2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数的概念及其表示(解析版)

第09讲函数的概念及其表示
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；4．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
5．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
知识点1函数的概念
1、函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．
（1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；
（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；
（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；
（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A →B ．3、函数的三要素
（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；
（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则．如：2
()f x x =，f 就是对自变量x 求平方．
（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值．
4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．
知识点2求函数定义域的依据
1、分式中分母不能为零；
2(2,)n k k N *=∈其中中；
(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈；
3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠；
4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；
5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
知识点3函数的表示法
1、函数的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．2、描点法作函数图象
（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x 的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；（2）描点：从表中得到一些列的点(x ，f (x ))，在坐标平面上描出这些点；（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．
知识点4分段函数
1、定义：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3、分段函数图象的画法
（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．
知识点5函数解析式的求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知()()
f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题．（1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；
（3）将()()
f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得()f x ．
3、配凑法：由已知条件()()
()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭
f x 、1⎛⎫
- ⎪⎝⎭
f x ……的方程，求()f x 解析式．
例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫
⎪⎝⎭f x ）的条件，
可把x 代为-x （或者把x 代为
x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x ．
考点一：对函数概念的理解
例1．（23-24高一上·河南濮阳·月考）下图中可表示函数()y f x =的图象是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据函数的定义可知一个x 只能对应一个y 值，故答案为B.故选：B.
【变式1-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）设{}{}123,,,M N e g h ==，
，,如下选项是从M 到N 的四种应对方式,其中是M 到N 的函数是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】对于A,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,A 错误;
对于B,集合M 中的2N 中的两个数,B 错误;
对于C,集合M 中的每个数在集合N 中都有唯一的数对应,C 正确;对于D,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,D 错误,故选:C.
【变式1-2】（23-24高一上·四川泸州·期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合{}1,2,4=-M 到集合{}1,2,4,16N =的函数的是（
）
A ．2y x =
B ．2
y x =+C ．2
y x =D ．2x
y =【答案】C
【解析】对于A ，集合M 中的元素1-按对应关系2y x =，在集合N 中没有元素与之对应，A 不是；
对于B ，集合M 中的元素4按对应关系2y x =+，在集合N 中没有元素与之对应，B 不是；对于C ，集合M 中的每个元素按对应关系2y x =，在集合N 中都有唯一元素与之对应，C 是；对于D ，集合M 中的元素1-按对应关系2x y =，在集合N 中没有元素与之对应，D 不是.故选：C
【变式1-3】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（
）
A ．:,()f A
B y f x →=B ．:,()f B A y f x →=
C ．:,()f A B x f y →=
D ．:,()
f B A x f y →=【答案】B
【解析】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；
B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B
考点二：求函数的定义域
例2.（23-24高一下·广东茂名·期中）函数y =）
A ．()0,∞+
B ．()
2,+∞C ．[)
0,∞+D ．[)
2,+∞【答案】D
【解析】对于函数y =20x -≥，解得2x ≥，
所以函数y =的定义域是[)2,+∞.故选：D
【变式2-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数3
y =
）
A ．[]3,3-
B ．()3,3-
C ．][(),33,∞∞--⋃+
D ．()()
,33,-∞-+∞ 【答案】B
【解析】由题知290->x ，解得33x -<<，
所以函数的定义域为()3,3-．故选：B.
【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，则(32)f x -的定义域为（）
A ．1[,2]
2
B ．[1,2]-
C ．[1,5]
-D ．5[1,]
2【答案】A
【解析】由于函数()f x 的定义域为[1,2]-，故1322x -≤-≤，解得
1
22
x ≤≤，即函数(32)f x -的定义域为1
[,2]2
.故选：A.
