王式安考研概率讲义

概率统计
第一讲
随机事件和概率
考试要求：数学一、三、四要求一致。

了解：样本空间的概念
理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验
掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算
会计算：古典概率和几何型概率。

§1随机事件与样本空间
一、随机试验：E
（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知
二、样本空间
试验的每一可能结果——样本点ω
所有样本点全体——样本空间Ω
三、随机事件
样本空间的子集——随机事件A B C
样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。

如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现
如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现
Ω——必然事件Φ——不可能事件
§2事件间的关系与运算
一．事件间关系
包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差
运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示
例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：
“第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ；
（3）1
2
3A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ；
再用123,,A A A 表示下列事件：
(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。

§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式
一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1
2
12()()()()n
n P A A A P A P A P A =++
++
,i j A A i j =∅≠
二．性质
(1)()0P ∅= （2）1
2
12()()()()n
n P A A A P A P A P A =++
++
,i j A A i j =∅≠
(3)()1()P A P A =-
(4),()()A B P A P B ⊂≤ (5)0()1P A ≤≤
三．条件概率与事件独立性
(1)()
()0,(),()
P AB P A P B A P A >=
事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，
,A B 独立,A B 独立,A B 独立,A B 独立；
()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =；
(3)1
2
1
212(,,,)()()
()
1k
k i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤
称12,,n A A A 相互独立,(2321n
n n n n C C C n +++=--个等式)
相互独立
⨯
两两独立。

四．五大公式
(1)加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-
P(A )()()()()()()()B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+
1
2
(...
)n P A A A =…
(2)减法公式：()()()P A B P A P AB -=- (3)乘法公式：()0,()()()P A P AB P A P B A >=
121(...)0n P A A A ->时，12121312121(...)()()()
(...)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=
(4)全概率公式：12,...,n B B B 是完全事件组，且()0i P B >，1,
i n =
1
()()()n
i i i P A P B P A B ==∑
(5)贝叶斯公式：12,,...,n B B B 是完全事件组，()0,()0,1,
,i P A P B i n >>=
1
()()
()()()
j j j n
i
i
i P B P A B P B A P B P A B ==
∑ 1,2,...,j n =
§4 古典型概率和伯努利概率
一．古典型概率
()A n A P A n =
=所包含的样本点数样本点总数
二．几何型概率
()()()A A L P A L ΩΩ=
=ΩΩ的几何度量
的几何度量
三．独立重复试验
独立——各试验间事件独立，重复——同一事件在各试验中概率不变 四．伯努利试验
试验只有两个结果A A 和——伯努利试验
n 重伯努利试验
二项概率公式 (1)k k n k
n C P P -- 0,1,...
,k n = ()P A p =
§5 典型例题分析
例1.设,A B 为两事件，且满足条件AB AB =，则()P AB =_______________ .
例2.,A B 为任意两事件，则事件()
()A B B C --等于事件
()A
A C -
()B ()A
B C -
()C ()A B C -- ()D ()A
B B
C -
例3．随机事件,A B ，满足1
()()2
P A P B ==
和()1P A B = 则有 ()A A B =Ω
()B AB φ=
()C
()1P A
B =
()D ()0P A B -=
例4．设()
()01P A P B <<且()()1P B A P B A += 则必有
()A ()()P A B P A B = ()B ()()P A B P A B ≠
()C
()()()P AB P A P B = ()D ()()()P AB P A P B ≠
例5．(06)设A 、B 为随机事件，且()0P B >，()1P A B =，则必有
()A ()()P A B P A > ()B ()()P A B P B > ()C
()()P A B P A =
()D ()()P A
B P B =
例6．试证对任意两个事件A 与B ，如果()0P A >，则有
()
(|)1()
P B P B A P A ≥-
）
例7．有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从
两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1） 这个球是红球的概率；
（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。

例8．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18
件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p ；
（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q .
例9．袋中装有α个白球和β个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求
下列事件的概率：
（1） 从袋中取出的第k 个球是白球(1)k αβ≤≤+
（2） 从袋中取出a b +个球中，恰含a 个白球和b 个黑球(,)a b αβ≤≤
例10．随机地向半圆{
}
2(,)02x y y ax x <<
-（其中0a >，是常数）内掷一点，则原点和该
点的连线与x 轴的夹角小于
4
π
的概率为____________。

例11．在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p ，求在第n 次成功之前恰失败了m 次的概率。

例12．四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入
同一个邮筒的概率为_____________。

例13．已知,,A B C 三事件中A B 与相互独立，()0P C =，则,,A B C 三事件
()A 相互独立 ()B 两两独立，但不一定相互独立 ()C 不一定两两独立 ()D 一定不两两独立
例14．10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，
则原先售出1台为二等品的概率为
()A
310 ()B 28 ()C 210
()D
3
8
例15．甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1
球混合后，从中任取1球为白球的概率
()A
15
()B
25
()C
35
()D
45
例16．10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次
品的概率。

例17．两盒火柴各N 根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R 根的概率。

()R N ≤
例18．（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个数记为Y ，
则(2)P Y ==_____________。

第二讲
随机变量及其概率分布
考试要求： 理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度
掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分
布，指数分布及它们的应用
会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函
数的概率分布。

数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件
§1 随机变量及其分布函数
一．随机变量
样本空间Ω上的实值函数()X X ω=，ω∈Ω。

常用,,X Y Z 表示 二．随机变量的分布函数
对于任意实数x ，记函数()()F x P X x =≤，x -∞<<+∞ 称()F x 为随机变量X 的分布函数；
()F x 的值等于随机变量X 在(],x -∞内取值的概率。

