【数学】广西壮族自治区田阳高中2019-2020学年高二上学期期中考试(理)

广西壮族自治区田阳高中2019-2020学年
高二上学期期中考试（理）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I 卷
一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．命题“[
)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ） A.(),0x ∃∈-∞，30x x +<
B.(),0x ∀∈-∞，30x x +≥
C.[)00,∃∈+∞x ，2000+<x x
D.[
)00,∃∈+∞x ，2
000x x +≥ 2．下面属于相关关系的是（ ）
A.气温和冷饮销量之间的关系
B.速度一定时，位移和时间的关系
C.亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系
D.正方体的体积和棱长的关系 3．高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位:分）的茎叶图如右图，则下列说法错误的是（ ）
A ．甲的得分的中位数为101
B ．乙的得分的众数为105
C ．乙得分的极差为21
D ．甲的数学成绩更稳定 4．阅读算法流程图，运行相应的程序，则输出的k 是（ ） A.5 B.6
C.7
D.8
5. 命题p ：0x R ∃∈，20x ->，命题q ：x R ∀∈，x x <，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．p q ⌝∨
D ．p q ⌝∧⌝
6．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为02=-+y x ，则点A 关于l 的对称点
'A 的坐标为( )
A ．)4,3
2(-
B ．)6,2(-
C ．)4,2(
D ．)6,1(
7．设R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（ ） A ．
16 B ．18 C ．19
D ．
1
10
9. 方程(
)
22
22
30x y x +--=表示的曲线是（ ）
A.一个椭圆和一条直线
B.一个椭圆和一条射线
C.一个椭圆
D.一条直线
10．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y ++-= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y -++= 11．已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一
个交点，若4FP FQ =，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径
的圆与圆x 2+y 2
=交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。

13．已知直线ax ＋a 2y ＋1＝0与直线(a －2)x ＋y －2＝0垂直，则a 的值为________． 14．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋1
b
的最小值为________．
15．在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
16．已知直线l ：330mx y m ++-=与圆
22
12x y +=交于A , B 两点，过A , B 分别作l 的垂线与x 轴交于C , D 两点，若
23
AB =，则m ＝________，|CD |＝________．
第II 卷
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17．（本小题10分）
已知命题:p 曲线()2
y 23x m x =+-+1与x 轴没有交点；命题:q 函数()()
52x f x m =-是增函数.
若p 或q 为真命题, p 且q 为假命题, 求实数m 的取值范围.
18．（本小题12分）
2019年是中华人民共和国成立70周年，某校党支部举办了一场“我和我的祖国”知识竞赛，满分100分，回收40份答卷，成绩均落在区间[50,100]内，将成绩绘制成如下的频率分布直方图.
（1）估计知识竞赛成绩的中位数和平均数；
（2）从[80,90)，[90,100]分数段中，按分层抽样随机抽取5份答卷， 再从对应的党员中选出3位党员参加县级交流会，
求选出的3位党员中有2位成绩来自于[90,100]分数段的概率.
19．（本小题12分）
某服装店为庆祝开业“三周年”，举行为期六天的促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，第五天该服装店经理对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计，
y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
x
1 2 3 4 5 y
4
6
10
23
22
（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的
线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）预测第六天参加抽奖活动的人数（按四舍五入取到整数）.
参考公式与参考数据：5
1
5
2
1
()()
ˆˆˆ,()
i
i
i i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑.
20．（本小题12分）
已知抛物线2
2(0)y px p =>的顶点为O ,准线方程为12
x =- .
（1）求抛物线方程；
（2）过点1,0（）且斜率为1的直线与抛物线交于,P Q 两点，求OPQ ∆的面积.
21．（12分）已知△ABC 的内角分别为A , B , C ，其对应边分别是a , b , c ，且满足
cos cos 2cos b C c B a B +=．
（1）求角B 的大小； （2）若3b =，求a ＋2c 的最大值.
22．（本小题12分）
已知1F ，2F 为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，点(2,3)P 为其上一点，且
128PF PF +=．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l ：4y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A
A
D
C
A
B
B
C
D
D
B
D
13.1 14.4 15.(2,4) 16.
3
3-
=m ;
4||=CD .
第Ⅱ卷
17.解：由y=
1与x 轴没有交点，知△＜0，∴m ＜；
由q ：f （x ）=（5﹣2m ）x
在R 上是增函数，知5﹣2m ＞1，∴m ＜2 由题意p ，q 一真一假，若p 真q 假，
m
．若p 假q 真，m
综上所述，m 的取值范围为
18．解：（1）由频率分布直方图可知，前3个小矩形的面积和为，后2个小矩形的面积
和为
，所以估计中位数为80.
估计平均数为
.
（2）由频率分布直方图可知，分数段中答卷数分别为12，8，
抽取比例为，所以
，
分数段中抽取的答卷数分别为3，2.
记
中对应的3为党员为，，，
中对应的2为党员为，
.
则从中选出对应的3位党员，共有不同的选法总数10种：
，，，
，
，
，
，
，
，.
易知有2位来自于
分数段的有3种，故所求概率为
. 19.解：（1）根据表中的数据，可得
，
，
则
，
又由，故所求回归直线方程为
.
（2）将
代入
中，求得
，
故预测第六天的参加抽奖活动的人数为29. 20．解：（1）
的准线
，
，
（2）设直线方程为，则，
，
=
21. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ， 8a 是5a 与13a 的等比中项.
28513=a a a ∴ 即()()()2
1117412a d a d a d +=++ ……………………………………2分
0d ∴=或2d =； 0d ≠
2d ∴=…………………………………………………………………………………………4分
21n a n ∴=- …………………………………………………………………………………5分
(2)因为)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n ，………………………8分
所以数列{}n b 的前n 项和)1
211215131311(21+--+⋯+-+-=n n T n
1
2)1211(21+=+-=n n n .……10分
22.解：（1）由题可知，解得，所以椭圆的标准方程为：. （2）设，由，得，
由韦达定理得：，，
由得或.
又因为原点在线段为直径的圆外部，则，
，
即，
综上所述：实数的取值范围为。