【变式2-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，则函数()2y f x =的定义域为（
）
A ．[]4,0-
B ．[]
1,0-C ．[]
1,2D ．[]
4,8【答案】C
【解析】函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，由[]0,2x ∈，有[]22,4x +∈，
即函数()y f x =的定义域为[]2,4，
令224x ≤≤，解得12x ≤≤，函数()2y f x =的定义域为[]1,2.故选：C
考点三：判断两个函数是否相等
例3.（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（）
A ．2
y =
B ．2y =+
C ．2
2
x y x
=+D ．2
y =+【答案】D
【解析】对A ，2
y =
的定义域为[)2,-+∞，2y x =+的定义域为R ，故A 错误；
对B ，22y x ==+，故B 错误；
对C ，2
2x y x
=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，故C 错误；
对D ，22y x ==+，故D 正确.故选：D
【变式3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）
A ．||,y x y =
B ．2
,x y x y x
==
C ．0
1,y y x ==D ．2
||,y x y ==【答案】A
【解析】选项A ，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；
选项B ，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；
选项C ，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D ，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.
【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（
）
A ．x
y x
=与1
y =B ．y =与y x
=
C ．y =
|1|
y x =-D ．321
x x y x +=+与
y x
=【答案】BCD 【解析】对于A ，x y x
=
的定义域为{}0x x ≠，而函数1y =的定义域为R ，故A 错误；
对于B ，函数y x ==，x ∈R ，故B 正确；
对于C ，函数1y x =
=-，x ∈R ，故C 正确；
对于D ，函数()2322111
x x x x y x x x ++===++，x ∈R ，故D 正确.故选：BCD.【变式3-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（
）
A ．()f x =()g x =
B ．()0
f x x =与()0
1g x x =
C ．()f x =()g x =
D ．()22f x x x =-与()2
2g t t t
=-【答案】BD
【解析】对A ：对()g x =(],0-∞，则()g x ==
故()f x =与()g x =A 错误；
对B ：()()0
10f x x x ==≠，()()0
1
10g x x x =
=≠，
故()0
f x x =与()0
1
g x x =
是同一函数，故B 正确；对C ：()f x 定义域为10
10
x x +≥⎧⎨-≥⎩，即1x ≥，()g x 定义域为210x -≥，
即1x ≥或1x ≤-，故()f x =()g x =C 错误；
对D ：()22f x x x =-与()2
2g t t t =-定义域与对应关系都相同，故()22f x x x =-与()2
2g t t t =-是同一函数，故D 正确.故选：BD.
考点四：简单函数的求值求参
例4.（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数()2
31f x x x -=-+，则()1f -=（
）
A ．5-
B ．1-
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】取2x =，有()2
12213f -=-+=.故选：D.
【变式4-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数1
()4
f x x =
-，若()2f a =，则a 的值为（）
A ．
92
B ．
72
C ．
52
D ．12
-
【答案】A
【解析】由()2f a =，得
124a =-，解得9
2
a =.故选：A 【变式4-2】（22-23高二下·山东烟台·月考）已知函数()2
12f x x x -=-，且()3f a =，则实数a 的值等于
（）A B ．C ．2
D ．2
±
【答案】D
【解析】令21,23x a x x -=-=，解得=1x -或3x =由此解得2a =±，故选：D
【变式4-3】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足
()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（
）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】在()()()1f x y f x f y +=+-中，
令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，
令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A
考点五：函数的三种表示方法
例5.（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(2)]f g 的值是（
）
x
123()
f x 131()
g x 3
2
1
A ．1
B ．2
C ．3
D ．1和2
【答案】C
【解析】由表可知：(2)2g =，则[(2)](2)3f g f ==.故选：C.
【变式5-1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()0f g =（）
x 014()
f x 2
6
9
A ．2
B ．6
C ．9
D ．0
【答案】C
【解析】由图可知()04g =，
由表格可知()()()049f g f ==．故选：C.
【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x 1234()f x 2341x
1234()
g x 2
1
4
3A ．1B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D
【变式5-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在[]22-,
上的函数()y f x =表示为:x [)
2,0-0(]
0,2y
1
-2
设()1f m =，()f x 的值域为M ，则（
）
A ．{}
1,2,0,1m M ==-B ．{}
2,2,0,1m M =-=-C ．{}1,|21
m M y y ==-≤≤D ．{}1,|21
m M y y ==-≤≤【答案】B
【解析】因为1x =满足(]0,2x ∈，所以()12f m ==-，
由表中数据可知：y 的取值仅有2,0,1-三个值，所以{}2,0,1M =-，故选：B.
考点六：函数解析式的求解
例6.（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以()1,3为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（）
A ．()2
36f x x x =-+B ．()2
24f x x x
=-+C ．()2
36f x x x
=-D ．()2
24f x x x
=-【答案】A
【解析】设图象是以()1,3为顶点的二次函数()()2
13f x a x =-+（0a ≠）．
因为图象过原点，所以03a =+，3a =-，所以()()2
231336f x x x x =--+=-+．故选：A
【变式6-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知()2
2143f x x -=+，则()f x =（
）．
A ．224x x -+
B ．22x x +
C ．221x x --
D ．224
x x ++【答案】D
【解析】令21t x =-，则12
t x +=
，则2
21()4()3242t f t t t +=+=++，所以()2
24f x x x =++，故选：D.
【变式6-2】（23-24高一上··期末）已知函数()f x 满足：2211f x x x x ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭，则()f x 的解析式为
（
）
A ．()2
2
f x x =+B ．()2
f x x
=C ．()()
2
20f x x x =+≠D ．()()
2
20f x x x =-≠【答案】A
【解析】因为2
221112f x x x x x x ⎛
⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，∴()22f x x =+，故选：A.
【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足14()26f x f x x x ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，
则()f x 的最小值为（
）A ．2B ．3
C ．4
D ．
8
3
【答案】D
【解析】由14
()2()6f x f x x x
+=+①，
令1x x =
，16
2()(4f x f x x x
+=+②，由2⨯-②①得8
3()2f x x x
=+，
所以288()333
f x x x =
+≥=，当且仅当28
33x x =，即2x =时，取等号，
所以()f x 的最小值为8
3
.故选：D
考点七：分段函数的求值求参
例7.（23-24高一上·河北石家庄·期中）若21,0
()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩
，则 (3)f =（）
A ．9
B ．10
C ．6
-D ．6
【答案】C
【解析】 (3)236f =-⋅=-.故选：C
【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数()21,0
2,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪
==⎨⎪->⎩
，则(){}
1f f f =⎡⎤⎣⎦（
）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．-1
【答案】A
【解析】因为()21,02,
02,0x x f x x x x ⎧-<⎪
==⎨⎪->⎩
，所以()1121f =-=-，()()()2
11110f f f =-=--=⎡⎤⎣⎦，
所以(){}
()102f f f f ==⎡⎤⎣⎦.故选：A
【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()()31,111,12
x x f x f x x ⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩，则()3f =（
）
A ．
14
B ．1
2
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】因为()()31,1
11,12
x x f x f x x ⎧-≤⎪
=⎨->⎪
⎩，则()()()113113212442f f f -===
=.故选：B.【变式7-3】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数()231,2
,2x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩
．若
2123f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
．则实数=a （
）A ．1-B ．1
C ．2
-D ．2
【答案】B
【解析】结合题意可得：2222,=3+1=3333f ⎛⎫
<∴⨯ ⎪⎝⎭
，
()2232,=333123f f f a ⎛
⎫
⎛⎫≥∴=+= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
，解得：1a =.故选：B.【变式7-4】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数()1,0,
21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩
若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（
）
A ．()
2,+∞B ．[)(]2,00,2-U C ．(][),22,-∞-+∞U D ．()()
2,00,2-⋃【答案】D
【解析】由()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，
若0a >，则()()0f a f a -->，即()1210a a +--⨯-->⎡⎤⎣⎦，解得2a <，所以02a <<若a<0，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为()()2,00,2-⋃.故选：D
考点八：函数图象实际应用
例8.（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线()y f x =（实线表示）；另一种是平均价格曲线()y g x =（虚线表示）.如()23f =是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；()23g =表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C ；
买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B ；
买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D ；故选：A.
【变式8-1】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（）
（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，
只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A ；
（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，
于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C ；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B ；故选：D
【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈()A B O A →→→，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】当小明在弧AB 上运动时，与O 点的距离相等，所以AB 选项错误.
当小明在半径BO 上运动时，与O 点的距离减小，
当小明在半径OA 上运动时，与O 点的距离增大，所以C 选项错误，D 选项正确.故选：D
【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之
间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（
）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，
从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．
一、单选题
1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数1
()2f x x =-的定义域为（）A ．{2
|3
x x >
且2x ≠}B ．{2
|3x x <且2x >}C ．2|23x x ⎧⎫≤≤⎨⎬
⎩⎭
D ．{2
|3
x x ≥
且2x ≠}【答案】D
【解析】由题意得32020
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x ≥且2x ≠，即定义域为223x
x x ⎧⎫
≥≠⎨⎬⎩⎭∣且.故选：D .2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21f x -的定义域为()1,2-，则函数()1f x -的定义域为（
）
A ．1,12⎛⎫- ⎪
⎝⎭B ．11,2⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭C ．()2,4-D ．()
2,1-【答案】C
【解析】函数()21f x -的定义域为()1,2-，所以12x -<<，
224,3213x x -<<-<-<，所以()f x 的定义域为()3,3-，
对于函数()1f x -，由313x -<-<，得24-<<x ，所以函数()1f x -的定义域为()2,4-.故选：C
3．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数()y g x =的对应关系如表所示，函数()y f x =的图象是如图所示，则()1g f ⎡⎤⎣⎦的值为（）
x
123()
g x 4
3
-1
A ．-1
B ．0
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】由图象可知()13f =，而由表格可知()31g =-，所以()11g f ⎡⎤=-⎣⎦.故选：A 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21,0
4,01
x x f x x x x ⎧+<⎪
=⎨+≥⎪
+⎩，则()()()
1f f f -=（）
A ．2
B ．3
C ．3-
D ．5
【答案】A
【解析】依题意，()()24
12,2221
f f +-==
=+，所以()()()
()()()1222f f f f f f -===.故选：A
5．（23-24高一上·山东淄博·月考）已知()2
122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（）
A ．()2
63f x x x =-+B ．()2
45f x x x =-+C ．()2
45
f x x x =--D ．()2
610
f x x x =-+【答案】B
【解析】令1t x =+，由于x ∈R ，则R t ∈，1x t =-，
所以()()()()2
21121245f x f t t t t t +==---+=-+，得()2
45f t t t =-+，
所以函数()f x 的解析式为()2
45f x x x =-+．故选：B
6．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合{}1,2,3M =，
{}1,2,3N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，在集合M 中任意一个数在N 中有且只有一个与之对应，
选项A 中集合M 中2对应的数有两个，故错误；选项B 中集合M 中3没有对应的数，故错误；
选项C 中对应法则为从M 到N 的函数，箭头应从M 指向N ，故错误；
选项D 中集合M 中任意一个数在集合N 中都有唯一数与之对应，故D 正确，故选：D
二、多选题
7．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）下列各组函数表示同一函数的是（）
A ．()(),f x x g x ==
B ．()(),f x x g x ==
C ．()()1,1f x x g t t =-=-
D ．()()0
1,f x x g x x x
=+=+【答案】AC
【解析】A.()(),f x x g x x ==，定义域都为R ，故表示同一函数；
B.()()
,f x x g x x ==，故不是同一函数；
C.()()1,1f x x g t t =-=-，解析式相同，定义域都为R ，故表示同一函数；
D.()()0
1,1f x x g x x x x =+=+=+，()f x 的定义域为R ，
()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故不是同一函数，故选：AC
8．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知函数()22,1
,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩
，关于函数()f x 的结论正确的是（
）
A ．()f x 的定义域为R
B ．()f x 的值域为(),4-∞
C ．()13f =
D ．若()3f x =，则x
【答案】BD
【解析】对于A ，因为()22,1
,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩
，
所以()f x 的定义域为(,1](1,2)(,2)-∞--=-∞ ，所以A 错误；对于B ，当1x ≤-时，21x +≤，当12x -<<时，204x ≤<，所以()f x 的值域为(,1][0,4)(,4)-∞=-∞ ，所以B 正确；
对于C ，因为()22,1
,12
x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，所以2(1)11f ==，所以C 错误；
对于D ，当1x ≤-时，由()3f x =，得23x +=，解得1x =（舍去），
当12x -<<时，由()3f x =，得23x =，解得x =x =
综上，x =D 正确.故选：BD.
