_高中数学第一章解三角形2应用举例2课件新人教版必修

由正弦定理，得sin∠CDDBC＝sin∠BDBCD，
∴BD＝CDsi·ns∠in∠DBBCCD＝4s0insi1n3350°°＝20 2(m)．
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝
AB BE
，AB为定值，若要使仰角
∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°.
在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
200 3 C. 3 m
200 D. 3 m
解析：如图6，设塔高AB为h，在Rt△CDB中，CD＝ 200，∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BC＝co2s0300°＝4003
3 .
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°
＝30°，
∴∠BAC＝120°.
在△ABC中，由正弦定理，得sinB1C20°＝siAn3B0°.
[解] 方案1：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角 α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图15所 示)．
②第一步：计算AM. 由正弦定理 AM＝sindsαi1n＋α2α2； 第二步：计算AN. 由正弦定理AN＝sindsβi2n－β2β1；
第三步：计算MN. 由余弦定理MN＝ AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1. 方案2：①需要测量的数据有： A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、 β2；A、B的距离d(如图15所示)． ②第一步：计算BM. 由正弦定理BM＝sindαsi1n＋α1α2；
2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向，灯塔B在观察站C
的南偏东40°方向，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km
B. 3a km
C. 2a km
D．2a km
解析：如图4所示，可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a. 在△ABC中，由余弦定理， 得AB＝ AC2＋CB2－2AC×CBcos∠ACB＝ 3a.
正弦定理 就可解决问题．
(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题． 首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用
正弦定理 求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC 的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离 的问题． 3.高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达， 这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦 定理和余弦定理，计算出建筑物 顶部到一个 选定 的 点 之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)
走私船，则CD＝10 3t海里，BD＝10t海里．
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3 －1)2＋22－
2( 3－1)·2cos120°＝6，
∴BC＝ 6.
∵sin∠BCBAC＝sin∠ACABC，
∴sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)．
∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile.
[点评] 问题的求解涉及到两个三角形，AD边在 △ACD中，先看△ACD中的哪些边、角是已知的， 或是易求的，由题设知△ACD恰好是等腰直角三角 形，于是只需求出一边AC即可，而AC在△ABC中通 过正弦定理可得．
m．在
△BAB′中，由正弦定理，得BB′＝AsBisni3n04°5°＝
10× 1
2 2 ＝10
2.
2
∴坡底要延长10 2 m时，斜坡的倾斜角将
变为30°.
答案：C
4．在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的
俯角分别
为30°，60°，则塔高为( )
400 A. 3 m400 Fra bibliotek B. 3 m
∴BE＝BD·sin∠BDE＝20 2sin15°＝10( 3－1)(m)．
在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10(
3
－1)tan30°＝
10 3
(3
－ 3)(m)． ∴塔的高度为130(3－ 3)m.
[点评] 本题既有方向角，又有仰角，要注意运用空间想象 作图，作出的示意图应是立体图，这是本题求解的一个关键； 破解“沿途测得塔的最大仰角”是本题求解的第二个关 键．已知塔与塔所在的平面是垂直的，这样就有了直角三角 形，不但为求塔的高度提供了三角形模型，而且还顺利地找 到 了“最大的仰角”．在解三角形的实际应用问题中，弄清 楚与测量有关的概念，在正确作出示意图的同时，还要注意 有关简单的涉及空间图形的问题．
第二步：计算BN. 由正弦定理BN＝sindsβi2n－β1β1； 第三步：计算MN. 由余弦定理MN＝ BM2＋BN2＋2BM×BNcosβ2＋α2.
迁移变式4 (2009·辽宁高考)如图 16，A、B、C、D都在同一个与水平面 垂直的平面内，B、D为两岛上的两座 灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B 点和D点的仰角分别为75°，30°，于水 面C处测得B点和D点的仰角均为60°， AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与 另外哪两点间距离相等，然后求B、D 的距离(计算结果精确到0.01 km， 2 ≈1.414， 6≈2.449)．
类型二 测量高度温度
[例2] 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m以后， 望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔 的高度．
[解] 依题意画出直观图(如图10所示)．设某人在C点，AB为 塔高，他沿CD前进，且CD＝40 m．塔高AB为定值，要使仰 角 ∠ AEB 最 大 ， 则 BE 必 最 小 ， 故 BE 的 长 为 点 B 到 CD 的 距 离．要求AB，必须先求BE，由于△DBE是直角三角形，可 在△DBC中先求出DB或BC，这样BE可求， 则问题可解．在△BDC中，CD＝40m， ∠BCD＝90°－60°＝30°， ∠DBC＝180°－45°＝135°.
