新北师大版九年级数学下册第二章2
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开口方向
（0，0） y轴
在x轴的上方(除顶点外) 向上
（0，0）
பைடு நூலகம்y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
开口大小
当x=0时,最小值为0.
北师大版数学九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图像与性质（1）
学习目标
1、经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，
获得利用图象研究函数的性质的体验。
2、会用描点法作出二次函数y=x2和y=-x2的图象；
能根据图象理解它们的性质，并根据图像比较两个 函数的异同。
3、能用类比法探索出函数y=ax2的性质。
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
二次项系数a>0,开口都向上;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.
只是开口 大小不同.
顶点都是 原点(0,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?
(4)二次函数y=-2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-x2的图象有什么相同和不 同?它的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?
-10 y=-x2
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随 着x的增大而减小.
当x<0 (在对称轴的左 侧)时,y随着x的增大 而增大.
3.当a>0时,在对称轴的左 侧,y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧,y随着x的增 大而增大.当x=0时函数y的 值最小.当a<0时，在对称 轴的左侧,y随着x的增大而 增大；在对称轴的右侧,y 随着x增大而减小,当x=0时, 函数y的值最大.
2.当a>0时，抛
物线y=ax2在x轴 的上方(除顶点 外),它的开口
向上, 当a<0时,
抛物线y=ax2在x 轴的下方(除顶 点外),它的开 口向下.
4. |a| 越大,开口越小, |a| 越小,开口越大.
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
顶点坐标
对称轴 位置
完成下表: <列表>
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线
y
y=x2
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
下一页
合作探究
观察图象,回答问题串
y
y=x2
10
(12345)你图当能象x取<描 是0与时什述轴x,么图对轴随值象称有着时的图交x的,形点y值的状吗增值吗？大最如?与,小8果y同?是有的最伴,值小进它交如值行的点何是交对坐变什流称标化么.轴是？是什当什么x?>么0?呢请？你找 出几对你对是称如点何知,并道与的同？伴交流.6
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 在同一坐标系中作二次函数y=2x2的图象．
y x2
y 2x2
二次函数y=-2x2的 图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.
顶点都是 原点(0,0).
只是开口 大小不同.
二次项系数a<0,开口都向下;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原 点,对称轴是y轴.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶
点外),顶点是它的最低点,开 口向上, 当x=0时,函数y的值
最小,最小值是0.
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
抛物线y= -x2在x轴的下方(除 顶点外),顶点是它的最高点,开 口向下, 当x=0时,函数y的值最 大,最大值是0.
y x2
它们的性质有哪些异同？
根据图形填表：
y x2
抛物线
y=x2
y= -x2
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
a |a|越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a |a|越小,开口越大.
当堂检测
知道就做别客气
1.填空:
(1)抛物线y=5x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是 y轴 ,
在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在_对__称_轴__的__左__
侧,y随着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,
B.
1 2
,
1 4
C.
1 2
,
1 4
D.
1 , 1 2 2
4.已知a﹤-1，A(a-1，y1），B(a，y2）C（a+1，y3）
为二次函数y=x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大
小关系是（ B ）
A.y1<y2<y3
B.y3<y2<y1
C.y3<y1<y2
D.y2<y1<y3
作业： P34知识技能T1、数学理解T2
(1)完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
(2)作出y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象是什么 形状?它与二次函数y=x2的图象有 什么相同和不同?它的开口方向、 对称轴和顶点坐标分别是什么?
创设情境，提出问题
创设情境，提出问题
1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的 一般程序是怎样的？
2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的 图形？
数课形堂助结学合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,
0
观察图象,回答问题
y 2
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
（（（（35241))))当图当请图当你你象x你xx象是能<>取是0找0如描时呢什与轴出何述？,么x对几随知轴图值称对着道有象时图对x的交的的,形称？y点形值的吗点吗状增值？,？吗-并大-最86如如?与,大与果y果同?同是的有最伴伴,值大,交它交进如值流的点行何是对.坐交变什称标流化么轴是.？？是什什么么? ?
4
2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做
抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴 的左侧)时,y随着x 的增大而减小.
最小值是 0 ,抛物线y=5x2在x轴的 上 方(除顶点外).
2.若二次函数 y （k 1）xk2k4 是开口向上的抛物线， 则k的值是（B ）
A. -3
B. 2
C. 3 D.-3或2
3.已知
1 ，1 2 4
是二次函数y=x2图象上的一点，则图象
上与之对称的点的坐标是（ B ）
A. 1 , 1 2 4
（0，0） y轴
在x轴的上方(除顶点外) 向上
（0，0）
பைடு நூலகம்y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
开口大小
当x=0时,最小值为0.