三．分布函数的性质
（1）lim ()0x F x →-∞
=，记为()0F -∞=；
lim ()1x F x →+∞
=，记为()1F +∞=。

（2）()F x 是单调非减，即12x x <时，12()()F x F x ≤ （3）()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=
（4）对任意12x x <，有1221()()()P x X x F x F x <≤=- （5）对任意x ，()()(0)P X x F x F x ==--
性质（1）—（3）是()F x 成为分布函数的充要条件。

例 设随机变量X 的分布函数为,0()10,0
Ax
x F x x x ⎧ >⎪
=+⎨⎪ ≤⎩，
其中A 是常数，求常数A 及(12)P X ≤≤。

§2 离散型随机变量和连续型随机变量
一．离散型随机变量
随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。

二．离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量X 的可能取值是12,,...,,...n x x x 称(),
1,2,...k k P X x p k ===为X 的概率分布或分布律
分布律性质：（1）0.,
1,2,...k p k ≥=
（2）
1k
k
p
=∑ 分布律也可表示为
12
1
2
k k
X
x x x P
p p p
三．离散型随机变量分布函数
()()k k k k x x
x x
F x P X x p ≤≤===∑∑，
()()(0)P X a F a F a ==--
例1．
123
111326
X
P
求()F x
四．连续型随机变量及其概率密度
设X 的分布函数()F x ，如存在非负可积函数()f x ，有
()()x
F x f t dt -∞
=⎰
， x -∞<<+∞
称X 为连续型随机变量，()f x 为概率密度。

概率密度性质： （1）()0f x ≥； （2）
()1f t dt ∞
-∞
=⎰
；
（3）12x x <，2
1
12()()x x P x X x f t dt <<=
⎰
；
（4）()f x 的连续点处有'()()F x f x =。

例 已知()f x 和1()()f x f x +均为概率密度，则1f 必满足
()A 11()1,
()0f x dx f x ∞
-∞=≥⎰ ()B
11()1,
()()f x dx f x f x +∞
-∞
=≥-⎰
()C 11()0,
()0f x dx f x ∞
-∞
=≥⎰
()D
11()0,
()()f x dx f x f x ∞
-∞
=≥-⎰
§3 常用分布
一．（0—1）分布
1011X p P p p
<<-
二．二项分布
(),k k n k
n P X k C p q -==
0,1,...,k n =. 01p << ， 1q p =-
(,)X B n p
三．超几何分布 ()k n k
M N M
n
N
C C P X k C --==，12,...,k l l =， (,,)X H n M N
四．泊松分布 ()!
k
P X k e k λλ-==
，0,1,2,...k = 0λ>
()X P λ
例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为
1
e
，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为________________。

五．均匀分布 1()0
a x
b f x b a
⎧≤≤⎪
=-⎨⎪⎩其他
[,]X
U a b
例 设随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布，则方程2
10x x ξ++= 有实根的概率是_________。

六．指数分布 0
()0
x
e x
f x x λλ-⎧>=⎨
≤⎩0
， 0λ>
()X
E λ
七．正态分布 22
()21
()2x f x e μσπσ
--
=
，x -∞<<+∞
2(,)X
N μσ，0σ>
(0,1)X N 标准正态分布
2
21()2x x e ϕπ
-=，x -∞<<+∞，2
2
1
()2t x
x e dt π-
-∞
Φ=
⎰
如果2(,)X
N μσ，则
(0,1)X N μ
σ
-
（1）()()x x ϕϕ-= （2）()1()x x Φ-=-Φ （3）1(0)2
Φ=
（4）()2()1P X a a ≤=Φ-， (0,1)X
N
例 2(,)X N μσ，且(3)0.9987Φ=，则(3)P X μσ-<=___________。

§4 随机变量X 的函数()Y g X =的分布
一．离散型随机变量的函数分布
设X 的分布律()k k P X x p ==，1,2,...k =
则()Y g X =的分布律(())k k P Y g x p ==，1,2,...k = （如果()k g x 相同值，取相应概率之和为Y 取该值概率） 二．连续型随机变量的函数分布
1．公式法：X 的密度(),()X f x y g x =单调，导数不为零可导，
()h y 是其反函数，则()Y g X =的密度为
'()(())()0
X Y h y f h y y f y αβ
⎧<<⎪=⎨
⎪⎩其他
其中(,)αβ是函数()g x 在X 可能取值的区间上值域。

2．定义法： 先求
()()()(())()Y X g x y
F y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=⎰
然后 ()()Y Y f y F y '=。

§5 典型例题分析
例1．设随机变量的分布函数2
0(1)()0b a x x F x C x ⎧+>⎪+=⎨⎪ ≤⎩
求,,a b c 的值。

例2．设随机变量X 的分布律为(),
1,2,...,!
k
P X k C
k k λ===0λ>
试确定常数C 的值。

例3．汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以X 表
示汽车所遇红灯个数，求X 的分布及分布函数。

例4．（04）设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<数u α满足
()P X u αα>=，若()P X x α<=，则x 等于
()A 2u α ()B 12u α- ()C 12
u α-
()D 1u α-
例5．在区间[,]a b 上任意投掷一点，X 为这点坐标，设该点落在[,]a b 中任意小区间的概率与这
小区间长度成正比，求X 的概率密度。

例6．[2,5]X U ，对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。

例7．（06）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ
且12{1}{1}P X P Y μμ-<>-<，则必有
()A 12σσ< ()B 12σσ> ()C 12μμ< ()D 12μμ>
例8．X 的密度2
()()x x
f x Ae x -+=-∞<<+∞，试求常数A 。

