第五章第二节面向系统结构图的数字仿真

s
惯性环节 比例
K Ts 1
对应于
T1s 1 K T2s 1
Ai 1, Bi T , Ci K , Di 0
惯性环节
对应于 Ai 1, Bi T 2, Ci K , Di KT 1
对于振荡环节
K T 2 s 2 2Ts 1
可以用一阶环节等效联接得到。
(2.9 - 3)
或写成一阶微分方程组形式
( A1 B1s) y1( s) (C1 D1s)u1( s) ( A2 B 2 s) y 2( s) (C 2 D 2 s)u 2( s)
( An Bns) yn( s) (Cn Dns)un( s)
写成方程形式 ( A Bs )Y (C Ds )U
f (t , X ) Ab X Br
（式4）
此为对应n个状态变量
X [ x1 , x2 , xn ]
T
的一阶导数的n维向量表达式。于是 在t=tk时刻，欲 求tK＋1 时刻的值，需用龙格-库塔法求各次斜率：
K1 f (t k , X k ) Ab X k Br(t k )
在参考输入函数r（t）的作用下，系统输出y（t）开始 随时间变化，仿真程序应能按照给定的计算步长，采用 已确定的数值算法，对系统中各状态变量和输出逐点变 化情况进行求解运算。这部分模块是整个仿真程序的核 心部分，计算速度、精度误差取决于它，该模块为运行 模块。 在使用者规定的时间范围内，将计算数据按照一定要求 存储，并在仿真结束时，按使用者指定的格式输出仿真 结果，以便对系统进行分析研究，这就是所谓的输出程 序模块。
以上是采用matlab语言实现面向典型闭环系统数字仿 真的程序，从第二部分到程序末尾可编辑为sp4_4.m文 件存储起来。使用时，只要进入到matlab语言环境， 按第一部分格式输入系统参数和运行参数，再调用该 文件，即可得到运行仿真结果。
例 4－ 1
求该图所示系统的阶跃相应y（t）得数值解。
解：该系统结构形式是典型的闭环控制系统， 求解过程如下： （1）取开环放大系数k＝1，反馈系数v＝1，阶跃输入幅 值 r＝ 1。 （2）利用matlab语言中的conv（）函数功能，先将系统 开环传递函数G（s）化为传递函数形式的分母、分子多 项式系数向量[a0 a1 …an]和[b0 b1 … bn]. （3）设系统状态向量初值[x10 x20 … xn0]均为零。 （4）系统运行参数n0=4,t0=0,tf=10,h0=0.25。 （5）按以上步骤和参数，在matlab语言环境下，输入以 下命令语句。
一. 典型环节的确定
一个控制系统的结构图通常是由一些不同的环 节组成，一般常见的环节，即 积分环节
K s
比例 积分环节
K 1s K 2 s
T1s 1 K T2s 1
K 惯性环节 Ts 1
比例
惯性环节
振荡环节
K 2 2 T s 2Ts 1
为了编程方便，各常用环节可用一个典型环 节来表示。选定的典型环节，首先要求它有典型 性，即能用它来描述较多环节类型，保证所编制 的环节有较大的通用性，其次要求环节的结构简 单，用它编制的程序是简短易于计算的。常见的 环节中积分环节的结构最为简单，但在构成系统 时的组件多，增加了系统结构的复杂性。
1. 程序框图
Y (s) b0 s m bm1 s bm G( s) U (s) a0 s n an1 s an
2. 程序语句如下： （1）输入数据
2. 程序语句如下： （2）形成开、闭环系数阵
2. 程序语句如下： （3）运算求解
2. 程序语句如下： （4）输出结果
系数矩阵,u 和y分别为输入
输出的单列向量。
二. 具体求解步骤
