2023届四川省遂宁市蓬溪县九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2
(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．123y y y >> B ．132y y y >> C ．231y y y >> D ．312y y y >>
2． “黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
3．如图是二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣1．关于下列结论：①ab<0；②b 1﹣4ac>0；③9a ﹣3b+c>0；④b ﹣4a=0；⑤ 方程ax 1+bx=0的两个根为 x 1=0，x 1=﹣4，其中正确的结论有（ ）
A ．②③
B ．②③④
C ．②③⑤
D ．②③④⑤
4．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是 A ．110 B ．25 C ．15 D ．310
5．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图平行四边变形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC=2∶3，AE 交BD 于F ，则S △BFE ∶S △FDA 等于（ ）
A ．2∶5
B ．4∶9
C ．4∶25
D ．2∶3
7．如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 点，C 为O 上一点，66P ∠=︒，则C ∠=（ ）
A ．57︒
B ．60︒
C ．63︒
D ．66︒
8．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A ．y=2(x+1)2+3
B ．y=2(x －1)2－3
C ．y=2(x+1)2－3
D ．y=2(x －1)2+3 9．已知反比例函数k y x =
的图象经过点（1，2），则k 的值为（ ） A ．0.5 B ．1
C ．2
D ．4 10．如图，小明将一个含有45︒角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程2250x x -=的解为_____.
12．如图，半径为3的圆A 经过原点O 和点02B （，）
，点C 是y 轴左侧圆A 优弧上一点，则tan OCB ∠=_____．
13．函数32
y x =-中，自变量x 的取值范围是________. 14．二次函数y ＝（x ﹣1）2﹣5的顶点坐标是_____．
15．若有一组数据为8、4、5、2、1，则这组数据的中位数为__________．
16．已知一元二次方程230x x a ++=的一个根为1，则a =__________．
17．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．
18．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB 的度数；
（2）已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
．
20．（6分）如图1，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE AB =，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．
（1）判断△FAG 的形状，并说明理由；
（2）如图2，若点E 和点A 在BC 的两侧，BE 、AC 的延长线交于点G ，AD 的延长线交BE 于点F ，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG ＝26，BD ﹣DF ＝7，求AB 的长．
21．（6分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =.
（Ⅰ）如图Ⅰ，D 为BC 边上一点（不与点,B C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC . 求证：（1）BAD CAE ∆∆≌；
（2）BC DC EC =+.
（Ⅱ）如图Ⅱ，D 为ABC ∆外一点，且45ADC ∠=︒，仍将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，连接EC ，ED .
（1）BAD CAE ∆∆≌的结论是否仍然成立？并请你说明理由；
（2）若9BD =，3CD =，求AD 的长.
22．（8分）如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，AC =3，AB =5，点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A
匀速运动；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 始终保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交BC 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点P 到达点A 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0)．
（1）当t 为何值时，//DE AB ？
（2）求四边形BQPC 的面积S 与t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使四边形BQPC 的面积与Rt ABC 的面积比为13：15？若存在，求t 的值．若不存在，请说明理由；
（4）若DE 经过点C ，试求t 的值．
23．（8分）（1）计算：1
22126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫ ⎝⎭-⎪． （2）如图，正方形纸板ABCD 在投影面a 上的正投影为1111D C B A ，其中边AB CD 、与投影面平行，,AD BC 与投影面不平行.若正方形ABCD 的边长为5厘米，145BCC ∠=，求其投影1111D C B A 的面积．
24．（8分）用配方法解方程:2220x x --=
25．（10分）如图，已知抛物线2
y ax bx c =++的图象经过点(3,3)A 、(4,0)B 和原点O ，P 为直线OA 上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线OA 及抛物线的解析式；
（2）过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，并与直线OA 交于点C ，当PCO △为等腰三角形时，求D 的坐标； （3）设P 关于对称轴的点为Q ，抛物线的顶点为M ，探索是否存在一点P ，使得PQM 的面积为
18
，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
26．（10分）一家公司招考员工，每位考生要在A 、B 、C 、D 、E 这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A 、B 两题，试求这位考生合格的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>．
故选A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 2、B
【解析】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，
故选B.