例9．设X 服从参数为2的指数分布，证明：随机变量21X
Y e -=-服从(0,1)U 。

例10．已知X 的密度为1()2
x
f x e -=
，()x -∞<<+∞， 求2
Y X =的概率密度。

例11．设随机变量X 的密度()x ϕ满足()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，
则对任意实数a 有
()A 0()1()a
F a x dx ϕ-=-⎰ ()B 0
1()()2a
F a x dx ϕ-=
-⎰ ()C
()()F a F a -=
()D ()2()1F a F a -=-
例12．设随机变量X 的分布函数为()F x ，引入函数1()()F x F ax =，2
2()()F x F x =，
3()1()F x F x =--和4()()F x F x a =+，则可以确定也是分布函数为
()A
12(),()F x F x
()B 23(),()F x F x
()C
34(),()F x F x
()D 24(),()F x F x
例13．设2(2,)X N σ且(24)0.3P x <<=，则(0)P X <=____________。

例14．设2(,)X
N μσ，则随σ的增大，概率()P X μσ-<
()A 单调增大 ()B 单调减小 ()C 保持不变
()D 非单调变化
例15．证明X X -与具有相同密度，则其分布函数()F x 一定满足()()1F x F x +-=。

例16．(,)X
U a b ，(0)a >且1(03)4P X <<=
，1(4)2
P X >=， 求：（1）X 的概率密度； （2）(15)P X <<。

第三讲 多维随机变量及其概率分布
考试要求
理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，
边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。

边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。

掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量
§1 二维随机变量及其联合分布函数
一．二维随机变量
设(),()X X Y Y ωω==是定义在样本空间Ω上的两个随机变量， 则称向量(,)X Y 为二维随机变量或随机向量。

二．二维随机变量的联合分布函数
定义：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤ x -∞<<+∞，y -∞<<+∞ 性质：（1）0(,)1F x y ≤≤； （2）(,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞=，(,)1F +∞+∞=； （3）(,)F x y 关于x 和关于y 单调不减；
（4）(,)F x y 关于x 和关于y 右连续。

例1．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则随机变量(,)Y X 的分布函数
1(,)F x y =_________________.
三．二维随机变量的边缘分布函数
()()(,)(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤≤+∞=+∞ ()()(,)(,)Y F y P Y y P X Y y F y =≤=≤+∞≤=+∞
例2．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为
2(1)(1)
0,0(,)0
x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨
⎩其他
试求(),()X Y F x F y
一．联合概率分布
(,),1,2,
i j ij
P X x Y y p i j ===
=
1
2111121
221222
1
2
\i j j i
i i ij
X Y y y y x p p p x p p p x p p p
性质：（1）0ij p ≥
（2）
1ij
ij
p
=∑
例 设随机变量X 在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量Y 在1X 中等可能的取一
整数值，求(,)X Y 的概率分布。

二．边缘概率分布 ()(,)i i i j ij j
j
p P X x P X x Y y p ======∑∑，
1,2,...i =
()(,)j j i j ij i
i
p P Y y P X x Y y p ======∑∑，
1,2,...j =
三．条件概率分布
()0,j P Y y =>(,)()()
i j ij i j j j
P X x Y y p P X x Y y P Y y p =====
=
=， 1,2,...i =
()0i P X x =>，(,
)()()
i j ij j i i i
P X x Y y p P Y y X x P X x p =====
=
=，
1,2,...j =
例 设分布律为\01
1
0.5
X Y
a
b c ，已知1(10)2P Y X ===，1
(10)3
P X Y ===，求,,a b c
一．概率密度
(,)(,)x
y
F x y f u dud νν-∞-∞
=⎰
⎰
(,)f x y ——概率密度
性质：（1）(,)0f x y ≥
（2）
(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
例 (2),0,0
(,)0x y ke x y f x y -+⎧ >>=⎨ ⎩其他
， 则k =__________。

二．边缘密度
()(,)X f x f x y dy +∞
-∞
=⎰
， ()(,)Y f y f x y dx ∞
-∞
=⎰
三．条件概率密度
1．条件分布 0
()lim ()Y X F y x P Y y x X x εεε+
→=≤-<≤+
()l i m
()X Y F x y P X x y Y y εεε+→=≤-<≤+ 2．条件概率密度
(,)()()Y X X f x y f y x f x =
(,)()()
X Y Y f x y f x y f y =
()0X f x >
()0Y f y >
§4 随机变量的独立性
定义：对任意,x y (,)()()P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤
(,)()()X Y F x y F x F y = 离散型 ij i j p p p =
连续型
(,)()()X Y f x y f x f y =
例1．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布及关于
X Y 和的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处
1
2312\18
18
16
i
j
X Y y y y p x x p
例2．判断X Y 与是否独立
（1）
\12311
0031120661113
9
9
9
X Y
（2） 2(1)(1)
0,0(,)0
x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨
⎩其他
§5 二维均匀分布和二维正态分布
一．二维均匀分布
1(,)(,)0
x y G f x y A
⎧∈⎪
=⎨⎪⎩其他
，
A G 是的面积
例 设二维随机变量(,)X Y 在xOy 平面上由曲线2
y x y x ==和所围成的区域上服从均匀分
布，则概率11
(0,0)22
P X Y <<
<<=________________。

二．二维正态分布，2
2
1212(,,,;)N μμσσρ12,0σσ>， 1ρ<
2211222222112212
()2()()()11(,)exp 2(1)21x x y y f x y μρμμμρσσσσπσσρ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=
--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪-⎣⎦⎩⎭
性质：（1）211(,)X N μσ， 2
22(,)Y
N μσ
（2）X Y 与相互独立的充分必要条件是0ρ= （3）2222
121212(,2)aX bY
N a b a b ab μμσσσσρ++++
§6 两个随机变量函数的分布
一．二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似。