（2）找连接矩阵 前面的公式表示了各环节输入 ui 与输出 yi 之间的数 量关系，但是一个环节的输入 ui 可能由几个环节的 yi 构成，因此要根据具体的情况找出系统各环节 输出 的连接关系即环节的输入量 ui 是由哪些环节的输出量 yi 组合而成的。图4-8表示一个控制系统的结构图。该 系统由五个环节组成，系统中的比例系数 2 4 4 已知，各环节的输入用 u1, u 2, u 3, u 4, u 5 表示，输出
h h h K 2 f (t k h , X K ) A ( X K ) Br ( t k 1 b k 1 k 2 2 2 2)
h h h K 3 f (t k h , X K ) A ( X K ) Br ( t k 2 b k 2 k 2 2 2 2)
K 4 f (t k h, X k hK3 ) Ab ( X k hK3 ) Br(t k h)
以上各斜率是对应n维状态变量 X [ x1 , x2 , xn ] 在t=tk时刻的四组斜率，最后求得 时刻的状态变量 X k 1
T
t k 1
及相应时刻的输出值
X k 1 X k h 6 ( K1 2K 2 2K 3 K 4 )
AX BU X Y CX
（式2）
由图一可知，控制量U=R-Ky,带入式2得
AX BU X AX B (r ky) AX B (r kCX ) ( A BkC) X Br Ab X Br
（式3）
式3即为系统的闭环状态方程，也就是系统的仿真模型。 其中
如要分析放大系数k、反馈系数v的影响作用，只需 分别对K和v重新赋值，其余参数不变，图中给出K 发生变化时，输出响应y（t）的曲线，由图可见， k增大，振荡加大，k减小，振荡减小，而对系统快 速性和稳态精度有很大影响。
K=2时的输出响应曲线
K=0.3时的输出响应曲线
返回

1.2
复杂联接的闭环系统的数字仿真
二. 具体求解步骤
（1）找传递函数的矩阵表达式
用n个环节描述n阶控制系统的传达函数的表达式为
yi ( s) Ci Dis Gi ( s) ui ( s) Ai Bis
(i 1,2,, n)
对每个环节列写出对应的传递函数为
y1( s ) C1 D1s G1( s ) u1( s ) A1 B1s y 2( s ) C 2 D 2 s G 2( s ) u 2( s ) A2 B 2 s yn ( s ) Cn Dns Gn ( s ) un ( s ) An Bns
我们选定通用的一阶环节（如图）作为典型环节， 能够做到不增加结构的复杂性，所 编制的程序具有 简单通用性强的优点。
ui
Ci Dis Ai Bis
yi
图 典型环节
一阶环节的传递函数形式为
Ci Dis Gi( s) Ai Bis
(i 1,2,, n)
(2.9 - 1)
Gi( s)
第二节 面向系统结构图的数字仿真

1.1 典型闭环系统的数字仿真 1.2 复杂联接的闭环系统的数字仿真


1.1 典型闭环系统的数字仿真
一、典型闭环系统数学模型 控制系统最常见的结构形式如图一所示。
R(s) _ B(s)
E(s)
G(s)
Y(s)
K
图一 典型闭环系统结构图
图中G(S)表示系统的传递函数，描述控制量U(s) （此为E(s)）与输出量Y(s)的信号传递关系。 K是系统的反馈系数，设其为一常数。且有
实际中常常遇到的是复杂结构形式的控制系统，它由 若干典型环节按照一定的规律联接而成，要采用上节 所述方法仿真，必须先将复杂形式结构图简化成图一 的典型结构形式，求出开环传递函数，然后运用上节程序 进行仿真分析，但这种方法存在以下问题：
R(s) _ B(s) E(s) Y(s)
G(s)
K
图一 典型闭环系统结构图
>>k=1; >>a=conv([1 0 0],conv([0.25 1],[0.25 1])); >>a >> 0.0625 0.5000 1.0000 0 0 >>b=[2*k k]; >>b 2 1 >>x0=[0 0 0 0] >>v=1;n=4;T0=0;Tf=10;h=0.25;R=1; >>sp4_1
