最新人教B版高中数学必修第二册第六章6.1.2 向量的加法

2.利用向量形式的不等式“||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|”求解时,一定要注意等号
成立的条件.
微思考
(1)物理学中,位移的合成与分解遵循什么法则?
提示 位移的合成与分解,都遵循平行四边形法则.
(2)两个不共线向量相加是模相加吗?
提示 不是.因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加.由
则 + = ,作 = ,连接,
则 = + + ,如图所示.
探究二
向量加法运算律的应用

例2化简下列各式:
(1) + + + + ;
(2)( + )+ + + .
分析根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量加法的结合律
确.对于 B 选项,根据向量加法的平行四边形法则可知, + = ,结论正
确.对于 C 选项,由于 + = ,故结论错误.对于 D 选项, = ,所以
+ = + = =0,结论正确.故选 C.
3.向量( + )+( + )+化简后等于
名师点析 对向量加法的运算律的理解
1.向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有
一个为零向量时,交换律和结合律依然成立.
2.由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按
照任意的次序与任意组合来进行.例
如:(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
(1)多个向量相加是向量加法的三角形法则的推广,是由求两个向量的和推
广到求多个向量的和,强调的也是“首尾相连”.
(2)当首尾依次相接的向量构成封闭的向量链时,各向量的和为0.
如图所示,(n+1)边形 A0A1…An 中,有0 1 + 1 2 + 2 3 +…+-1 +
0 =0.
OE,则 = + =a+b+c 即为所求.
反思感悟 1.向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.
(2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向
终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和向量为共
= + = =0.
反思感悟 解决向量加法运算问题时的两个关键点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点字母、
终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
变式训练如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下
共线时,平行四边形法则便不再适用.
2.向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
3.向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
名师点析 解决向量模的问题的两种方法
1.依据图形特点,适当运用三角形法则或平行四边形法则进行转化,要注意
相关知识间的联系.
列式子:
(1) + + ;
(2) + + ;
(3) + + .
解 (1) + + = + = .
(2) + + =( + )+ = + = .
(3) + + = + + = + = .
那么想要让“马”从棋盘上的一个点走到它所在位置左侧的相邻点,应该如
何实现呢?
【知识点拨】
知识点一:向量加法的定义及求和法则
1.定义:一般地,平面上任意给定两个向量 a,b,在该平面内任取一点 A,作
=a, =b,作出向量 ,则向量 称为向量 a 与 b 的和(也称 为向量 a
a,b反向时,|a+b|取最小值0,
a,b不共线时,|a+b|在(0,2)之间,
所以|a+b|的取值范围是[0,2].
.
运用以上结论也可以判断一个图形是不是封闭图形.
微练习
化简下列各式:
(1) + + ;
(2) + + + .
解 (1) + + = + =0.
(2) + + + =( + )+( + )= + = .
其几何意义知,两个向量的加法应满足求和法则.
(3)任意两个非零向量相加都可以用向量加法的平行四边形法则吗?
提示 不一定.当两个向量共线时不能用向量加法的平行四边形法则.
微练习1
如图,在平行四边形 ABCD 中, + =
答案
解析 由平行四边形法则可知 + = .
.
微练习2
∴ + + = + = + = =0.故选 A.
2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
A. + =0
B. + =
C. + =
D. + =0
)
答案 C
解析 如图,对于 A 选项, = ,所以 + = + = =0,结论正
已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则|a+b+c|的最大值为
答案 9
解析 ∵|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,
∴所求最大值为9,当且仅当a,b,c同向时取得最大值.
.
知识点二:向量加法的运算律
1.交换律:a+b= b+a .
2.结合律:(a+b)+c= a+(b+c) .
探究三
求与向量的模有关的问题
例3已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是
.
答案 8
解析 ∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,当且仅当a与b同向时取得最大值,∴|a+b|的
最大值为8.
方法总结模的最值问题的解法
运用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行求解.
延伸探究 本例中a+b模长的最小值是
②如图乙所示,求作向量a+b+c.
分析(1)由平行四边形的性质得到有关的相等向量,并进行代换,然后用三
角形法则化简;(2)用三角形法则或平行四边形法则画图.
(1)答案 ①
②
③
解析 如题图,由已知得四边形 DFCB 为平行四边形,由向量加法的运算法则
可知
① + = + = .
起点的“对角线”向量.
延伸探究 1 在例 1(1)条件下,求 + .
解 因为 BC∥DF,BD∥CF,所以四边形 BCFD 是平行四边形,所以 + =
.
延伸探究 2 在例 1(1)图形中求作向量 + + .
解 过 A 作 AG∥DF 交 CF 的延长线于点 G,
4.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和.(直观想
象)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
“马走日”是中国象棋中“马”的走法,是指“马”走一步时只能是从一个“日”
字形棋格的一个顶点跳到与之对角的顶点.我们可以用从出发点到目的点
的有向线段来表示马走了“一步”.即“马”每走一步可以用一个向量来表示.
课堂篇 探究学习
探究一
向量加法运算法则的应用
例1(1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一
点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
① + =
;
② + =
;
③ + + =
.
(2)①如图甲所示,求作向量a+b;
微练习
下列各式不一定成立的是(
A.a+b=b+a
B.0+a=a
C. + =
D.|a+b|=|a|+|b|
答案 D
)
知识点三:多个向量相加
已知n个向量,依次把这n个向量首尾相接,以第一个向量的起点为起点,第n
个向量的终点为终点的向量称为这n个向量的和向量.
名师点析 对多个向量相加的理解
调整后相加.
解 (1) + + + + = + + + + = +
+( + )= + = =0.
(2)( + )+ + + =( + )+( + )+ = + +
与 b 的和向量).向量 a 与 b 的和向量记作 a+b.
特别地,对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.
2.向量求和的法则
名师点析 对向量加法的两种法则的理解
1.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三
角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量
.
答案
解析 ( + )+( + )+ = + + + +
= + + +
= + + = + = .
4.设a,b都是单位向量,则|a+b|的取值范围是
答案 [0,2]
解析 a,b同向时,|a+b|取最大值2,
2021
第六章
高中同步学案
6.1.2 向量的加法
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律.(数学
抽象)
2.掌握向量加法运算法则,能熟练地进行加法运算.(数学抽象、直观想象)
3.理解数的加法与向量的加法的联系与区别.(逻辑推理)
.
答案 2
解析 ∵|a+b|≥||a|-|b||=5-3=2当且仅当a与b反向时取得最小值,
∴|a+b|的最小值为2.
当堂检测
1.如图所示,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则 + + =(
A.0
B.0
C.
D.
)
答案 A
解析 ∵ + = , = ,
然后作向量 =c,则向量 =(a+b)+c=a+b+c 即为所求.
(方法二)平行四边形法则:如图所示,
首先在平面内任取一点 O,作向量=a,=b, =c,以 OA,OB 为邻边作
▱OADB,连接 OD,则 = + =a+b.再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接
② + = + = .
③ + + = + + = .
(2)解 ①首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b,如图所示.
②(方法一)三角形法则:如图所示,首先在平面内任取一点 O,
作向量=a,再作向量 =b,则得向量=a+b,