二．二维连续型随机变量的函数(,)Z g X Y =的分布求法，可用公式
(,)()()((,))(,)Z g x y z
F z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=
⎰⎰
当Z X Y =+时，()(,)z x
Z F z dx f x y dy +∞
--∞
-∞=⎰
⎰
(,)z y
dy f x y dx +∞
--∞
-∞
=
⎰⎰
或
()(,)Z F z f x z x dx +∞
-∞=-⎰
(,)f z y y d y
+∞
-∞
=
-⎰
特别，当,X Y 相互独立时， ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞
-∞=
-⎰
()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞
-∞
=-⎰
三．简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。

例 设,X Y 相互独立，分布函数为(),()X Y F x F y ，试求 （1）max(,)M X Y =的分布函数()M F z ；
（2）min(,)N X Y =得分布函数()N F z 。

§7 典型例题分析
例1．从1，2，3三个数字中一次任取两数，第一个数为X ，第二个数为Y ，
记max(,)X Y ξ=，试求(,)X Y 和(,)X ξ的分布律及其边缘分布。

例2．设随机变量101
111424
i
i
x X p
-，1,2i =，且12(0)1P X X ==， 则12()P X X ==_______________。

例3．设某班车起点站上车人数X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率
为(01)p p <<，且他们在中途下车与否是相互独立的，用Y 表示在中途下车的人数，求： （1） 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2） 二维随机向量(,)X Y 的概率分布。

例4．设随机变量(,)X Y 的密度为2;02,01
(,)0;
Axy x y f x y ⎧ ≤≤≤≤=⎨ ⎩其他，
求（1）常数A ； （2）边缘密度； （3）,X Y 是否独立。

例5．设随机变量(1,2,3,4)i X i =相互独立，均服从分布1(1,)2
B ，
求行列式 1
2
34
X X X X X =
的概率分布。

例6．设相互独立随机变量X Y 与分别服从(0,1)N 和(1,1)N ，则
()A
1(0)2P X Y +≤=
()B 1(1)2P X Y +≤=
()C 1
(0)2
P X Y -≤=
()D 1
(1)2
P X Y -≤=
例7．设22(,)(,,,;0)X Y N μμσσ，则()P X Y <=_____________。

例8．设两随机变量X Y 与相互独立且同分布，1
(1)(1)2
P X P Y =-===
，则成立 ()A 1()2
P X Y ==
()B ()1P X Y == ()C
1(0)4P X Y +==
()D 1(1)4
P XY ==
例9．（06）设两个随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则
{max(,)1}P X Y ≤=。

例10．设0(,)0
y
e y x
f x y -⎧>>=⎨
⎩其他
，
试求（1）()()X Y f x f y 和，,X Y 是否独立； （2）()X Y f x y 和()Y X f y x 。

例11．,X Y 相互独立，服从参数为λ的泊松分布，证明Z X Y =+服从参数为2λ的泊松分布。

例12．（04）设随机变量X 在区间（0，1）上服从均匀分布，在(01)X x
x =<<的条件下，
随机变量Y 在区间(0,)x 上服从均匀分布，求： （I ）随机变量X Y 和的联合概率密度； （II ）Y 的概率密度； （III ）概率(1)P X Y +>。

例13．（05）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1,01,02(,)0,x y x
f x y <<<<⎧=⎨
⎩其他
求（I ）(,)X Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （II ）2Z X Y =-的概率密度()Z f z ； （III ）11()22
P Y X ≤≤。

第四讲
随机变量的数字特征
考试要求：数学一，数学三，数学四，要求一致
理解：随机变量数字特征：数学期望，方差，标准差，
矩，协方差，相关系数。

掌握：常用分布的数字特征
会计算：用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布
求其函数的数学期望。

§1 随机变量的数学期望
一．定义
1．离散型：()k k P X x p == 1,2,...k =
当
1
k
k k x
p ∞
=∑绝对收敛
1()k k k E X x p ∞
==∑
2．连续型：()f x 当
()xf x dx +∞
-∞
⎰
绝对收敛
()()E X xf x dx +∞
-∞
=⎰
二．性质
（1） ()E C C = （2）()()E CX CE X = （3）()()()E X Y E X E Y ±=±
（4）X Y 和相互独立，则()()()E XY E X E Y =
例 将一均匀骰子独立抛掷三次，求掷得三数之和X 的数学期望。

三．随机变量X 的函数()Y g X =的数学期望 （1）离散型 ()k k P X x p ==，1,2,...k =
当
1
()k
k
k g x p
∞
=∑绝对收敛，1
()(())()k
k
k E Y E g X g x p
∞
===
∑
（2）连续型 ()f x ，当
()()g x f x dx +∞
-∞
⎰
绝对收敛
()(())()()E Y E g X g x f x dx +∞
-∞
==
⎰
四．随机变量(,)X Y 的函数(,)Z g X Y =的数学期望 （1）离散型 (,)i j ij P X x Y y p ===，,1,2,...i j =
当
11
(,)i
j
ij
i j g x y p
∞∞
==∑∑绝对收敛
11
()[(,)](,)i j ij i j E Z E g X Y g x y p ∞∞
====∑∑
（2）连续型
(,)f x y ，当(,)(,)g x y f x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
⎰
⎰
绝对收敛
()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
==⎰
⎰
例1．商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商店的需求量Y 是相互独立的随机变
量，且都在区间[10,20]上服从均匀分布。

