运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)

w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
北京
天津
济南
青岛
郑州
徐州
连云港
南京
上海
武汉
OR3
2
球队比赛图
五个球队比赛, 五个球队比赛,比过的两个队之间用连线 相连，还没有比赛的队之间没有连线
v5
v1
v4v2OR3Fra bibliotekv33
6.1 图的基本概念
图是由点和线构成的。点代表所研究的对象，线表示对 象间的关系。 1、图的分类：无向图，有向图 无向图：由点 无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E). 所组成的图。表示为G=(V,E). 有向图：由点 有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A) 所组成的图。表示为D=(V,A) 点的集合用V表示，V={v 点的集合用V表示，V={vi} 2、图上的基本概念： （1） 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记 边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记 为E= { ej } ，一条边可以用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ]. ，一条边可以用两点[ 表示,e 弧：图中带箭头的连线叫做弧(arc),弧的集合记为A 弧：图中带箭头的连线叫做弧(arc),弧的集合记为A， A= { ak },一条弧也是用两点表示，ak= [ vi,vj ],弧有方向： },一条弧也是用两点表示，a ],弧有方向： vi为始点，vj为终点 为始点，v
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6.3 最短路问题
最短路：赋权有向图D=（ 最短路：赋权有向图D=（V，A）中，从始点到终点的 权值最小的路称为最短路。
引例: 引例:
– 单行线交通网：v1到v8使总费用最小的旅行路线。 单行线交通网：v – 最短路问题的一般描述： 对D=（V，A），a=（vi，vj），w（V）=wij，P是vs D=（ ），a=（ ），w a 2(v1,6） 到vt的路，定义路P的权是P中所有弧的权的和，记 的路，定义路P的权是P 为w（P），则最短路问题为：
OR3
9
3、最小支撑树 最小支撑树：当一个连通图的所有边都被赋权， 则取不同边构成的支撑树具有不同的总权数， 其中总权数最小的支撑树称为最小支撑树。 求最小支撑树的方法： 破圈法：在连通图中任取一个圈，去掉一条 权数最大的边，在余下的图中重复上述步骤， 直至无圈为止。 避圈法：将连通图所有边按权数从小到大排 序，每次从未选的边中选一条权数最小的边， 并使之与已选的边不能构成圈，直至得到最小 支撑树。
OR3
13
Dijkstra算法的基本步骤： Dijkstra算法的基本步骤：
1:给 1:给vs以P标号, P(vs)=0,其余各点均给T标 号,T(vi)=+∞ 标号, )=0,其余各点均给T 2:若 点为刚得到P 标号的点,考虑这样的点v 2:若vi 点为刚得到P 标号的点,考虑这样的点vj (vi,vj) ∈A, 且 vj为T标号. 标号. 3:对 3:对vj的T标号进行如下更改: 标号进行如下更改:
−
[
]
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14
用Dijkstra算法求图中v1到v8的最短路 Dijkstra算法求图中v
OR3
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标号， 标号， v 1 以 P 标号， P ( v 1 ) = 0 , 给其余所有点以 T 标号， T ( v i ) = ∞ ( i = 2 , 3 ... 8 ), 并令 S = { } v1 。 1 2）由于（ v , v ），（ v , v ）属于 A ，且 v ， 为 T 标号，所以修改标号： 由于（ 标号，所以修改标号： 1 2 1 3 2 v3 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ , 0 + 4 ] = 4 12 2 2 1 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ , 0 + 6 ] = 6 13 3 3 1 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 4。 2 2 此时 P 标号的点集 S = {v ， } 。 2 1 v2 3）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v , v ），（ v , v ）的端点 v ， ： 标号的点，考察弧（ 2 2 4 2 5 4 v5 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ , 4 + 5 ] = 9 24 4 4 2 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ , 4 + 4 ] = 8 25 5 5 2 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 6。 3 3 此时 P 标号的点集 S = {v ， ， } 。 3 1 v2 v3 OR3 16 1 ) 首先给
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2、图的支撑树 支撑树：设T=(V,E 是图G=(V,E)的支撑子图， 支撑树：设T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图， 如果T是一个树，则称T 如果T是一个树，则称T为G的支撑树。 定理7：图G有支撑树的充要条件是图G 定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连 通的。 求支撑树的方法： 破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条 边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含 圈为止。 避圈法：在图中每次任取一条边，与已经 取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程， 直到不能进行为止。
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避圈法的基本步骤P 避圈法的基本步骤P259
第一步：令i 第一步：令i＝1，E0＝空集。 第二步：选一条边e 第二步：选一条边ei∈E﹨Ei-1,使ei是使 （V, Ei-1∪｛e｝）不含圈的所有边e（e ｝）不含圈的所有边e ∈E﹨Ei-1）中权最小的边。令Ei＝Ei-1 ∪ ）中权最小的边。令E ｛ei｝,如果这样的边不存在，则T=(V, Ei-1) 如果这样的边不存在，则T=(V, 是最小树。 第三步：把i换成i 第三步：把i换成i＋1，转入第2步。 ，转入第2
第六章 图与网络分析
引论 : 哥尼斯堡七桥问题
A A B C B D E c B
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C
D A D
铁路交通图
此图是我国北京, 此图是我国北京,上海等十个 城市间的交通图, 城市间的交通图,反映了这 十个城市间的铁路分布情况. 十个城市间的铁路分布情况. 点表示城市, 点表示城市,点间的连线表示 两个城市间的铁路线. 两个城市间的铁路线. 诸如此类问题还有电话线分 布图或煤气管道分布图等. 布图或煤气管道分布图等.
