计算流体力学基础ppt课件
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s x ds y ds
如果该曲线G满足：
dx ds
a
dy
ds
b
特征线
x
特征线简化了 方程，在空气 动力学领域应
用广泛
则有：
duaubuc ds x y
特征相容关系 （特征线上物理量的简化方程）
✓偏微方程在特征线上变成了常微分方程 Slide 5
演示： 如何利用特征线计算物理量
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型
特征方程（3）无实根
-> 椭圆型
Slide 9
4. 讨论Euler方程组
一维非定常流动：
f(U)AU
x
x
U f(U) 0 t x
Uu
E
0
1
0
AU f ((232)u3)u2u/2c21
(3)u c2 32u2 1 2
1
u
推导
u f(U)u2 p
第四章 偏微分方程的性质 Behavior of Partial Differential Equations
Slide 1
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 2
偏微方程的分类及特征
1. 一阶偏微分方程
➢ （常用）特例：常系数线性单波方程
u cu 0 t x
初值： u(x,0)(x)
方程的精确解： u(x,t)(xc)t
Slide 31
1.特征线为虚数，故与特征线有关 的解法不适用；
2.无有限影响区域和依赖区域，流 场参数信息可以向任何方向传播；
3.图中P点参数影响整个区域的信息， 同时区域内任意点的参数也影响P 点的参数。
边界条件的类型：
4.4.3 椭圆型方程
Slide 32
1. 定常亚音速无粘流动
2. 不可压缩无粘流动 典型的低马赫数流动
u0 anduc 超音速出口
亚音速出口
u0 anduc
边界条件设定 给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
知识点
Slide 12
5. 椭圆型方程：Laplace方程
2 2 x2 y2 0
降阶：u
x
,
v
y
u x
v y
v
u
0 0
x y
一 阶 拟 线 性 方 程 ：U x
特点： 全部边界均需提供边界条件（与双曲方程不同）
原因： 椭圆型方程的扰动“全局传播”，全部边界的信息都会影响到内点。
Slide 14
Slide 15
拟线性偏微分方程的分类
Slide 16
Slide 17
Slide 18
双曲型偏微分方程的特征线法
Slide 19
4.1 偏微分方程的性质
对于二次曲线方程：
因而，P点的流场特性仅仅依赖于 区域III内的流场参数。由此，可 以通过“推进”方法，将边界线 上(y轴)的信息逐步向下游(x方向) 推进，以求解流场。
4.4.1 双曲型方程
III:依赖区域
左行线
右行线 I:影响区域
II:C点影响区域
Slide 26
定常无粘超音速流动 假设流动：
1.绕流孤立翼型 2.绕流可以有攻角，但不产生脱体激波， 同时不存在局部跨音速流动 上述流动满足定常Euler方程-双曲型
VΛV0 t x
即：
vj t
j
vj x
0
m个方程完全解耦， 可独立求解
有m 条特征线：
xjt 0
m个特征相容关系式：
vj
const.
G
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的
Slide 7
➢ 如果矩阵A 具有m个实特征值， 这些特征值共具有m个线性无关的特征向 量， 则称为双曲型方程
✓ 一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程） 等价。
2. “抛物化”粘性流动 N-S方程中流向导数（如下式所列）很小，可忽略，则简化为PNS（抛物型NS方程）
不适合存在分离的粘性流动，因流向导数的粘性项被忽略了
Slide 30
3. 非定常热传导 假设流体的温度梯度是速度的函数、无附 加的体积热，且内能e=cvT:
K=const 一维情况：
热扩散率
4.4.2 抛物型方程-例
则：翼型上游ab线上的流场信息（可 理解为无穷远来流）可逐步向下游传递， 推进求解。
对于三维定常无粘超音速流动，方 式相同。
4.4.1 双曲型方程-例
Slide 27
4.4.1 双曲型方程-例
1D 2D
非定常无粘流动 对于时间t，无论流动亚音或超音，方程皆为双曲型。 对于一维非定常动，P点参数决定于a-b区域内的初值信息（t=0)，而P点 可以影响其下游两特征线之间区域内的流场参数。 对于二维非定常流动，方式相同。
4.3 特征值法 取偏微分方 程组：
则方程组可写为:
定义：
的特征值为实数，双曲型；为复数，椭圆形；特征根 既有实数，又有复数，则为混合型。
Slide 22
4.3 特征值法-例 取二维可压缩无 旋定常流动控制 方程组
其中：
求逆矩阵：
或
Slide 23
4.3 特征值法-例
M > 1，特征根为实数，方程组为双曲型； M = 1，特征根为或一个实特征值，方程组为抛物线； M < 1，特征根为虚数，方程组为椭圆型。
A
U y
0， U
u v
,
A
0 1
1
0
特 征 值 ： 1 i, 2 i
类型：椭圆型方程
Slide 13
椭圆型方程边界条件的提法：
第1类边界条件（ Dirichlet问题）
uG u
第2类边界条件（ Neumann问题）
u
n
G
g(x)
第3类边界条件 （ Robin问题）
1u nG2uGh(x)