商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。

§2 随机变量的方差
一．定义：2
()[()]D X E X EX =- 方差
()()X D X σ= 标准差，均方差
二．计算方差的公式：
22()()()D X E X EX =-， 22()()E X EX ≥
三．性质：
（1）()0D C =，反之()0D X =不能得出X 为常数；
（2）2
()()D aX b a D X +=；
（3）,X Y 相互独立 ()D X Y DX DY ±=+。

例 随机变量X 的概率密度为24,
()0,
x xe x f x x -⎧ >=⎨
≤⎩， 则(21)D X -=_________________。

§3 常用随机变量的数学期望和方差
一．（0—1）分布 ,EX p DX pq == 二．二项分布 ,EX np DX npq == 三．泊松分布
,EX DX λλ==
四．均匀分布
2
(),22
a b b a EX DX +-== 五．指数分布 2
1
1
,EX DX λ
λ==
六．正态分布 2(,)X
N μσ，EX μ=，2DX σ=
221212(,)
(,,,;)X Y N μμσσρ
1EX μ=，2EY μ=，21DX σ=，2
2DY σ=
例 已知随机变量(,)X B n p ，试证()D X npq =
例 设随机变量()X P λ，试证()E X λ=
§4 矩
原点矩 ()E X ，2
()E X 中心矩 2[()]E X E X - 混合矩 ()E XY
混合中心矩 [()()]E X EX Y EY --
§5 协方差和相关系数
一．协方差
定义：cov(,)[()][()]()()()X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- 公式：()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+± 性质：（1）cov(,)cov(,)X Y Y X =； （2）cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =；
（3）1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+
二．相关系数 定义：cov(,)
()()
XY X Y D X D Y ρ=
不相关：0XY ρ= ,X Y 相互独立⨯
−−→←−−,X Y 不相关 性质：（1）1XY ρ≤；
（2）
1XY ρ= (1)1P aX bY +== 0ab ≠；
（3）设22
1212(,)(,,,;)X Y N μμσσρ，
则XY ρρ=，且,X Y 相互独立
,X Y 不相关0ρ=。

例 对随机变量,X Y ，证明下列关系是等价的 （1）cov(,)0X Y = （2）X Y 与不相关 （3）()()()E XY E X E Y = （4）()()()D X Y D X D Y +=+
§6 典型例题分析
例1．设随机变量X 服从()P λ分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，
则λ=_____________。

例2．已知N 件产品中含有M 件次品，从中任意取出n 件()n N ≤，设这n 件产品中的次品件数
为X ，试求()E X 。

例3．（04）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{
}
P X DX >=__________。

例4．设随机变量X 的概率密度函数为
2
2
()x Bx f x Ae
-
+=
x -∞<<+∞
其中,A B 为常数，已知()()E X D X =，试求,A B 和()E X 。

例5．（04）设随机变量12,,...,n X X X (1)n ≥独立同分布，且其方差为2
0σ>
令1
1n
i i Y X n ==∑，则
()A 2
1cov(,)X Y n
σ= ()B 2
1cov(,)X Y σ=
()C 212()n D X Y n σ++=
()D 2
11()n D X Y n
σ+-=
例6．在伯努利试验中，已知()P A p =，现独立，重复地进行试验直到出现A 为止，令X 表示
所需进行的试验次数，试求()()E X D X 和。

例7．设随机变量X Y 和的联合分布在以点()()()0,1,1,0,1,1 为顶点的三角形区域上服从均匀分
布，试求随机变量=+U X Y 的方差。

例8．设随机变量X 的概率分布密度为1()2
x
f x e -=
，x -∞<<+∞ （1） 求X 的()()E X D X 和
（2） 求X 与X 的协方差，问X 与X 是否不相关？ （3） 问X 与X 是否相互独立？为什么？
例9．已知随机变量(,)X Y 服从1(1,0,9,16;)2N -，设32
X Y Z =
+ （1） 求Z 的()()E Z D Z 和 （2） 求XZ ρ
（3） 问,Z X 是否相互独立？为什么？
例10．设随机变量(,)X Y 在D ：2
2
1x y +≤内服从均匀分布，则X Y 和的相关系数
XY ρ=_____________。

例11．随机变量X Y 和均服从正态分布，则
()A X Y +一定服从正态分布 ()B X Y 和不相关与独立等价 ()C (,)X Y 一定服从正态分布
()D (,)X Y -未必服从正态分布
例12．在n 次独立重复试验中，X Y 和分别表示成功和失败的次数，则X Y 和的相关系数等于
()A 1-
()B 0 ()C
12
()D 1
例13．设A B 和是两个随机事件，定义两个随机变量如下：
10
A X A ⎧⎪=⎨
⎪⎩出现出现
和 1
B Y B ⎧⎪=⎨
⎪⎩出现出现
证明：X Y 与不相关的充分必要条件是A B 与相互独立。

例14．已知随机变量X 的分布()2!
k C
P X k k ==
0,1,2,...k =
其中C 为常数，则随机变量23Y X =-的()D Y =_____________。

例15．（04）设A B ,为两个随机事件，且1()4P A =
，1()3P B A =，1
()2
P A B =， 令10
A X A ⎧=⎨
⎩发生不发生
1
B Y B ⎧=⎨
⎩发生不发生
，
求（I ）二维随机变量(,)X Y 的概率分布； （II ）X Y 与的相关系数XY ρ； （III ）2
2
Z X Y =+的概率分布。