北师大版数学九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图像与性质（1）
学习目标
1、经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，
获得利用图象研究函数的性质的体验。
2、会用描点法作出二次函数y=x2和y=-x2的图象；
能根据图象理解它们的性质，并根据图像比较两个 函数的异同。
3、能用类比法探索出函数y=ax2的性质。
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
二次项系数a>0,开口都向上;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.
只是开口 大小不同.
顶点都是 原点(0,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?
(4)二次函数y=-2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-x2的图象有什么相同和不 同?它的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?
-10 y=-x2
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随 着x的增大而减小.
当x<0 (在对称轴的左 侧)时,y随着x的增大 而增大.
3.当a>0时,在对称轴的左 侧,y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧,y随着x的增 大而增大.当x=0时函数y的 值最小.当a<0时，在对称 轴的左侧,y随着x的增大而 增大；在对称轴的右侧,y 随着x增大而减小,当x=0时, 函数y的值最大.
2.当a>0时，抛
物线y=ax2在x轴 的上方(除顶点 外),它的开口
向上, 当a<0时,
抛物线y=ax2在x 轴的下方(除顶 点外),它的开 口向下.
4. |a| 越大,开口越小, |a| 越小,开口越大.
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
顶点坐标
对称轴 位置
完成下表: <列表>
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线
y
y=x2
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
下一页
合作探究
观察图象,回答问题串
y
y=x2
10
(12345)你图当能象x取<描 是0与时什述轴x,么图对轴随值象称有着时的图交x的,形点y值的状吗增值吗？大最如?与,小8果y同?是有的最伴,值小进它交如值行的点何是交对坐变什流称标化么.轴是？是什当什么x?>么0?呢请？你找 出几对你对是称如点何知,并道与的同？伴交流.6
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 在同一坐标系中作二次函数y=2x2的图象．
y x2
y 2x2
二次函数y=-2x2的 图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.
顶点都是 原点(0,0).
只是开口 大小不同.
二次项系数a<0,开口都向下;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原 点,对称轴是y轴.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶
点外),顶点是它的最低点,开 口向上, 当x=0时,函数y的值
最小,最小值是0.
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
抛物线y= -x2在x轴的下方(除 顶点外),顶点是它的最高点,开 口向下, 当x=0时,函数y的值最 大,最大值是0.
y x2
它们的性质有哪些异同？
根据图形填表：
y x2
抛物线
y=x2
y= -x2
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
a |a|越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a |a|越小,开口越大.
当堂检测
知道就做别客气
1.填空:
(1)抛物线y=5x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是 y轴 ,
在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在_对__称_轴__的__左__
侧,y随着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,
B.
1 2
,
1 4
C.
1 2
,
1 4
D.
1 , 1 2 2
4.已知a﹤-1，A(a-1，y1），B(a，y2）C（a+1，y3）
为二次函数y=x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大
小关系是（ B ）
A.y1<y2<y3
B.y3<y2<y1
C.y3<y1<y2
D.y2<y1<y3
作业： P34知识技能T1、数学理解T2
(1)完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
(2)作出y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象是什么 形状?它与二次函数y=x2的图象有 什么相同和不同?它的开口方向、 对称轴和顶点坐标分别是什么?
创设情境，提出问题
创设情境，提出问题
1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的 一般程序是怎样的？
2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的 图形？
数课形堂助结学合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,
0
观察图象,回答问题
y 2
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
（（（（35241))))当图当请图当你你象x你xx象是能<>取是0找0如描时呢什与轴出何述？,么x对几随知轴图值称对着道有象时图对x的交的的,形称？y点形值的吗点吗状增值？,？吗-并大-最86如如?与,大与果y果同?同是的有最伴伴,值大,交它交进如值流的点行何是对.坐交变什称标流化么轴是.？？是什什么么? ?
4
2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做
抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴 的左侧)时,y随着x 的增大而减小.
最小值是 0 ,抛物线y=5x2在x轴的 上 方(除顶点外).
2.若二次函数 y （k 1）xk2k4 是开口向上的抛物线， 则k的值是（B ）
A. -3
B. 2
C. 3 D.-3或2
3.已知
1 ，1 2 4
是二次函数y=x2图象上的一点，则图象
上与之对称的点的坐标是（ B ）
A. 1 , 1 2 4