2u 2u 2u u u 或二阶偏微分方程： ax2bx ycy2dxeyf0
b24ac0 b24ac0 b24ac0
双曲型方程 抛物线型方程 椭圆形方程
Slide 20
4.2 偏微分方程组的分类 偏微分方程组同样具有三种不同分类： 双曲型、抛物型、椭圆型 判别方法：克莱默法则、特征值法
Slide 21
u(Ep)
守恒变量：质量 密度、动量密度、 能量密度
u1
U u u2
E
u
3
u 1,uu 2/u 1,E u 3
E p 1 u2 1 2
p
(
1)(u3
1 2
u22 u1
)
将矩阵A对角化 AS1ΛS
1 0 0
Λ
0
2
0
0 0 3
一维非定常Euler方程转化为三个单波方程:
4.4.3 椭圆型方程-例
Slide 33
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 34
UAU0 t x
vj t
j
vj x
0
✓变换成为了彼此独立的n个单波方程
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件
如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
A
j=1 j=2
B
➢特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征值的符号确定
➢可推广到一般的双曲型方程组
扰动波分别以速度 1 u ,2 u c ,3 u c传播
f(U)
f1 f2 f3
u u2 u(E
p
p)
u2
(
1)u3
u2u3 u1
3 u22 2 u1
1 u22 2 u1
好性质： 齐次函数
f(U)f(U)
Slide 10
5. 双曲型方程组边界条件提法
Slide 11
2） 一维Euler方程
UF(U) 0 t x
U(,u,E)T
A F(U) U
u
F(U) u 2 p
(E
p)u
AS1ΛS
1 u ,2 u c ,3 u c
d i( a 1,g 2,3)
对于左边界：
条件
描述
u0 anduc 超音速入口 u0 anduc 亚音速入口
例子如：一维管道内的波运动，绕二维振荡翼型的二维非定常流动。
信息则
Slide 28
1.只有一个特征值 2.P点的参数对其下游整个区域都有
影响； 3.P点同样受其上游整个区域内任意
位置的参数影响； 4.同样适合以“推进”方法求解
4.4.2 抛物型方程
Slide 29
1. 定常边界层流动
4.4.2 抛物型方程-例
u cu 0 xa,b 有限空间 t x
A
B
初值： u(x,0)(x)
问题： 如何给定边界条件？
c>0 扰动波向右传播：
重要基本概念，
左端(A)需要给定边界条件；
需掌握
右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件
（即使给定，对计算域也无任何影响, 且造成B端的非适定性）。
c<0 扰动波向左传播： 右端(B)需要给定边界条件； 左端(A)无需给定
Slide 24
4.4 不同类型偏微分方程的性质 不同类型的方程具有不同的数学特性，反映出流场的不同物理特性， 因而在进行求解时，也必须采用不同的数值方法。
Slide 25
1.沿y轴上的信息已知(边界条件)； 2.P 点 的 信 息 扰 动 ， 向 下 游 沿 两 条
特征线传递，并影响两条特征线 之间区域(I)内的信息； 3.特征线反向延伸，与y轴交于a、b， P 点 信 息 依 赖 于 a-b-P 之 间 的 信 息 ， 称依赖区域； 4.边界线上的c点下游特征线及其间 区域对P点无影响。
）
2） 在边界上选取初始点 ( x0 , y0 ) ，由边界条件确定该点的
物理量值 u 0
3） 根据特征线及特征相容关系数值积分，求出特征线下
一个点的坐标 ( x1 , y1 ) 和函数值 u 1 。递推下去，计算出整条特
征线的（离散）坐标及物理量的（离散）值。
4）在边界上选取新的点，重复步骤3），计算出整个计算
aux
bu y
c
v y
d
v x
u y
(2)
x u v b /1a c/a0 y u v 0 d/a
转化为一阶偏微方程组
矩阵
0
b
2
4 ac
0
0
b/a c/a
A1
0
I A 0 a 2 b c 0 ( 3 )
特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型
➢ 如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛物型方程 。
➢ 如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程
组合情况： 双曲-椭圆型 双曲-抛物型
Slide 8
3. 高阶偏微方程—— 可转化为一阶方程组
2f a
b2f
c2f
d
(1)
x2 xy y2
u f ,v f x y
原方程化为一阶方程组：
x
y
特征线法是空气动力学重要的计算方 法。早期（计算机出现之前），是主 y 要的CFD手工计算方法之一。
特征线
dx ds
a(x, y)
dy
ds
b(x, y)
(x0, y0)
( x1, y1 )
s
y x
(x2, y2)
(x3, y3)
特征相容关系
du c(x, y) ds
计算域
步骤：
1）设定积分步长 s （根据精度需求设定，例如0.1
✓对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖
于初始值，则称数学问题的提法是适定的。
.
