【金版案】高中数选修11(人教A版)：2.3.2 同步辅导与检测课件

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基础训练
1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦
点，点M在抛物线上移动时，使＋取得最小值的M的
坐标为(
)
A.(0，0)
B．(12，1)
C.(1， 2)
|AB|＝x1＋x2＋p， y1y2＝－p2，x1x2＝p42等．
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2．直线与抛物线的位置关系 直线方程与抛物线方程联立后得到一元二次方程： ax2＋bx＋c＝0.当a≠0时两者位置关系的判定与椭圆、双 曲线相同，用判别式法即可；但如果a＝0，则直线是抛 物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线与 抛物线相交，但只有一个公共点．
答案：－∞，－143
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已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝ k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．
分析：利用尽可能少的字母，表示重要的点的坐标， 使关系简捷明了．
解析：设抛物线上的点A(y，y1)，B(y，y2)关于直线l 对称．则
由点 B 在抛物线上，得
a22＝－2p·－a4，得 p＝a2，
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∴抛物线方程为 x2＝－ay. 将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 0．82＝－ay，y＝－0.a82， ∴点 E 到拱底部 AB 的距离为 a4－|y|＝a4－0.a82＝a2－4a2.56＞3， 解得 a＞12.21，又∵a 取正整数，故 a＝13.
解析：设直线 l 的方程为 y＋6＝k(x＋1)
联立yy2＝＝k4xx＋k－6 消 x，得 ky2－4y＋4k－24＝0， ∴Δ＝16(－k2＋6k＋1)>0 且 k≠0，
∴解出k≠0
，
3－ 10<k<3＋ 10
∴3－ 10<k<0 或 0<k<3＋ 10.
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解析：设抛物线焦点为 F， M 是抛物线上横坐标为 4 的点，则 |MA|＝|MF|＝5，而|MA|＝p2＋4，即p2＋4＝5， p＝2. ∴抛物线的焦点与准线的距离为 2. 答案：2
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设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若 过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取 值范围是( )
－5－x2＋2 52＝6，
∴x2＋10x＋9＝0，x1＝－1，x2＝－9. 求出相应的p1＝2，p2＝18，则相应的抛物线方程 为y2＝－4x和y2＝－36x. 答案：y2＝－4x和y2＝－36x
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变式迁移
2．抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的 距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为________．
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一辆卡车高3 m，宽1.6 m，要通过横断面为 抛物线型的隧道，已知拱底AB宽恰好是拱高CD的4倍， 若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴， 建立直角坐标系，设抛物线方程为
x2＝－2py(p＞0)，则点 Ba2，－a4.
y＝kx＋2
⇒Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0⇒－64k2＋64≥0⇒－1 ≤ k≤1.
答案：C
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变式迁移
3．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2 －2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________．
解析：过两点 A(a,0)和 B(0，a)的直线方程为： x＋y＝a，
联立y＝x2－2x－3 x＋y＝a
，消去 y，得 x2－x－3－a＝0.
因为直线与抛物线 y＝x2－2x－3 没有交点，
则 Δ＝1－4(－3－a)＜0，解得 a＜－143.
因此，实数 a 的取值范围是－∞，－143.
A.－12，12
C．[－1,1]质•高追求 我们让你更放心！
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解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，点Q(－
2,0)，设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x＋2)，
联立
y2＝8x

,消去y得，k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0
∴Δ＝k2－4k22＋1k－12＞0，得－2＜k＜0.
点评：本题是抛物线中点的轴对称问题，其解决办 法与椭圆、双曲线中的相应问题的解决办法相同．
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变式迁移
4．过点(－1，－6)的直线l与抛物线y2＝4x相交于 A、B两点(A、B不重合)求直线l的斜率k的取值范围．
①当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p ＞0)，
由题意得2p＝8. ∴y2＝8x，焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2.
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②当焦点在x轴的负半轴上时，设方程为 y2＝－2px(p＞0)， 由题意得2p＝8. ∴y2＝－8x，焦点为(－2,0)，准线方程为x＝2. ③当焦点在y轴的正半轴上时， 设方程为x2＝2py(p＞0)， 由题意得2p＝8. ∴x2＝8y，焦点为(0,2)，准线方程为y＝－2.
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④当焦点在y轴的负半轴上时，设方程为 x2＝－2py(p＞0)， 由题意得2p＝8. ∴x2＝－8y，焦点为(0，－2)，准线方程为y＝2.
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变式迁移
1．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴， 过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为 ______________．
解析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p 的2倍．
∴所求抛物线方程为x2＝±16y. 答案：x2＝±16y
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抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，
点 (－5，2 5) 到焦点距离是6，则抛物线方程为_____．
解析：∵对称轴是x轴， 不妨设其焦点坐标为F(x,0)，则
D.(2，2)
解析：可以看做是点M到准线的距离，当点M运 动到和点A一样高时，＋取得最小值，即My＝2，代入 y2＝2x得Mx＝2.
答案：D
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祝
您
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过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为 抛物线的通径．求顶点在原点，且通径长为8的抛物线的 方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．
解析：由于焦点位置不确定，因而要分四种情况讨 论．
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5．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2 m，测得水面 宽度为8 m．当水面上升1 m后，水面宽度为______m.
解析：以拱顶为原点，拱高所在的直线为 y 轴， 建立直角坐标系． 设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)， 将点(4，－2)代入，得 p＝4，所以抛物线方程为 x2＝－8y. 设水面宽度为 2x m，将点(x，－1)代入抛物线方程， 得 x＝2 2，2x＝4 2.水面宽度为 4 2 m. 答案：4 2
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圆锥曲线与方程
2．3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质
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1．关于抛物线的几何性质 抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照， 很容易把握；但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线 的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛，例如： 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线 于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：
k·yy121－－yy222＝－1 y1＋2 y2＝ky21－2 y22－1＋1
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y1＋y2＝－k 即y1y2＝k22＋1k－12 ，
∴y1，y2 是方程 t2＋kt＋k22＋1k－12＝0 的两个不同的根，