例16．（06）设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为
\01
1
00.2
00.10.21
0.1X Y a b c
-1 - 0
其中,,a b c 为常数，且X 的数字期望，E(X)=-0.2,5.0)00(P =≤≤X Y 记Z X Y =+
求（I ）,,a b c 的值；（II ）Z 的概率分布；（III ）()P X Z =。

例17．（06）设随机变量X 的概率密度为1,1021
(),
0240,x x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
其它
令2
,Y X F x y =，（）为二维随机变量(,)X Y 的分布函数，求
（I ）Y 的概率密度()Y f y ； （II ）cov(,)X Y ； （III ）1(,4).2
F -
第五讲 大数定律和中心极限定理
考试要求：
数学一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗—拉
普拉斯定理，列维—林德伯格定理
数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗--拉普拉斯定理，
列维—林德伯格定理
数学三：掌握：切比雪夫不等式
数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。

数学四：了解：切比雪夫不等式
§1 切比雪夫不等式和依概率收敛
一．切比雪夫不等式
{}2
()
()D X P X E X εε
-≥≤
0ε>
二．依概率收敛
lim ()1n n P X A ε→+∞
-<=
0ε> 记作P
n X A −−
→ 例 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计
(()2)P X E X -≥≤_______。

§2 大数定律
一．切比雪夫大数定律
设12,,...,,...n X X X 两两不相关，()()i i E X D X 和存在且存在常数C ，使()i D X C ≤
(1,2,...)i =则对任意0ε>
11
11lim (())1n n
i i n i i P X E X n n ε→+∞==-<=∑∑
二．伯努利大数定律
(,)n
X B n p ，则对任意0ε>
lim (
)1n
n X P p n
ε→+∞
-<= 三．辛钦大数定律
设12,,...,,...n X X X 独立同分布，()i E X μ=，则对任意0ε>，
1
1lim ()1n
i n i P X n με→+∞=-<=∑
§3 中心极限定理
一．棣莫弗—拉普拉斯定理
设(,)n
X B n p ，则对任意x
lim (
)()(1)
n n X np
P x x np p →+∞
-≤=Φ-
二．列维—林德伯格定理
设12,,...,,...n X X X 独立同分布，()i E X μ=，2
()i D X σ= 则对任意x
1
lim ()()n
i
i n X
n P x x n μ
σ
=→+∞
-≤=Φ∑
§4 典型例题分析
例1．设随机变量X Y 和的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比
雪夫不等式(6)P X Y -≥≤______________。

例2．将一枚骰子重复掷n 次，则当n →+∞时，n 次掷出点数的算术平均值依概率收敛于
________。

例3．（05）设12,,...,,...n X X X 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(1)λλ>的指数分
布，记()x Φ为标准正态分布函数，则
()A 1
lim {}()n
i
i n X
n P x x n
λ
λ=→∞
-≤=Φ∑ ()B 1
lim {}()n
i
i n X
n P x x n λ
λ
=→∞
-≤=Φ∑
()C 1
lim {
}()n
i i n X n
P x x n
λ=→∞
-≤=Φ∑ ()D 1
lim {}()n
i
i n X
P x x n λ
λ
=→∞
-≤=Φ∑
第六讲 数理统计 第一章 基本概念
考试要求：
数学一、三
理解：总体，简单随机样本，统计量，样本均值
样本方差和样本矩 数学一
了解：2
χ分布，t 分布，F 分布，分位数并会查表计算， 正态总体的常用抽样分布 数学三
了解：产生2
χ变量，t 变量，F 变量的典型模式
理解：标准正态，2
χ分布，t 分布，F 分布的分位数并会查表计算，经验分布 掌握：正态分布的常用抽样分布
§1 总体和样本
一．总体：所研究对象的某项数量指标X 全体。

二．样本，如果12,,...,n X X X 相互独立且都与总体X 同分布，则称12,,...,n X X X 为来自总体的
简单随机样本，简称样本。

样本容量，样本值，观测值
()X
F x ，则12,,...,n X X X 的联合分布
121
(,,...,)()n
n i
i F x x x F x ==
∏
()X
f x ，则12,,...,n X X X 的联合密度
121
(,,...,)()n
n i i f x x x f x ==∏
例 设总体()X
e λ，则来自总体X 的样本12,,...,n X X X 的联合概率密度
12(,,...,)n f x x x =______________
§2 统计量和样本数字特征
一．统计量
样本12(,,...,)n X X X 的不含未知参数的函数12(,,...,)n T T X X X =。

如果12,,...,n x x x 是样本
12,,...,n X X X 的样本值，则数值12(,,...,)n T x x x 为统计量12(,,...,)n T X X X 的观测值。

二．样本数字特征
1．样本均值 1
1n
i i X X n ==∑；
2．样本方差 2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑， 样本标准差
21
1()1n
i i S X X n ==--∑； 3．样本k 阶原点矩 1
1n k
k i i A X n ==∑ 1,2k =；
4．样本二阶中心矩
221
1()n
i i B X X n ==-∑
()()E X E X μ==， 2()()D X D X n n σ==，22
()()E S D X σ==
如果()k
k E X μ=，1
1n P k
n i k i A X n μ==−−
→∑。

例 设总体X 的概率密度为2,
01()0,
x x f x <<⎧=⎨
⎩其他
，来自总体X 的样本为1234,,,X X X X 则
(4)1234max(,,,)X X X X X =的概率密度(4)()X f x =_____________.
§3 常用统计抽样分布
常用统计抽样分布：正态分布，2
χ分布，t 分布和F 分布。