4
➢（一般形式）一阶线性偏微方程
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
x
y
y
xx(s)y ;y(s)
采用特征线法，可转化为常微分方程
考虑曲线G: xx(s)y ;y(s)
显然， 沿着该曲线G有： uudxudy
域物理量的分布
.
x
x s
a(x, y)
y
s
b(x, y)
u c(x,Βιβλιοθήκη y)s62. 一阶常系数偏微方程组
U A U 0 t x U (u1,u2,......um)T
如果矩阵A 可以被对角化： AS1ΛS
US1ΛSU0
t
x
SUΛSU0
t
x
di( a1,g 2,...m .)..
令： VSU 有
x(,)
含义： 以常速度c向右传播。 波形，振幅保持不变
t
t=t3
x-ct=const 重要概念： 特征线
t=t2 t=t1
自变量空间的一条曲 线，该曲线上物理量 的方程可简化 x
.
基本概念：椭圆型、双曲 型、抛物型方程
u
t=0
x
u
t=t0
x t=0时刻与t=t0时刻物理量的 分布
3
线性单波方程的边界条件:
如果该曲线G满足：
dx ds
a
dy
ds
b
特征线
x
特征线简化了 方程，在空气 动力学领域应
用广泛
则有：
duaubuc ds x y
特征相容关系 （特征线上物理量的简化方程）
✓偏微方程在特征线上变成了常微分方程 Slide 5
演示： 如何利用特征线计算物理量
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型
特征方程（3）无实根
-> 椭圆型
Slide 9
4. 讨论Euler方程组
一维非定常流动：
f(U)AU
x
x
U f(U) 0 t x
Uu
E
0
1
0
AU f ((232)u3)u2u/2c21
(3)u c2 32u2 1 2
1
u
推导
u f(U)u2 p
第四章 偏微分方程的性质 Behavior of Partial Differential Equations
Slide 1
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 2
偏微方程的分类及特征
1. 一阶偏微分方程
➢ （常用）特例：常系数线性单波方程
u cu 0 t x
初值： u(x,0)(x)
方程的精确解： u(x,t)(xc)t
Slide 31
1.特征线为虚数，故与特征线有关 的解法不适用；
2.无有限影响区域和依赖区域，流 场参数信息可以向任何方向传播；
3.图中P点参数影响整个区域的信息， 同时区域内任意点的参数也影响P 点的参数。
边界条件的类型：
4.4.3 椭圆型方程
Slide 32
1. 定常亚音速无粘流动
2. 不可压缩无粘流动 典型的低马赫数流动
u0 anduc 超音速出口
亚音速出口
u0 anduc
边界条件设定 给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
知识点
Slide 12
5. 椭圆型方程：Laplace方程
2 2 x2 y2 0
降阶：u
x
,
v
y
u x
v y
v
u
0 0
x y
一 阶 拟 线 性 方 程 ：U x
特点： 全部边界均需提供边界条件（与双曲方程不同）
原因： 椭圆型方程的扰动“全局传播”，全部边界的信息都会影响到内点。
Slide 14
Slide 15
拟线性偏微分方程的分类
Slide 16
Slide 17
Slide 18
双曲型偏微分方程的特征线法
Slide 19
4.1 偏微分方程的性质
对于二次曲线方程：
因而，P点的流场特性仅仅依赖于 区域III内的流场参数。由此，可 以通过“推进”方法，将边界线 上(y轴)的信息逐步向下游(x方向) 推进，以求解流场。
4.4.1 双曲型方程
III:依赖区域
左行线
右行线 I:影响区域
II:C点影响区域
Slide 26
定常无粘超音速流动 假设流动：
1.绕流孤立翼型 2.绕流可以有攻角，但不产生脱体激波， 同时不存在局部跨音速流动 上述流动满足定常Euler方程-双曲型
VΛV0 t x
即：
vj t
j
vj x
0
m个方程完全解耦， 可独立求解
有m 条特征线：
xjt 0
m个特征相容关系式：
vj
const.
