)可得
图2-29(a)
w q wR624DqrR2624D15r2R152r 2R22r12 M D R2 r 2
t
(2-67)
MMrr
3
qq
1166
RR22
rr zz2t2t
rr223t62，38MMt32， 16MqqR32R1623r1q26r2Rq2MR1233133r2 r((222--770M2))
用下的小挠度弯曲问题。
7
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7
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§3.2 圆板轴对称弯曲基本方程
对于圆板，常取柱坐标 r, , z ，原点位于中面圆心。
1.圆板的变形与内力
在轴对称载荷作用下，圆板中的
0
t2 t 2x
变形和内力也一定轴对称。因此
r
z
v 0， r z 0， r z 0 图2-25 圆形薄板
6 t2
3
q
16
R2 r2
M
(#1)
z t 2
6 t2
3 q
16
R2
1 3 3
R
代入(2-61)
d dr
1 r
d dr
r
dw dr
Qr D
得
d dr
1
r
d dr
r
dw dr
qr 2D
图#1 受均布载荷和
弯矩的简支圆板
q
Mr
Mr
Qr r
Qr
积分得
w
C1r
2
C2
ln
r
C3
qr4 64D
由于 wr0应是有限量，故C2=0，于是
w
C1r 2
C3
qr4 64D
(2-64)
17
t 2
t2
t 2
(e)
Qr rzdz
M
t 2
以上各内力的正向如图2-28(b)所示， 且它们都只是r的函数，而与z无关。
Mr Qr
另外，由于弯曲应力不引起厚度的
Qr d
Mr
rz
M dr
(b)
改变，因而中面同一法线上各点的挠度 相等，位移 w也就是中面的挠度。
图2-28 各应力沿 板厚的分布与合成
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r
dM r dr
Mr
M
Qrr
或
drM
dr
r
M
Qrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
2πr
z
r
(b)
将(c)代入得
r
z
d2w dr 2
，
z r
dw dr
(2-57)
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4.物理方程
由于 z 0，故圆板的物理方程为
r
E
1 2
E
1 2
r
(2-58)
r
将(2-57)代入
r
z
d2w dr 2
z r
dw dr
r
Ez
1 2
z t 2
6 t2
3 q
16
R2
1 3 3
r 2
M
纯弯曲情况(q=0)
由式(#1)可得
M R
M t
w
M
21 D
R2
r2
图2-32
Mr M M
(2-83)
r
z t 2
z t 2
6M t2
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q
均布载荷简支圆板(M=0)
第三章 薄板理论及设计
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引子
工程应用 平封头： 常压容器、高压容器； 贮槽底板： 可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。
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什么是板？？
板：厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径)且中面
为平面的物体。
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边界条件：wrR 0，M r rR M M
q
Mt
将
w
C1r
2
C3
qr4 64D
和
R
Mr
D
d2w dr 2
r
dw dr
3 qr2
16
21
DC1
代入得
qR4 64 D
C1R 2
C3
0
3 qR2
16
21
DC1 M
联解得
C1
3 qR2 321 D
2
1
M
平衡方程：
dQrr qr
dr
drM r
dr
M
Qrr
物理方程：
(2-55)
d3w dr 3
1 r
d2w dr 2
1 r2
dw dr
Qr D
(2-56)
d dr
1 r
d dr
r
dw dr
Qr D
(2-61)
两边乘r 后求导，再将(2-55) 代入，可得
Mr
D
d2w dr 2
r
dw dr
(2-59)
M
D
1 r
dw dr
d2w dr 2
1 r
d dr
r
d dr
1
r
d dr
r
dw dr
q D
(2-62)
式(2-61,62)即为圆板轴对称
4个方程，4个未知量。
弯曲问题的挠曲微分方程。
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§3.3
圆板与环板的计算
基本公式
d dr
1 r
d dr
r
dw dr
Qr D
zz2t2t
3t6238t3216q qR2R2
131333r 2r2
M
显然，在板 中心挠度和 应力最大
wmax
wr0
5 qR4 641 D
r
zt r 0
2
zt 2 3 3
r 0
8t 2
qR4
(2-68) (2-73)
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均布载荷固支圆板
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§3.1 基本概念与假设
变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存
在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯 矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。
挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。
当中面的wmax远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问 题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩； 当wmax与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内 的薄膜力较大，因而不能忽略。
图2-26 圆板的微体受力
Fz 0： Qr dQr r drd Qrrd qrddr 0
Qr
r
dQr dr
qr 或
dQrr qr
dr
(2-55)
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cM q Qr
d
Mr r
Mr dMr
dr cM Qr dQr
0 z
Mr dMr
d 2
c M
c
M r d
(2-61)
Mr
D
d2w dr 2
r
dw dr
M
D
1 r
dw dr
d2w dr 2
(2-59)
r
z t 2
6M r t2
z t 2
6M t2
(2-60#)
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1.受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图)
任意半径r处的剪力由区域平衡 M
可得：
Qr qr 2
q
Mt
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同
一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
本章主要讨论圆形薄板(简称圆板)在轴对称横向载荷作
最大值在中面上。
比较
r
12M r t3
z
(2-60)
12M t3
z
由材力
rz
3Qr 2t
1
4z2 t2
r
z t 2
6Mr t2
z t 2
6M t2
rz
3Qr
z0
2t
(2-60#)
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6.挠曲微分方程
圆板轴对称弯曲挠曲方程：
圆板轴对称弯曲基本方程： 将(2-59)代入(2-56)，得
且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
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2.平衡方程
设圆板承受轴对称横向分布载荷 q(r )。通常薄板弯曲的
平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，θ)截取中面上的微
小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭
头表示，方向遵循右手螺旋法则。
M q Qr
d
Mr r
0 z
dr M
Mr dMr Qr dQr
Ez
1 2
d2 dr
w
2r (d)
1 r
dw dr
ddddr2wrw2 注意代：t入2z(2dez)
t3
Mr M
t2
r zdz
t 2 t2
(e)
zdz
t 2
M r
D
d2w dr 2
r
dw dr
t 2
M
D
1 r
dw dr
d2w dr 2
D Et 3
12 1 2
12 (2-59)
板的抗弯刚度
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5.应力计算(p50)
r
1
Ez
2
dd2rw2(d)r
dw dr
1
Ez
2
1 r
dw dr
d2w dr 2
Mr
D
d2w dw
dr 2(2-5r9)dr
M
D
1 r
dw dr
d2w dr 2
D Et 3 12 1 2
易见：正应力的最大值在
板的上下表面，剪应力的