除正态分布外不必记忆这些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲线示意图和分位数，会查表。

一．2
χ分布
1．典型模式：12,,..n X X X 相互独立且均服从(0,1)N ，则称
222212...n X X X χ=+++ 服从自由度为n 的2χ分布，记2
2()n χχ
12221,0
()2()
20,0
n x n x e x n
f x x --⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪
<⎩
2()E n χ=，2()2D n χ=；
2．可加性：设2
21
1()n χχ，2
22
2()n χχ，且22
12χχ和相互独立
则
22
212
12()n n χχχ++；
3．上α分位点2
()n αχ：设2
2()n χχ，对于给定的(01)αα<<，称满足条件
22())n αχχα>=P(的点2
()n αχ为2()n χ分布的上α分位点。

例 已知2
2()n χχ，则2()E χ=______________。

二．t 分布
1．典型模式：,X Y 独立，(0,1)X
N ，2()Y
n χ，则
()X T t n Y
n
=
1
221
(
)2()(1)()2
n n x f x n n n π+-+Γ=+Γ， x -∞<<+∞
()f x 是偶函数，n 充分大时，()t n 近似(0,1)N 。

2．上α分位点()t n α
~()T t n ，01α<<，(())P T t n αα>=，1()()t n t n αα-=-，2
(())P T t n αα>=
三．F 分布
1．典型模式：,X Y 独立，2212(),~()X
n Y n χχ，则
1122
(,)X n F F n n Y n =
11212
12
12221212212()2,0()()()()22
0,0n n n n n n n x n n x n n f x n x n x -++⎧Γ⎪ >⎪=⎨ΓΓ+⎪⎪ ≤⎩
如果 12(,)F
F n n ，则
211
(,)F n n F
2．上α分位点12(,)F n n α
12(,)F
F n n ，01α<<，12((,))P F F n n αα>=
112211
(,)(,)
F n n F n n αα-=
§4 正态总体的抽样分布
一．一个正态总体
设2(,)X
N μσ，12,,..n X X X 来自总体X 的样本
样本均值X ，样本方差2
S ，则 （1）2
(,
)X
N n
σμ，(0,1)X U N n
μσ-=
（2）X 与2
S 相互独立，且2
2
22
(1)(1)n s X n χσ
-=
-
（3）(1)X T t n S n
μ-=
-
（4）2
2
22
1
1
()()n
i
i X
n χμχσ==
-∑
二．两个正态总体 设211(,)X
N μσ，222(,)Y
N μσ，112,,..n X X X 和212,,..n Y Y Y ，分别来自X Y 和的样本，
相互独立，22
12,,,X Y S S ，
（1）2
2
12121
2
(,
)X Y
N n n σσμμ--+
，122
2
1
2
1
2
()()
(0,1)X Y U N n n μμσ
σ---=
+
（2）如果22
12σσ=，则
121212
()()
(2)11X Y T t n n S n n ωμμ---=
+-+
其中22
2
1122
12(1)(1)2
n S n S S n n ω
-+-=
+-
（3）22
11122
2
22(1,1)S F F n n S σσ=--
§5 典型例题分析
例1．设总体X 服从参数为p 的0—1分布，则来自总体X 的简单随机样本12,,..n X X X 的概率
分布为______________。

例2．设总体()X
P λ，则来自总体X 的样本12,,..n X X X 的样本均值X 的分布律为
___________。

例3．（98）设1234,,,X X X X 是来自正态总体2
(0,2)N 的样本，已知
2221234(2)(34)a X X b X X χ=-+-服从2()n χ分布，其中,a b 为常数，则
n =__1或2______。

例4．设随机变量()T t n ，则2T 服从的分布及参数为_____________。

例5．（05）设12,,..n X X X (2)n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2
S 为
样本方差，则
()A (0,1)nX N
()B 2
2()nS n χ
()C
(1)(1)n X
t n S
--
()D
2
122
(1)(1,1)n
i
i n X F n X
=--∑
例6．设2(0,)X
N σ，从总体X 中抽样取样本129,,...,X X X ，试确定σ的值，使得
(13)P X <<为最大，其中9
1
19i i X X ==∑。

例7．已知123,,X X X 相互独立，且服从2
(0,)N σ，
证明123
23
23X X X X X ++-服从(1)t 分布。

例8．设总体X 服从正态2
(,)N μσ，(0)σ>从该总体中抽取简单随机样本
122,,...,(2)n
X X X n ≥，其样本均值为21
12n
i i X X n ==∑，求统计量
21
(2)n
i n i i Y X X X +==+-∑的数学期望()E Y 。

例9．（04）设总体X 服从正态分布21(,)N μσ，总体服从正态分布2
2(,)N μσ，1
12,,...,n X X X 和212,,...,n Y Y Y 分别是来自总体X Y
和的简单随机样本，则
1
2
221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦
∑∑________________。

例10．（06）设总体X 的概率密度为1()()2
x
f x e x -=
-∞<<+∞，112,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2
S ，则2
()E S = 。

第二章 参数估计
考试要求：
理解：参数的点估计，估计量和估计值
了解：估计量的无偏性，有效性，一致性，区间估计 掌握：矩估计法和最大似然估计法 会：验证估计量的无偏性 单个正态总体的均值和方差的置信区间 两个正态总体的均值差比的置信区间 数学三还要求：
掌握：建立未知参数的置信区间的一般方法 单个正态总体的标准差，矩以及与其相联系的数字特征，置信区间的求法 两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法
会：用大数定律证明估计量相合性。

§1 点估计
一．点估计的概念
用样本12,,...,n X X X 构造的统计量12ˆ(,,...,)n X X X θ来估计未知参数θ，统计量12ˆ(,,...,)n X X X θ称为估计量，它所取得的观测值12ˆ(,,...,)n
x x x θ称为估计值，估计量和估计值统称θ的估计。