G
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的
Slide 7
➢ 如果矩阵A 具有m个实特征值， 这些特征值共具有m个线性无关的特征向 量， 则称为双曲型方程
✓ 一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程） 等价。
2. “抛物化”粘性流动 N-S方程中流向导数（如下式所列）很小，可忽略，则简化为PNS（抛物型NS方程）
不适合存在分离的粘性流动，因流向导数的粘性项被忽略了
Slide 30
3. 非定常热传导 假设流体的温度梯度是速度的函数、无附 加的体积热，且内能e=cvT:
K=const 一维情况：
热扩散率
4.4.2 抛物型方程-例
则：翼型上游ab线上的流场信息（可 理解为无穷远来流）可逐步向下游传递， 推进求解。
对于三维定常无粘超音速流动，方 式相同。
4.4.1 双曲型方程-例
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4.4.1 双曲型方程-例
1D 2D
非定常无粘流动 对于时间t，无论流动亚音或超音，方程皆为双曲型。 对于一维非定常动，P点参数决定于a-b区域内的初值信息（t=0)，而P点 可以影响其下游两特征线之间区域内的流场参数。 对于二维非定常流动，方式相同。
4.3 特征值法 取偏微分方 程组：
则方程组可写为:
定义：
的特征值为实数，双曲型；为复数，椭圆形；特征根 既有实数，又有复数，则为混合型。
Slide 22
4.3 特征值法-例 取二维可压缩无 旋定常流动控制 方程组
其中：
求逆矩阵：
或
Slide 23
4.3 特征值法-例
M > 1，特征根为实数，方程组为双曲型； M = 1，特征根为或一个实特征值，方程组为抛物线； M < 1，特征根为虚数，方程组为椭圆型。
A
U y
0， U
u v
,
A
0 1
1
0
特 征 值 ： 1 i, 2 i
类型：椭圆型方程
Slide 13
椭圆型方程边界条件的提法：
第1类边界条件（ Dirichlet问题）
uG u
第2类边界条件（ Neumann问题）
u
n
G
g(x)
第3类边界条件 （ Robin问题）
1u nG2uGh(x)
2u 2u 2u u u 或二阶偏微分方程： ax2bx ycy2dxeyf0
b24ac0 b24ac0 b24ac0
双曲型方程 抛物线型方程 椭圆形方程
Slide 20
4.2 偏微分方程组的分类 偏微分方程组同样具有三种不同分类： 双曲型、抛物型、椭圆型 判别方法：克莱默法则、特征值法
Slide 21
u(Ep)
守恒变量：质量 密度、动量密度、 能量密度
u1
U u u2
E
u
3
u 1,uu 2/u 1,E u 3
E p 1 u2 1 2
p
(
1)(u3
1 2
u22 u1
)
将矩阵A对角化 AS1ΛS
1 0 0
Λ
0
2
0
0 0 3
一维非定常Euler方程转化为三个单波方程:
4.4.3 椭圆型方程-例
Slide 33
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 34
UAU0 t x
vj t
j
vj x
0
✓变换成为了彼此独立的n个单波方程
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件
如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
A
j=1 j=2
B
➢特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征值的符号确定
➢可推广到一般的双曲型方程组
扰动波分别以速度 1 u ,2 u c ,3 u c传播
f(U)
f1 f2 f3
u u2 u(E
p
p)
u2
(
1)u3
u2u3 u1
3 u22 2 u1
1 u22 2 u1
好性质： 齐次函数
f(U)f(U)
Slide 10
5. 双曲型方程组边界条件提法
Slide 11
2） 一维Euler方程
UF(U) 0 t x
U(,u,E)T
A F(U) U
u
F(U) u 2 p
(E
p)u
AS1ΛS
1 u ,2 u c ,3 u c
d i( a 1,g 2,3)
对于左边界：
条件
描述
u0 anduc 超音速入口 u0 anduc 亚音速入口
例子如：一维管道内的波运动，绕二维振荡翼型的二维非定常流动。