3、D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】由图像可知，a ＜0，b ＜0，故①错误；
∵图像与x 轴有两个交点
∴240b ac =->，故②正确；
当x=-3时，y=9a ﹣3b+c ，在x 轴的上方
∴y=9a ﹣3b+c>0，故③正确； ∵对称轴22b x a
=-=- ∴b-4a=0，故④正确；
由图像可知，方程ax 1+bx=0的两个根为 x 1=0，x 1=﹣4，故⑤正确；
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与性质，难度系数中等，解题关键是根据图像判断出a ，b 和c 的值或者取值范围. 4、C
【详解】∵10张卡片的数中能被4整除的数有：4、8，共2个，
∴从中任意摸一张，那么恰好能被4整除的概率是
21105
= 故选C
5、C
【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案．
【详解】由题意得，
A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似，
B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似；
C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B 中矩形不是相似多边形
D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似；
故选C ．
【点睛】
本题考查相似多边形的判定，其对应角相等，对应边成比例．两个条件缺一不可.
6、C
【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD ∥BE ，由平行得相似，即△BEF ∽△DAF ，再利用相似比解答本题．
【详解】∵:2:3BE EC =，
∴:2:5BE BC =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC =，AD ∥BE ，
∴:2:5BE AD =，BEF DAF ∽，
∴::2:5BF FD BE AD ==，
BFE FDA :S S 4:25=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．正确运用相似三角形的相似比是解题的关键．
7、A
【分析】连接OA ，OB ，根据切线的性质定理得到∠OAP=90°，∠OBP=90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB ，最后根据圆周角定理解答．
【详解】解：连接OA ，OB ，
∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-66°=114°，
由圆周角定理得，∠C=12
∠AOB=57°， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的
一半是解题的关键．
8、A
【分析】抛物线平移不改变a 的值．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h ）2+k ，代入得：y=2（x+1）2+1．
故选：A ．
9、C
【解析】将（1，1）代入解析式中即可.
【详解】解：将点（1，1）代入解析式得，
21
k =， k ＝1．
故选：C ．
【点睛】
此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键.
10、C
【分析】先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．
【详解】设含有45︒角的直角三角板的直角边长为1，
将一个含有45︒角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，
此圆锥的底面周长为：22R ππ=，
圆锥的侧面展开图是扇形，
2180n r l ππ==扇形，即2180
n ππ=，
∴255n =≈︒，
∵180255270︒<︒<︒，
∴图C 符合题意，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、10x =，252x = 【分析】因式分解法即可求解.
【详解】解：2250x x -=
x(2x-5)=0,
10x =，252
x =
【点睛】 本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉解题方法是解题关键. 12、24
【分析】由题意运用圆周角定理以及锐角三角函数的定义进行分析即可得解.
【详解】解：假设圆与下轴的另一交点为D ，连接BD ，
∵90BOD ︒∠=，
∴BD 为直径，6BD =，
∵点B 02（，）
， ∴OB=2，
∴226242OD =-=，
∵OB 为BDO △和BCO 公共边，
∴OCB ODB ∠=∠，
∴2tan tan 4
42OB OCB ODB OD ∠=∠===. 2. 【点睛】
本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
x
13、2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣1≠0，求解可得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意，有x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．
14、（1，﹣5）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：因为y＝（x﹣1）2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣5）．
故答案为：（1，﹣5）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
15、4
【分析】根据中位数的定义求解即可.
【详解】解：将数据8、4、5、2、1按从小到大的顺序排列为：1、2、4、5、8，所以这组数据的中位数为4.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了中位数的定义，属于基本题型，解题的关键是熟知中位数的概念.
16、-4
【分析】将x=1代入方程求解即可.
【详解】将x=1代入方程得4+a=0，
解得a=-4，
故答案为：-4.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.
17、1
【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.21，将A（0，1.21）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
【详解】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.21
∵点A（0，1.21）在抛物线上
∴1.21＝a（0﹣1）2+2.21
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.21
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.21
解得：x＝2.1或x＝﹣0.1（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.1，0）
∴OB＝OC＝2.1
∴CB＝1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．
18、12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
【详解】设旗杆的高度为x m,
∵0.8
0.69
x
=
∴12
x=
故答案为12
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．
【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；
（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.
【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°
∴∠APB=180°-30°-120°=30°
（2）过点P作PH⊥AB于点H
在Rt △APH 中，∠PAH=30°，AH=3PH 在Rt △BPH 中，∠PBH=30°，BH=33
PH ∴AB=AH-BH=233
PH=50 解得PH=253＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.