答案：B
3．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和
坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则
坡底要延长( )
A．5 m
B．10 m
C．10 2 m D．10 3 m
解析：如图5，设将坡底加长到B′时，倾
斜角为30°，在△ABB′中，∠B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10
迁移变式2 甲、乙两塔相距60 m，从乙塔塔底望甲 塔塔顶仰角为45°，从甲塔塔顶望乙塔塔顶俯角为 30°，则甲、乙两塔高度分别为________．
解析：如图11所示，设甲塔AB，乙塔CD. 由题意知AC＝60，∠BCA＝45°，∠EBD＝30°. ∵AB＝60，DE＝BE×tan30°＝60× 33＝20 3 ∴CD＝60－20 3， ∴甲、乙两塔的高度分别为60 m和(60－20 3)m.
迁移变式1 海中一小岛，周围3.8 n mile内有暗礁． 货轮由西向东航行，测得这岛在北偏东75°，航行8 nmile以后，测得这岛在北偏东60°.如果这艘货轮不 改变航向继续前进，有没有触礁的危险？
解 ： 如 图 9 所 示 ， 过 A 点 向 货 轮 的 航 线 BD 作 垂 线 AD ， 在 △ ABC中， ∠ ABC＝90° －75° ＝15°， ∠BCA＝90° ＋ 60° ＝ 150° ， ∴ ∠ BAC ＝ 180° － 150° － 15° ＝ 15° ＝ ∠ABC，∠ACD＝180°－150°＝30°，∴AC＝BC＝8 n mile，AD＝ACsin∠ACD＝8×sin30°＝4(n mile)>3.8 n mile， ∴如果这艘货轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险．
追上乙船，两船相遇时乙船已行驶了a n mile.
迁移变式3 如图13，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处 ( 3 －1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2 海里的C处的我方缉私船，奉命以10 3海里/小时的速度追截走私 船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃 窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所 需时间．
∴BD＝BC，即10t＝ 6，∴t＝ 106小时． 答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走 私船，需 106小时．
类型四 测量中的开放型问题
[例4] (2009·宁夏、海南高考)为了测量 两山顶 M、N间的距离，飞机沿水平方向 在A、B两点进行测量．A、B、M、N在 同一个铅垂平面内(如示意图14)．飞机能 够测量的数据有俯角和A、B间的距离． 请设计一个方案，包括：①指出需要测 量的数据(用字母表示，并在图中标出)； ②用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤．
90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝
30×0.5＝15(n
mile)．由正弦定理，得
AC sin∠ABC
＝
sin∠ABACB，
∴AC＝
AB·sin∠ABC sin∠ACB
＝
15×sinsi1n51°20°＝
3
2＋ 2
6 ×15(n
mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，
∴AB＝BsCin·s1i2n03°0°＝4300(m)． 答案：A
5．如图7所示，隔河可以看见目标A，B，但不能到达，在岸 边选择相距 km的C，D两点，并测得∠DCB＝45°， ∠BDC＝75°，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°(A、B、C、 D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．
解：在△BCD中， 因为∠DCB＝45°，∠BDC＝75°， 所以∠CBD＝60°. 又CD＝ 3，由正弦定理得BD＝ s3isni6n04°5°＝ 2 在△ACD中，同理可求得AD＝3. 在△ABD中， AB＝ 22＋32－6 2cos75°－30°＝ 5.
互动课堂
典例导悟
类型一 测量距离问题 [例1] 一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货 轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东 30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望 见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝
类型三 测量角度问题
[例3] 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处， 两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙 船速度的 倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上 乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？ [分析] 乙船也在运动，无法直接测出A船应走路线的方位角， 只能计算出其方位角，构造三角形ABC解之．
第一章 解三角形
1.2 应用举例
研习新知
知识预览
1.基本概念 (1)在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的 角 叫 仰角，视线在水平线 下方 的角称为俯角 ． (2)把指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角叫方 位角．
2.距离问题 (1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问 题． 这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用
＝2sin120°＝ 6
22，
∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. ∵sin∠BDBCD＝sin∠CDCBD， ∴sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD ＝101ts0in132t0°＝12， ∴∠BCD＝30°. 由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°，
4.角度问题 测量角度就是在三角形内利用 正弦定理和余弦定理 的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
求角
自我检测
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，
则α，β的关系是( )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
解析：如图3，在A处望B处的仰角α与从B处望A处的 俯角β是内错角，根据水平线平行，得α＝β. 答案：B
[解] 如图12，设两船在C处相遇，并设 ∠CAB＝θ，乙船行驶距离为x n mile，则AC＝
3x，由正弦定理得 sinθ＝ BC·sAinC120°＝ 12 ，∴θ＝30°，∠ACB＝
180°－(θ＋∠ABC)＝30°. 从而BC＝siAnB∠·sAinCθB＝a(n mile)． 答：甲船应取北偏东30°方向前进才能尽快