信息则
Slide 28
1.只有一个特征值 2.P点的参数对其下游整个区域都有
影响； 3.P点同样受其上游整个区域内任意
位置的参数影响； 4.同样适合以“推进”方法求解
4.4.2 抛物型方程
Slide 29
1. 定常边界层流动
4.4.2 抛物型方程-例
u cu 0 xa,b 有限空间 t x
A
B
初值： u(x,0)(x)
问题： 如何给定边界条件？
c>0 扰动波向右传播：
重要基本概念，
左端(A)需要给定边界条件；
需掌握
右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件
（即使给定，对计算域也无任何影响, 且造成B端的非适定性）。
c<0 扰动波向左传播： 右端(B)需要给定边界条件； 左端(A)无需给定
Slide 24
4.4 不同类型偏微分方程的性质 不同类型的方程具有不同的数学特性，反映出流场的不同物理特性， 因而在进行求解时，也必须采用不同的数值方法。
Slide 25
1.沿y轴上的信息已知(边界条件)； 2.P 点 的 信 息 扰 动 ， 向 下 游 沿 两 条
特征线传递，并影响两条特征线 之间区域(I)内的信息； 3.特征线反向延伸，与y轴交于a、b， P 点 信 息 依 赖 于 a-b-P 之 间 的 信 息 ， 称依赖区域； 4.边界线上的c点下游特征线及其间 区域对P点无影响。
）
2） 在边界上选取初始点 ( x0 , y0 ) ，由边界条件确定该点的
物理量值 u 0
3） 根据特征线及特征相容关系数值积分，求出特征线下
一个点的坐标 ( x1 , y1 ) 和函数值 u 1 。递推下去，计算出整条特
征线的（离散）坐标及物理量的（离散）值。
4）在边界上选取新的点，重复步骤3），计算出整个计算
aux
bu y
c
v y
d
v x
u y
(2)
x u v b /1a c/a0 y u v 0 d/a
转化为一阶偏微方程组
矩阵
0
b
2
4 ac
0
0
b/a c/a
A1
0
I A 0 a 2 b c 0 ( 3 )
特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型
➢ 如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛物型方程 。
➢ 如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程
组合情况： 双曲-椭圆型 双曲-抛物型
Slide 8
3. 高阶偏微方程—— 可转化为一阶方程组
2f a
b2f
c2f
d
(1)
x2 xy y2
u f ,v f x y
原方程化为一阶方程组：
x
y
特征线法是空气动力学重要的计算方 法。早期（计算机出现之前），是主 y 要的CFD手工计算方法之一。
特征线
dx ds
a(x, y)
dy
ds
b(x, y)
(x0, y0)
( x1, y1 )
s
y x
(x2, y2)
(x3, y3)
特征相容关系
du c(x, y) ds
计算域
步骤：
1）设定积分步长 s （根据精度需求设定，例如0.1
✓对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖
于初始值，则称数学问题的提法是适定的。
.
4
➢（一般形式）一阶线性偏微方程
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
x
y
y
xx(s)y ;y(s)
采用特征线法，可转化为常微分方程
考虑曲线G: xx(s)y ;y(s)
显然， 沿着该曲线G有： uudxudy
域物理量的分布
.
x
x s
a(x, y)
y
s
b(x, y)
u c(x,Βιβλιοθήκη y)s62. 一阶常系数偏微方程组
U A U 0 t x U (u1,u2,......um)T
如果矩阵A 可以被对角化： AS1ΛS
US1ΛSU0
t
x
SUΛSU0
t
x
di( a1,g 2,...m .)..
令： VSU 有
x(,)
含义： 以常速度c向右传播。 波形，振幅保持不变
t
t=t3
x-ct=const 重要概念： 特征线
t=t2 t=t1
自变量空间的一条曲 线，该曲线上物理量 的方程可简化 x
.
基本概念：椭圆型、双曲 型、抛物型方程
u
t=0
x
u
t=t0
x t=0时刻与t=t0时刻物理量的 分布
3
线性单波方程的边界条件: