《运用完全平方公式因式分解》优质课件(3套)

1 3
x2－2x＋3.
小聪和小明的解答过程如下：
小聪:
小明:
×
×
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2
1
1
(2)原式＝ 3 (x2－6x＋9)＝ 3 (x－3)2
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全
平方式. 观察这两个式子：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的±2倍
一、问题讨论
1、问题 前面我们学习了因式分解，你能用因式分解的方法 快速口算出
（1）832+2×83×17+172 （2）1042-2×104×4+42 等于多少吗？
比一比，试一试，看谁算得又对又快!说出来 和大家分享一下。
2、讨论 （1）832+2×83×17+172=？ （2）1042-2×104×4+42=？
当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50.
课堂小结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方
公式分解
因
式
特点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这 两数或式的乘积的2倍，符号可正 可负.
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
(2)20142 2014 4026 20132.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2 ＝100.
(2)原式 (2014)2 2 2014 2013 (2013)2
(2014 2013)2
1.
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
m2 - 2 . m . 6+62 解： (a+b)2-12(a+b)+36
= (a+b)2-2.(a+b).6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题， 快速口算 （1）832+2×83×17+172 （2）1042-2×104×4+42
你看出快速口算的奥妙了吧？你能快速口 算了吗？ （1）832+2×83×17+172=(83+17)2=10000 （2）1042-2×104×4+42=(104-4)2=10000
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
导入新课
复习引入
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
如果能快速算出来，说说你是怎么算的？ 如果不能快速口算出来，你想不想知道快速 口算的方法呢？
3、揭题
为了快速口算，我们今天就来学习 完全平方式的因式分解，学了完全平方式 的因式分解，你就知道快速口算的方法和 技巧了。
二、探究
1、完全平方式
因式分解与整式乘法是两种互逆的变形, 把 乘法的完全平方式
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进 一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为 m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差 式，完全平方式等）的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做公式法.
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99²；
本题利用完全平方公 式分解因式，可以简
(2)342＋34×32＋162.
化计算，
解：(1)原式=（100－99)² =1.
(2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1 的值．
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？
（1） x2-4x+4_____是_________ （2） x2+16 __不__是__，__缺__乘__积__项___ （3）9m2+3mn+n2____不__是__，__缺__乘__积__项__的__2_倍 （4）-y2-12xy+36x2 ___不__是__，__平__方__项__异__号___ （5） -m2+10mn-5n2______是________
a2 ± 2ab +b2 =(a ± b)² (或减去)这两个数的积
首2 ±2× +尾2 首×尾
的2倍，等于这两个数 (首±尾)2 的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( x )²+2·(x )·(2 )+( 2 )²=(x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m )²- 2·(m ) ·(3 )+(3 )²=(m - 3 )² 3.a²+4ab+4b²=( a )²+2·( a ) ·( 2b )+(2b )²=(a + 2b )²
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋ c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来,就得到因式分解的完全平方式
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
2、辨析 结构特点
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2 左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项 ，a、b两数积的2倍。 ② 次数：左边每一项的次数都是二次。 ③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。 右边：是a、b两数和（或差）的平方。 当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2 当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
例6 分解因式
(1) 3ax2+6axy+3ay2
分析：3ax2+6axy+3ay2中，都有公因 式3a，应先提出公因式，再进一步分 解。
解：3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
(2) (a+b)2-12(a+b)+36 分析：只要把a+b看成一个整体,(a+b)212(a+b)+36 就是一个完全平方式。即 (a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2.(a+b).6+62
讲授新课
一 用完全平方公式分解因式 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼 成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
b ab b²
a a² ab
a
b
这个大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2
= a2+2ab+
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2 = （a+b）2
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3), 故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值 为___±__8___.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2;
(2)原式=[2(2a+b)]²－ 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2;
(3)原式=(y+1)²－x² =(y+1+x)(y+1－x).
a2 +2. a . b+b2
解： 16x2+24x+9 = (4x)2+2.4x.3+32 =(4x+3)2
(2) -x2+4xy-4y2 分析：-x2+4xy-4y2中有两个平方项，且平 方项同为“-”，乘积项4xy正好是x与2y的积 的2倍，符合完全平方式的结构特点。
解： -x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2） =- [x2-2.x.2y+(2y)2] =-(x-2y)2
（6） 9x2+6x__不__是__，__只__有__一__个__平__方__项_____
三、引领示范
例5 分解因式 (1) 16x2+24x+9 分析：16x2=(4x)2,9=32,24x=2.4x.3 符合完全平方式的特点，是一个完全平方式。即
16x2+24x+9= (4x)2+2.4x.3+32
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; 是
（2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是
（5）x2+x+0.25. 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一；
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是__1______． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的 值为____±__4_____ ．
针对训练 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
有公因式要先 提公因式
(2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
要检查每一个多项 式的因式，看能否 继续分解．
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
a2 2ab +b2
(2)中首项有负号，一 般先利用添括号法则， 将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5，
几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0.
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题．