考点：解直角三角形
20、（1）等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）413．
【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到90BAD CAD ∠+∠=︒，90C CAD ∠+∠=︒，从而得到BAD C ∠=∠，然后利用等弧对等角、等角对等边等知识得到AF BF =，从而证得FA FG =，判定等腰三角形；
（2）成立，证明方法同（1）；
（3）首先根据上题得到AF BF FG ==，从而利用已知条件得到13FB =，然后利用勾股定理得到12BD =，5DF =，从而求得8AD =，最后求得413AB =
【详解】解：（1）结论：△FAG 是等腰三角形；
理由：如图1，
BC 为直径，AD BC ⊥，
90BAD CAD ∴∠+∠=︒，90C CAD ∠+∠=︒，
BAD C ∴∠=∠，
AE AB =，
ABE C ∴∠=∠，
ABE BAD ∴∠=∠，
AF BF ∴=，
90BAD CAD ∠+∠=︒，90ABE AGB ∠+∠=︒，
DAC AGB ∴∠=∠，
FA FG ∴=，
FAG ∴是等腰三角形；
（2）（1）中的结论成立； BC 为直径，AD BC ⊥，
90BAD CAD ∴∠+∠=︒，90C CAD ∠+∠=︒，
BAD C ∴∠=∠，
AE AB =，
ABE C ∴∠=∠，
ABE BAD ∴∠=∠，
AF BF ∴=，
90BAD CAD ∠+∠=︒，90ABE AGB ∠+∠=︒，
DAC AGB ∴∠=∠，
FA FG ∴=，
FAG ∴是等腰三角形；
（3）由（2）得：AF BF FG ==，
26BG =，
13FB ∴=，
227169
BD DF BD DF -=⎧∴⎨+=⎩ 解得：12BD =，5DF =，
1358AD AF DF ∴=-=-=，
AB ∴=．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出FAG △是等腰三角形，是一道难度不大的三角形和圆的结合的题目．
21、（Ⅰ）（1）见解析；（2）见解析；（Ⅱ）（1）仍然成立，见解析；（2）6.
【解析】（Ⅰ）（1）根据旋转的性质，得到AD=AE ，∠BAD=∠CAE ，然后根据SAS 证明全等即可；
（2）由全等的性质，得到BD=CE ，然后即可得到结论；
（Ⅱ）（1）与（Ⅰ）同理，即可得到BAD CAE ∆∆≌；
（2）根据全等的性质，得到9BD CE ==，然后利用勾股定理求出DE ，根据特殊角的三角函数值，即可求出答案.
【详解】解：（Ⅰ）（1）∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，
在BAD ∆和CAE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()BAD CAE SAS ∆∆≌；
（2）∵BAD CAE ∆∆≌，
∴BD CE =，
∴BC BD CD EC CD =+=+；
（Ⅱ）（1）BAD CAE ∆∆≌的结论仍然成立，
理由：∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AE ，
∴ADE ∆是等腰直角三角形，
∴AE AD =，
∵BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，
即BAD CAE ∠=∠，
在BAD ∆与CAE ∆中，AD AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()BAD CAE SAS ∆∆≌；
（2）∵BAD CAE ∆∆≌，
∴9BD CE ==，
∵45ADC ∠=︒，45EDA ∠=︒，
∴90EDC ∠=︒，
∴DE =，
∵90DAE ∠=︒，
∴62
AD AE DE ==
=. 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22、（1）98
t =；（2）()22665503t S t t =<-<+；（3）1或2；（4）52． 【分析】（1）先根据//DE AB 可得90PQA ∠=︒，再根据相似三角形的判定可得APQ ABC ，然后利用相似三角形的性质即可得；
（2）如图（见解析），先利用正弦三角函数求出FQ 的长，再根据Rt
ABC APQ S S S =-即可得S 与t 的函数关系式，然
后根据运动路程和速度求出t 的取值范围即可得； （3）先根据面积比可求出S 的值，从而可得一个关于t 的一元二次方程，再解方程即可得；
（4）如图（见解析），先根据相似三角形的判定与性质可得
BH HQ BQ BC AC AB ==，从而可得204153,55t t BH HQ --==，再根据线段的和差可得45
t CH =
，然后根据垂直平分线的性质可得CQ PC t ==，最后在Rt CHQ 中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）由题意得：,PC t AQ t ==， 3,5AC AB ==，
3,5AP AC t BQ AB AQ t ∴==-=-=-，
//DE AB ，DE 垂直平分PQ ，
AB PQ ∴⊥，即90PQA ∠=︒，
在APQ 和ABC 中，90PQA C A A ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩
， APQ ABC ∴~，
AP AQ AB AC
=∴，即353t t -=， 解得98
t =， 故当98t =时，//DE AB ； （2）如图，过点Q 作QF AC ⊥于点F ，
在Rt ABC 中，90,3,5∠=︒==C AC AB ，
44,sin 5
BC BC A AB ∴====，
∴在Rt AFQ 中，4sin 5FQ A AQ ==，即45FQ t =， 解得45
FQ t =， 则四边形BQPC 的面积1122
