2024-2025学年度北师版九上数学1.3正方形的性质与判定(第二课时)【课件】

三个角是直角
矩形
定义
四边形
四个判定定理
四条边相等ห้องสมุดไป่ตู้
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
平行四边形
菱形
正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正
方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想
满足怎样条件的矩形是正方形？
一组邻边相等
矩形
对角线互相垂直
正方
形
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形.
正方形的是（ C ）
A. AC ＝ BD , AB ∥ CD , AB ＝ CD
B. AD ∥ BC ,∠ A ＝∠ C
C. AO ＝ BO ＝ CO ＝ DO , AC ⊥ BD
D. AO ＝ CO , BO ＝ DO , AB ＝ BC
【解析】A. 不能判定这个四边形是正方形，只能判定这个四边形是矩形；B. 不能判定这个四边形是正
对角线互相垂直
一个直角
对角线相等
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0 2
课前导入
复习引入 问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等；
A
B
③对角线相等且互相垂直平分.
O
D
C
问题2 你是如何判定矩形、菱形的？
是菱形，再说明它有一个角是直角，或说明对角线相等.
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如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下
列条件中的一个，则能使菱形 ABCD 成为正方形的是（ A
A. ∠ ABC ＝90° B. AC ＝ AD
C. BD ＝ AB
）
D. OD ＝ AC
相等和一个角是直角；（2）先证明矩形，再证明一组邻边相等或对角线互相垂直；（3）先证明菱形，
再证明一个角是直角或对角线相等.另外还要灵活运用全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和等
腰三角形的性质等.
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如图，在△ ABC 中，已知 BD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 作 DE ∥
C
D
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量
量看是不是正方形.
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
菱形
正方形
对角线相等
证一证
对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
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第一章
3
特殊平行四边形
正方形的性质与判定（第二课时）
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目录
CONTENTS
课前预习
课前导入
典例讲练
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0 1
课前预习
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判定正方形的基本思路.
已知
先证明
再证明
邻边相等
四边形
平行
矩形
四边形
菱形
最后证明
一个直角
一组邻边相等
（1）证明：∵ CF ∥ AB ，∴∠ DAE ＝∠ CFE . ∵点 E 是 CD 的中点，∴ DE ＝ CE .
∠＝∠，
在△ ADE 和△ FCE 中，ቐ∠＝∠，∴△ ADE ≌△ FCE .
＝，
∴ AE ＝ EF .
（2）解：四边形 BDCF 是菱形.理由如下：
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
A
B
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
O
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
方形，只能判定这个四边形是平行四边形；C. 能判定这个四边形是正方形；D. 不能判定这个四边形是
正方形，只能判定这个四边形是菱形.故选C.
【点拨】判定一个四边形为正方形的途径有三种：①先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，
且有一个角是直角；②先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等，或说明对角线互相垂直；③先说明它
（3）解：四边形 BDCF 是正方形.由（2）知， CD ＝ BD ，且∠ ABC ＝45°，
∴∠ DCB ＝∠ DBC ＝45°.∴∠ BDC ＝90°.
又∵四边形 BDCF 是菱形，∴菱形 BDCF 是正方形.
【点拨】正方形的判定思路通常有三个途径：（1）从定义去判定，先证明平行四边形，再证明一组邻边
+
一个直角/
对角线相等
先判定菱形
矩形条件(二选一)
+
一组邻边相等/
对角线垂直
先判定矩形
平行四边形
正方形
正方形
菱形条件(二选一)
一组邻边相等，
且一内角是直角
正方形
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0 3
典例讲练
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在四边形 ABCD 中，已知 AC 与 BD 相交于点 O ，那么下列条件中能判定这个四边形是
BC 交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 BC 于点 F .
（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；
（1）证明：∵ DE ∥ BC ， DF ∥ AB ，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∠ EDB ＝∠ DBF .
∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ EBD ＝∠ DBF . ∴∠ EBD ＝∠ EDB . ∴ EB ＝ ED .
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
A
B
O
D
C
总结归纳 正方形判定的几条途径：
由（1）知，△ ADE ≌△ FCE ，∴ AD ＝ FC .
∵ AD ＝ BD ，∴ FC ＝ BD . ∵ CF ∥ BD ，∴四边形 BDCF 是平行四边形，
∵∠ ACB ＝90°， AD ＝ BD ，
∴ CD ＝ BD .
∴▱ BDCF 是菱形.
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（3）当∠ ABC ＝45°时，直接判断四边形 BDCF 的形状.
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如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 边上且 AD ＝ BD ，连接 CD ，点 E 是
CD 的中点，过点 C 作 CF ∥ AB ，交 AE 的延长线于点 F ，连接 BF .
（1）求证： AE ＝ EF ；
（2）判断四边形 BDCF 的形状，并说明理由；