三、填空题
9．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数()4f x x =+，()2
2g x x x =-+，则()f g x =
⎡⎤⎣⎦.
【答案】224
x x -++【解析】函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()()
22224f g x f x x x x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦.
故答案为：224
x x -++
10．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数y =的值域为.
【答案】[]
0,4
【解析】由y =可得()80x -≥，故08x ≤≤，
又()2
88162x x x x +-⎛⎫
-≤= ⎝⎭
，当且仅当8x x =-，即4x =时取等号，
4≤，故函数y []0,4，故答案为：[]
0,411．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()2,1
31,1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩
，则不等式()()13f x f x +-<的解集
为．
【答案】65x x ⎧
⎫<⎨⎬
⎩
⎭【解析】当1x ≤时，10x -≤，()()()1221423f x f x x x x +-=+-=-<，得5
4
x <
，所以1x ≤；当12x <
≤时，11x -≤，()()()13121533f x f x x x x +-=-+-=-<，得65x <，所以615
x <<；
当2x >时，11x ->，()()()131311653f x f x x x x +-=-+--=-<，得4
3
x <
，所以无解；综上所述，不等式()()13f x f x +-<的解集为65x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩⎭.
故答案为：65x x ⎧
⎫<⎨⎬
⎩
⎭四、解答题
12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知函数()2,0
1,0132,1
x x x
f x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩
.(1)画出函数()f x 的图象；
(2)当()2f x ≥时，求实数x 【答案】(1)作图见解析；
(2)1,0,7,.
3⎛⎫⎡
⎛⎤-∞+∞ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭
【解析】（1）因为()2,0
1,0132,1
x x x
f x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩，所以()f x
的图象如图所示：
（2）由题可得202x x ≤⎧⎨≥⎩或0112x x x
<<⎧⎪-⎨≥⎪⎩或1322x x ≥⎧⎨--≥⎩，
解得x ≤或103
x <≤或7x ≥，所以实数x
的取值范围为1,0,7,.3∞∞⎛⎫⎡⎛⎤-⋃⋃+ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭
13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数()4,11,11x x x f x x x x
-⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩2()1g x x =-.(1)求()2f ，()2g 的值；
(2)若7(())9
f g a =-，求实数a 的值.【答案】(1)13
-，3；(2)3±【解析】（1）因为21>-，且()4,11,11x x x f x x x x -⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩，所以121(2)123f -==-+.因为2()1g x x =-，所以2(2)213g =-=.
（2）依题意，令()g a t =，
若1t ≤-，则47(())()9t f g a f t t -==
=-，解得914t =>-，与1t ≤-矛盾，舍去；
若1t >-，则17(())()19
t f g a f t t -===-+，解得81t =>-，故2()18g a a =-=，解得3a =±，所以实数a 的值为3±；综上所述：a 的值为3±.。