Rt ABC APQ S S S AC BC AP FQ =-=⋅-⋅， ()114343225
t t =⨯⨯--⋅， 226655
t t =-+， 点P 到达点A 所需时间为31AC =（秒），点Q 到达点B 所需时间为51
AB =（秒），且当点P 到达点A 时停止运动，点Q 也随之停止，
03t ∴≤≤，
又当0t =或3t =时，不存在四边形BQPC ，
03t ∴<<，
故四边形BQPC 的面积S 与t 的函数关系式()226655
03t S t t =<-<+；
（3）1134622
Rt ABC S AC BC =
⋅=⨯⨯=， 1326155
Rt ABC S S ∴==， 即226266555t t -+=， 解得1t =或2t =，
故当1t =或2t =时，四边形BQPC 的面积与Rt ABC 的面积比为13:15；
（4）如图，过点Q 作QH BC ⊥于点H ，连接CQ ，
90ACB ∠=︒，
//HQ AC ∴，
BHQ BCA ∴~， BH HQ BQ BC AC AB ∴==，即5435
BH HQ t -==， 解得204153,55
t t BH HQ --==， 45
t CH BC BH ∴=-=， DE 垂直平分PQ ，
CQ PC t ∴==，
在Rt CHQ 中，222HQ CH CQ +=，即22
2153455t t t -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得52
t =．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦三角函数、垂直平分线的性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（4），通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．
23、（1）3525+（2252 【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可；
(2) 作BE ⊥CC 1于点E ，利用等腰直角三角形的性质求得BE 的长即可求得BC 的正投影11B C 的长，即可求得答案．
【详解】(1) 122126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫ ⎝⎭
-⎪ (21232=231()22--+- (232=231(22-+-
352=522
+- ； (2)过点B 作BE ⊥CC 1于点E ，
在Rt BCE 中，45BCE ∠=︒，5BC =，
∴52sin 452
BE BC =︒=， ∵1BB ⊥11B C ，1CC ⊥11B C ，且BE ⊥CC 1，
∴四边形11BB C E 为矩形，
∴11522
B C BE ==， ∵115C D CD ==，
∴1111111152252522
A B C D S B C C D ===四边形． 【点睛】
本题主要考查了平行投影的性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，本题理解并掌握正投影的特征是解题的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．
24、x 13，x 23；
【分析】先变形方程得到x 2-2x+1=3，然后利用配方法求解；
【详解】x 2-2x+1=3，
（x-1）2=3， x-1=±3，
所以x 13，x 23；
【点睛】
此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.
25、（1）直线OA 的解析式为y x =，二次函数的解析式是24y x x =-+；（2）(3D -；（3）存在，315(,)24P 或515(,)24
【分析】（1）先将点A 代入求出OA 表达式，再设出二次函数的交点式，将点A 代入，求出二次函数表达式； （2）根据题意得出当PCO △为等腰三角形时，只有OC=PC ，设点D 的横坐标为x ，表示出点P 坐标，从而得出PC 的长，再根据OC 和OD 的关系，列出方程解得；
（3）设点P 的坐标为2(,4)P n n n -+，根据条件的触点Q 坐标为2(4,4)Q n n n --+，再表示出PQM 的高，从而表示出PQM 的面积，令其等于18
，解得即可求出点P 坐标. 【详解】解：（1）设直线OA 的解析式为1y kx =，
把点A 坐标(3,3)代入得：1k =，
直线OA 的解析式为y x =；
再设2(4)y ax x =-，
把点A 坐标(3,3)代入得：1a =-，
函数的解析式为2
4y x x =-+，
∴直线OA 的解析式为y x =，二次函数的解析式是24y x x =-+． （2）设D 的横坐标为m ，则P 的坐标为2(,4)m m m -+，
∵P 为直线OA 上方抛物线上的一个动点，
∴03m <<．
此时仅有OC PC =，OC =，
∴23m m -+=，解得3m =
∴(3D ；
（3）函数的解析式为24y x x =-+，
∴对称轴为2x =，顶点(2,4)M ，
设2(,4)P n n n -+，
则2(4,4)Q n n n --+，M 到直线PQ 的距离为2244()2)(n n n --+=-，
要使PQM 的面积为18，
则211(2)28PQ n ⋅⋅-=，即211|42|(2)28
n n ⋅-⋅-=， 解得：32
n =
或52n =， ∴315(,)24P 或515(,)24． 【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象及性质的运用，点坐标的关系，综合性较强，解题的关键是利用条件表示出点坐标，得出方程解之.
26、710
【详解】解：树状图为：
从树状图看出，所有可能出现的结果共有20个，其中合格的结果有14个，
所以，P(这位考生合格)=
710
答：这位考生合格的概率是710．。