二．估计量的选择标准
1． 无偏性：ˆ()E θ
θ= 2． 有效性：如果1ˆθ和2ˆθ都是θ的无偏估计量，且12
ˆˆ()()D D θθ≤，则称1ˆθ比2ˆθ 更有效
3． 一致性（相合性）：ˆP
θ
θ−−→，称ˆθ为θ的一致估计量
例 设总体X 的数学期望存在，()E X μ=，从来自总体X 的样本12,,...,n X X X 的样本均值
1
1n
i i X X n ==∑，试证X 是μ的无偏估计量。

例 设总体的数学期望和方差分别为2
μσ和，12,X X 是来自总体X 的样本，记
12(1)X a X aX =-+
（1）试证：X 是μ的无偏估计； （2）确定a 使()D X 最小。

§2 估计量的求法
一．矩估计法 用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数
1． 矩估计不必知道分布形式，只要矩存在 2． 可用中心矩，也可用原点矩
3． k 个参数要求列出一阶至k 阶矩方程
考试大纲只要一阶矩和二阶矩
4． 12,αα为一阶、二阶原点矩，12ˆˆα
α和为一阶、二阶样本原点矩，12ˆˆ(,)g αα就是12(,)g αα的矩估计量。

二．最大似然估计法
1．似然函数
离散型
()(;)i i P X a p a θ== 1,2,...,i =
121
()(,,...,;)(;)n
n i i L L X X X p X θθθ===∏
连续型(;)f x θ
121
()(,,...,;)(;)n
n i i L L X X X f X θθθ===∏
2．最大似然估计
使似然函数12(,,...,;)n L X X X θ达到最大值的参数值12ˆ(,,...,)n
X X X θ 3．似然方程
θ为一维时，
()0dL d θθ=或(ln ())
0d L d θθ
=
θ为二维时，121
122
(,)
0(,)0L L θθθ
θθθ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩
或 121
122
ln (,)
0ln (,)0L L θθθθθθ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩
§3 区间估计
一．置信区间
对于给定的α(01)α<<，如果两个统计量12,θθ满足12()1P θθθα<<=-，则称随机区间12(,)θθ为参数θ的置信水平（或置信度）为1α-的置信区间（或区间估计），简称为θ的
1α-的置信区间，12θθ和分别称为置信下限和置信上限。

二．一个正态总体参数的区间估计
未知参数
1α-置信区间
μ
2
σ已知
2
2
(X ,)U X U n
n
αασ
σ
- +
2
σ未知
22(X (1)
,(1))S S
t n X t n n n
αα-- +-
2σ
2222212
(1)(1)(,)(1)(1)
n S n S n n ααχχ--- --
三．两个正态总体参数的区间估计
未知参数
1α-置信区间
12μμ-
22
12,σσ已知
2
2
2
2
12122
2
1
2
1
2
(X ,)Y u X Y u n n n n αασσσσ--+
-++
22
12,σσ未知，但
22
12σσ=
2122121212
1111(X (2)),(2))w
w Y t n n S X Y t n n S n n n n αα--+-+-++-+ 2
12
2σσ 22112212222122
1(,(1,1))(1,1)S S F n n S F n n S αα⋅ ⋅---- 22
2112212(1)(1)2
w
n S n S S n n -+-=
+- 例 设来自正态总体2
(,0.9)N μ的样本值9
1
159i i x x ===∑，则未知参数μ的置信水平为0.95的置
信区间是_______________。

例 （05）设一批零件的长度服从正态分布2
(,)N μσ，其中2
,μσ均未知，现从中随机抽取16
个零件，测得样本均值20()x cm =，样本标准差1()s cm =，则μ的置信度为0.90的置信区间是
()A 0.050.0511(20(16),20(16))44t t -+ ()B 0.10.111
(20(16),20(16))44
t t -+
()C 0.050.0511(20(15),20(15))44t t -+ ()D 0.10.111
(20(15),20(15))44
t t -+
§4 典型例题分析
例1．设12,,...,n X X X 为总体2(,)N μσ的一个样本，已知12
21
1
ˆ()n i i i C X
X σ
-+==-∑为2σ的无偏
估计，则常数C 等于
()A
11
n - ()B
1n
()C
12(1)n - ()D 1
2n
例2．（05）设12,,...,n X X X (2)n >为来自总体2
(0,)N σ的简单随机样本，X 为样本均值，
i i Y X X =-。

1,2,...,i n =
求：（I ）i Y 的方差i DY ，1,2,...,i n =； （II ）1n Y Y 与的协方差1cov(,)n Y Y ；
（III ）若2
1()n C Y Y +是2
σ的无偏估计量，求常数C ； （IV ）{}10n P Y Y +≤。

例3．从总体X 中分别抽取容量为12n n 和的两个独立样本，样本均值分别为12X X 和，且
()E X μ=和2()D X σ=，已知12T aX bX =+为μ的无偏估计量，试求：
（1） 常数a b 和应满足的条件； （2） 使()D T 达到最小值的a b 和。

例4．设12,,...,n X X X 是来自总体X 的样本，已知()X
P λ，
证明1(1)n X
T n
=-是(0)P X =的无偏估计量。

例5．(04)设随机变量X 的分布函数为1(),
(;,)0,x F x x
x βαααβα
⎧
->⎪=⎨⎪ ≤⎩，其中参数0,0αβ>>，设12,,...,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，
（I ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量； （II ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量； （III ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量。

例6．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为。