Ci Dis Ai Bis
(i 1,2,, n)
(2.9 - 1)
利用这个典型环节，只要改变系数便可组成其它常 用环节： 积分环节
K s
对应于 Ai 0, Bi 1, Ci K , Di 0
比例 积分环节 K 1s K 2 对应于 Ai 0, Bi 1, Ci K 2, Di K 1
该方法是将系统看成是由一些典型环节构成，仿真 时先将各环节的参数及各环节之间的连接关系输入 计算机，由计算机程序构成系数矩阵A,B,C再用四 阶龙格库塔法对构成的状态方程进行仿真计算。由 于输入参数是各环节的参数，所以可直接求出各环 节的输出，可方便的研究环节参数变化对系统和环 节本身的影响，避免了求整体传递函数的问题。因 此是一种常用的数值积分法的仿真程序。
第二节
面向系统结构图的数字仿真
控制系统计算机仿真是建立在控制系统数学模型 基础上的一门技术，自动控制系统的种类繁多， 为通过仿真手段进行分析和设计，就要借助于 系统的数学模型。现行控制系统的数学模型的 表示形式有微分方程、传递函数、状态方程、 结构图形式等。实际工程中常常给出的是结构 图形式的数学模型，对此类形式的系统进行仿 真分析，自动求解各环节变量的动态变化情况， 从而得到关于系统输出各变量的有关数据、曲 线等，可方便的对系统进行分析和设计。 本节将对控制系统的典型结构形式二次模型化， 并采用数值积分算法得到系统相应的仿真结果。
（1） 程序要求被仿真系统用系统整体传递函数或 高阶微分方程的形式表示，并输入传递函数分母， 分子的多项式系数。当系统结构比较复杂，如：有 嵌套或闭环时，转换系统整体传递函数的工作比较 麻烦，工作量大。
（2）该程序不便于研究系统中某个环节参数变化对 系统动态性能和环节自身性能的影响，当系统中个 别参数改变时，状态空间表达式的系数矩阵A,C都要 受到影响，需要重新建立状态空间表达式。 为克服上述仿真程序的缺点，并考虑到工程中 常用的结构图形式的数学模型，满足各方面使用的 需要，研制了结构图法数字仿真程序。
Y (s) b0 s bm1 s bm G( s) U (s) a0 s n an1 s an
m
U(s)=E(s)
二、系统仿真模型 （1）系统仿真模型 为便于在计算机上进行仿真，需给出系统的仿真模型。 对图一系统的开环传递函数G(S)，按照能控标准型得 其开环状态方程
式中
A
A 0 C 0
1
A2
A n n
0
n
B
B 0
1
B2
B n n
0
n
1
C
C2
C n n
0
n
D D 0
1
D2
D n n
0
n
A，B，C，D都是 n n 维的 y u
Ab A BkC
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为系统闭环系数矩阵，而输入矩阵B和输出矩阵C不变。 根据求得的系统仿真模型，观察可知，该式其实是一个一 阶微分方程组的矩阵表达形式，采用四阶龙格-库塔法， 即可根据典型闭环系统的结构图进行仿真。
（二）仿真实现 由以上确定的仿真模型，采用四阶龙格-库塔法求解。 由式3 X A X Br b 知
yk 1 CX k 1
按以上算式，取K＝0，1…N不断递推，即求得所需时间 t0，t1….各点的状态变量x（tk）和输出量y（tk）。 采用四阶龙格-库塔法，即可根据典型闭环系统的结构图 进行仿真。
（三）仿真程序框图与实现 构成一个完整的仿真程序，必须至少建立： （1）输入数据块 （2）初始化块 （3）运行计算块 （4）输出结果块 作为系统仿真程序，使用时应尽可能方便，使用者只要 将开环传递函数G（s）的分母、分子各系数和反馈系数 输入计算机，计算机就掌握了关于该系统的基本信息， 然后形成开、闭环状态方程各阵等步骤均由仿真程序自 动完成，无需人工干预。因此，程序应用输入数据模块 和初始化程序模块。