高中数学人教A版必修4：第二章 2.2 2.2(1).3 向量数乘运算及其几何意义

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A．b＝2a
B．b＝－2a
C．a＝2b
D．a＝－2b
答案：A
3．在四边形ABCD中，若 AB＝－12CD，则此四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
答案：C
4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______.
答案：－a＋8b
向量的线性运算
[例1] 化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9a＋13b； (2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量 可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的 “同类项”“公因式”指的是向量．
[活学活用] 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)1622a＋8b－44a－2b.
题点二：利用向量的共线确定参数 2．已知 a，b 是不共线的两个非零向量，当 8a＋kb 与 ka＋
2b 共线时，求实数 k 的值． 解：∵8a＋kb 与 ka＋2b 共线， ∴存在实数 λ，使得 8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0. ∵a 与 b 不共线，∴8k－－λ2kλ＝＝00，， 解得 λ＝±2， ∴k＝2λ＝±4.
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 (1)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则 这两条直线平行； (2)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则 这两条直线重合．例如，若向量 AB＝λ AC ，则 AB，AC 共 线，又 AB与 AC 有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这 是证明三点共线的重要方法．
题点三：几何图形形状的判定 3．如图所示，正三角形ABC的边长为15，
AP＝13 AB＋25 AC ，BQ＝15 AB＋25AC. 求证：四边形APQB为梯形． 证明：因为 PQ ＝ PA＋ AB＋ BQ ＝－13 AB－25 AC ＋ AB ＋15 AB＋25 AC ＝1135 AB，所以 PQ ∥ AB. 又| AB |＝15，所以| PQ |＝13，故| PQ |≠| AB |，于是四边形 APQB为梯形．
CE ， MN .
[解]
由三角形中位线定理，知DE綊
1 2
BC，故
DE
＝
1 2
BC
，
即 DE＝12a. CE ＝CB＋ BD＋ DE ＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. MN ＝ MD＋ DB＋ BN ＝12 ED＋ DB＋12BC
＝－14a－b＋12a＝14a－b.
用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所 求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反 复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量 的线性运算的反复应用．
2．向量共线的条件 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa . [点睛] (1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0 时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a 与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立． (2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如 果b不是0，那么λ是不为零的实数． 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任 意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ λμ1a±λμ2b .
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[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致．
(×)
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．
(× )
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b. ( × )
2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确
的是
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
预习课本P87～90，思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？ (2)向量数乘运算满足哪三条运算律？ (3)向量共线定理是怎样表述的？ (4)向量的线性运算是指的哪三种运算？
[新知初探]
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫 做向量的数乘，记作： λa ，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 相同 ； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
[活学活用] 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB ＝b 为边的平行四边形．又 BM ＝13BC ，CN ＝13CD，试用 a，b 表示OM ，ON ， MN . 解：∵ BM ＝13 BC ＝16BA＝16(OA－OB)＝16(a－b)， ∴OM ＝OB＋ BM ＝b＋16a－16b＝16a＋56b.
(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ (λμ)a ； ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb ； 特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a)； λ(a－b)＝ λa－λb . [点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进 行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算． (2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0 而不是0.
∵CN ＝13CD＝16OD， ∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD＋16OD ＝23OD＝23(OA＋OB)＝23(a＋b)． ∴ MN ＝ON －OM ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
共线向量定理的应用
题点一：判断或证明点共线
1．已知两个非零向量a与b不共线， AB ＝a＋b， BC ＝2a＋ 8b，CD ＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线． 证明：∵ AB＝a＋b，BC ＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5 AB. ∴ AB， BD共线， 又∵它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线．
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
用已知向量表示未知向量
[典例] 如图所示，D，E分别是△ABC的边
AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，
已知 BC ＝a， BD ＝b，试用a，b分别表示 DE ，