三个著名无理数的有理表达式

三个著名无理数的有理表达式

摘要：π、е、φ是数学上三个著名的无理数，在初等数学看来，无理数与有理数是不相容的。但用高等数学的极限、级数思想方法，π，е，φ三个无理数却能用有理数表达，这说明二者既对立又统一。

关键词：无理数；有理数；表达式

初等数学实数的分类中，有{有理数}∪{无理数}＝{实数}，而{有理数}∩{无理数}＝Ф，所以有理数与无理数既对立又统

一。有理数可表成（p，q为互质的整数，0除外）的形式；

无理数是无限不循环的小数，它不能表成（p，q为互质的整

数）的形式，即在初等数学中，无理数与有理数不能互相表示，二者也是不相容的。但在高等数学中，用极限、级数的思想方法，无理数与有理数却能相互表示。本文主要介绍三个著名无理数π，е，φ的有理表达式。

1圆周率π

π是一个非常重要的数，它是指平面上圆周长与直径的比值。1600年，英国威廉•奥托兰特首先使用π表示圆周率；公元前200年间，古希腊数学家阿基米德首先用圆外切与内接多边形的周长从大、小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，从理论上给出π值的求法；公元200年间，我国数学家刘徽用极限方法——割圆术，提供了求圆周率π的科学方法；莱布尼茨、欧拉等数学家也找到了求圆周率的其它方法。π架起了三角与代数的桥梁，在初等数学和高等数学中是出现频率最多的无理数。

π是无理数，它不能表示成两个整数之商，但它能用无穷个有理数既有规律又简明地表达。

在arctanx的麦克劳林级数：

中令x＝1，有：

。

即：

2自然对数的底数е

е是作为数列极限而出现的，即，它

是一个无理数，其近似值为2.71828……，最先使用е这个符号的是瑞士数学家欧拉；最先猜测е是超越数的是法国数学家刘维尔，而最早证明е是超越数的是法国数学家厄米特。用е作

对数的底数，可使关于对数的运算简单明了，如等。

无理数е也能用有理数有序而和谐地表达。

如在еx的麦克劳林级数：

中令x＝1，有：。

3黄金分割数φ

公元前500年，古希腊学者发现了“黄金”长方形，即长方形的宽和长之比φ＝0.618时，看起来令人赏心悦目，这个比叫黄金比（也称黄金数）。

这神奇的黄金数，为什么能使数学家和艺术家都对它“情有独钟”呢？古希腊数学家、哲学家柏拉图说：“美就是恰当。”德国数学家、哲学家笛卡尔说：“美是一种恰到好处的协调和适中。”

黄金数φ仍能仅用数“1”完整地表达。

由线段的黄金分割比。对等式右边分母

中的φ以代替，如此类推，可得连分数：

有理数也能用无理数表达，如著名的裴波那契数列的每一项都是自然数，但其通项公式为：

有理数与无理数在高等数学的思想方法中达到了和谐统一，正如数学中的加与减、乘与除、指数与对数、微分与积分等运算一样，是一分为二成对出现的，二者既对立又统一。

参考文献

1 易南轩著.数学美拾趣［M］.北京：科学出版社，2004

2 李雍等著.数学和谐美［M］.大连：大连理工大学出版社，2009

3 刘玉链等著.数学分析讲义［M］.北京：高等教育出版社，2008

Rational Expression of Three Famous Irrational Number

Liao Hongju

Abstract：π, е, φ are three famous irrational numbers in mathematics. In elementary mathematics view, irrational and rational numbers are incompatible. However, π, е, φ can use rational expression to present the limit of advanced mathematics and Series thinking. It shows that they are both opposite and unified.

Key words：irrational number; rational number; expression