标号的点，考察弧（ v3 为刚得到P标号的点，考察弧（v3 , v4），（v3 , v5）的端点 v4， 5： v T( v ) = min [T( v )，P( v ) + l ] = min[9,6 + 4] = 9 34 4 4 3 T( v ) = min [T( v )，P( v ) + l ] = min[8,6 + 7] = 8 35 5 5 3 标号， 最小， 比较所有 T标号， T( v )最小，所以令 P( v ) = 8。 5 5 此时P标号的点集 S = {v ， ， , v } 。 4 1 v2 v3 5 5 v 为刚得到 P标号的点，考察弧（v , v ），（v , v ）的端点 v ， ： ） 标号的点，考察弧（ 5 5 6 5 7 6 v7 T( v ) = min [T( v )，P( v ) + l ] = min[+ ∞ ,8 + 5] = 13 56 6 6 5 T( v ) = min [T( v )，P( v ) + l ] = min[+ ∞ ,8 + 6] = 14 57 7 7 5 标号， 最小， 比较所有 T标号， T( v )最小，所以令 P( v ) = 9。 4 4 此时P标号的点集 S = {v ， ， , v , v } 。 5 1 v2 v3 5 4
OR3 4
例1. v1 e5
e1 e2 e3 v2 e4 v1 a2 a1
v3 a3 v2
a8
v5 a10 a7 v6 v7
a4 a6 a9 a5 v4
v4 e7
e6
v3
环：两端点相同的边。 多重边：若两点之间有多于一条边，则称这些边为多 重边。 简单图：无环、无多重边的图。 e7 多重图：无环，但允许有多重边的图。
– Dijkstra算法基本思想: Dijkstra算法基本思想: – 采用标号法: P标号和T标号 采用标号法: P标号和T
» » » » P标号：已确定出最短路的节点(永久性标号)。 标号：已确定出最短路的节点(永久性标号) T标号：未确定出最短路的节点，但表示其距离的上限(试探性标号)。 标号：未确定出最短路的节点，但表示其距离的上限(试探性标号) 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号直至改完为止. 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号直至改完为止. Si：P标号节点的集合。
T (v j ) = min T (v j ), P (vi ) P wij 4:比较所有具有T标号的点,把最小者改为+标号. 4:比较所有具有T标号的点,把最小者改为P标号.
P(v i ) = min[ , (vi )] 当存在两个以上最小值时,可同时改为P标号. 当存在两个以上最小值时T可同时改为P标号. 若全部改为P标号,则停止.否则转回(2). 若全部改为P标号,则停止.否则转回(2).
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（2）次：以点u为端点的边的条数，叫做点u的次。 ）次：以点u为端点的边的条数，叫做点u 悬挂点：次为1 悬挂点：次为1的点叫做悬挂点； 孤立点：次为0 孤立点：次为0的点叫做孤立点； 奇点：次为奇数则称奇点； 偶点：次为偶数则称偶点。 基本定理： 1、图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即 、图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即
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6.2 树与最小生成树
1、树的概念与性质 树：无圈的连通图称为树。 树：无圈的连通图称为树。 定理： 定量3：设图G=（V,E)是一个树，p(G) ≥2,则 定量3：设图G=（V,E)是一个树，p(G) ≥2,则G中 至少有两个悬挂点。 定量4：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G 定量4：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G不 含圈，且恰有p 含圈，且恰有p－1条边。 定量5：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G 定量5：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G是 连通图，并且q(G)= 连通图，并且q(G)= p(G) -1. 定量6：图G=（V,E)是一个树的充要条件是任意 定量6：图G=（V,E)是一个树的充要条件是任意 两个顶点之间恰好有一条链。
∑ d (v ) = 2 q
v∈V
2、任一图中，奇点的个数为偶数。
OR3
6
（3）链：点边交替序列称为链； 圈：首尾相连的链称为圈； 初等链：链中各点均不同的链； 初等圈：圈中各点均不同的圈； 简单链：链中边均不同的链； 简单圈：圈中边均不同的圈。 （4）连通图：任意两点之间至少有一条链的图。 连通分图：对不连通的图，每一连通的部分称为一个连通 分图。 支撑子图：对G=(V,E)，若G 支撑子图：对G=(V,E)，若G’=(V’,E’)，使V’＝V， E’包含于 ，使V’＝ E’包含于 E，则G’是G的一个支撑子图。 ，则G’是 赋权图：在图中，如果每一条边（弧）都被赋予一个权值 wij，则称图G为赋权图。 ，则称图G （5）路：在有向图中，如果链上每条弧的箭线方向与链行 进方向相同，则称之为路。 回路：首尾相接的路称回路