四川省大竹县文星中学春高一数学下学期6月月考试题(含解析)

四川省大竹县文星中学2015年春高一下期6月月考
数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：共12题每题5分共60分
1．下列叙述中正确的是
A.若为假，则一定是p假q真
B.命题“ ”的否定是“ ”
C.若a，b，c∈R，则“”的充分不必要条件是“a>c”
D.设是一平面a，b是两条不同的直线，若，则a//b
【答案】D
【解析】本题主要考常用逻辑用语、充要条件的判断及两条直线的位置的关系.A选项，若为假，可能是p假q假;B选项命题“”的否定是
“”;C选项：“a>c”不一定推断“”; D选项，设是一平面，
a，b是两条不同的直线，若，则a//b是正确的.
2．若直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及充要条件的判断.当时，与圆O：x2＋y2＝1，交于A，B两点，可知，当“△O AB的面积为”时，根据图象可知，不一定推断“k＝1”，故选A.
x
3．若,
, 则θ所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】 B
【解析】本题主要考查角的终边所处的象限，解答本题时要注意利用三角函数值的正负进行判断.由与
可知，该角θ所在象限为第二象限，故选B.
4．函数f(x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 A.π，1 B.π，2
C.2π，1
D.2π，2
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的性质
.解答本题时要注意利用倍角公式以及辅助角公式，转化为
的形式，然后求解.由题，
，所以最小正周期为π，振幅为.故选A.
5．已知全集为R ，集合A ＝，B ＝
，则A ∩(∁R B )等于
A.{x |x ≤0}
B.{x |2≤x ≤4}
C.{x |0≤x <2或x >4}
D.{x |0<x ≤2或x ≥4}
【答案】C
【解析】本试题主要考查集合的基本运算。

由题意，集合A＝，B＝,故∁R B ={x|x<2或x>4}，则A∩(∁R B)=
{x|0≤x<2或x>4}，选C
6．给定函数，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本试题主要考查函数解析式的运用.由题意，函数
∵
∴
==
7．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
【答案】C
【解析】本题主要考查利用圆锥曲线的定义求轨迹方程的方法，根据函数的图象连接AQ，可知，即，所以点Q为以A,O为焦点的双曲线方程
8．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直
线是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数的解析式问题.解答本题时要注意题中所给的条件，对函数中的参数的值进行逐一确定，从而得到最终的解析式.由最大值为4，最小值为0故可知A=2,m=2，由最小正周期为知，故此时，由直
线是对称轴可知，，解得：的一个解为，故函数解析式为.故选D.
9．如图，正方体ABCD－中，E，F分别为棱AB，的中点，在平面内且与平面平行的直线
A.不存在
B.有1条
C.有2条
D.有无数条
【答案】D
【解析】本题主要考查了线面平行的性质.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线m，在平面ADD1A1内与m平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行，故选D.
10．若正实数满足，则
A.有最大值4
B.有最小值
C.有最大值
D.有最小值
【答案】C
【解析】本题主要考查基本不等式的应用.解答本题时要注意根据各选项进行判断.由题，因为，所以，故有最小值4，所以A错误；，即有，故有最大值，故B错误；
，所以，故C正确.故选C.
11．在x轴、y轴上截距相等且与圆相切的直线L共有( )条
A.2
B.3
C.4
D.6
【答案】B
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.解答本题时要注意利用直线与圆相切的关系，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程来解题.由题，若直线的截距不为0，则
设所求直线方程为，因为直线与圆相切，故有，解得(舍
去)或.若直线的截距为0，则设所求直线方程为，则，解得或，故这样的直线有3条.故选B.
12．在平面直角坐标系xOy中, 圆C 的方程为, 若直线
上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解答本题时要注意利用两圆的位置关系，结合圆心到直线的距离与半径的关系建立不等式，通过解不等式获取结论.由题，将圆方程转化为标准方程为：，故该圆是以为圆心，半径为1的圆.
由条件可知，只要圆心到直线的距离不大于2，即.解得.故的最小值为.故选A.
第II卷（非选择题）
二、填空题：共4题每题5分共20分
13．已知幂函数的图像不过坐标原点，则的值是_______. 【答案】1或2
【解析】本试题主要考查幂函数的定义以及性质。

由题意，幂函数
的图像不过坐标原点，则说明
14．已知向量设与的夹角为，则= ．【答案】
【解析】本题主要考查向量的夹角.解答本题时要注意利用向量的坐标形式，结合数量积进行求解.由题，，所以，所以该向量的夹角满足，解得.
15．已知数列为等差数列，若，，则的前项和_____. 【答案】
【解析】本题主要考查等差数列的前n项和.解答本题时要注意利用条件求得数列的首项与公差，然后利用前n 项和公式进行表示.因为所以两式相减可得：，所以，所以前n项和为.
16．判断下列说法：
①已知用二分法求方程在内的近似解过程中得：
则方程的根落在区间(1.25,1.5)；
②在它的定义域内是增函数；
③函数y=的最小正周期为π
④函数f(x)＝是奇函数；
⑤已知,若∠BAC是钝角，则的取值范围是
；
其中说法正确的是____________
【答案】①③
【解析】本试题主要考查命题的真值判定.由题意，对于①已知用二分法求方程
在内的近似解过程中得：
则方程的根落在区间(1.25,1.5)，正确；对于②
在它的定义域内是增函数，错误，因为不是连续函数；对于③函数y ==
的最小正周期为π，正确.利用分子和分母的周期都是π，取最小公倍数可得.对于④函数f (x )＝
，f (-x )＝
，则不符合奇函数与偶函数定义，故是非奇
非偶函数；对于⑤已知,若∠BAC 是钝角，
则的取值范围是，且排除当
,故错误
三、解答题：共6题 每题12分 共72分 17．设两个非零向量、不共线 (1)若
，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k 的值，使和
共线.
【答案】(1)因为，，
所以，
，即
,AB AD 共线，又它们有公共点，所以，A 、B 、D 三点共线。

(2)因为，
和
共线.所以，存在唯一实数λ，使k +=λ(k +)，
即1k k λ
λ=⎧⎨
=⎩
，解得，k=±1。

【解析】本题主要考察平面向量的线性表示.解答本题时要注意利用向量的线性关系表示向量共线.高考中对于此类问题的高考主要是表示向量的共线、垂直问题；平面向量的基本定理等.解答时要注意利用向量共线的表示来解答.
18．已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在中，A、B、C分别为三边所对的角，若a=f(a)=1，求的最大值.
【答案】(1)
，
所以函数的最小正周期为.
由得
所以函数的单调递增区间为.
(2)由可得，又，所以。

由余弦定理可得，即又
，所以，故，当且仅当
，即时等号成立.因此的最大值为。

【解析】本题主要考查三角函数的恒等变形，辅助角的公式及三角函数的性质，考查三角形的边角的关系及利用重要不等式求最值的方法.
19．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)，
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值．
【答案】(1)b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，
又a与b－2c垂直，
∴4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ)＝0，
即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，
∴4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
得tan(α＋β)＝2.
(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
∴|b＋c|＝
＝
当sin2β＝－1时，|b＋c|max＝＝4.
【解析】本题主要考查向量数量积的坐标运算.解答本题时要注意利用向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换，进行计算求值，同时利用三角函数的有界性确定向量模的最大值.高考对于此类问题的考查主要有：利用数量积判断垂直；利用数量积求向量的模，利用数量积求解不等式等.
20．2009年推出一款新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.
(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；
(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?
【答案】(1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为
(万元)
所以(万元)
(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为
(万元).
当且仅当0.1n＝时取等号，此时n＝12.
答:这种汽车使用12年报废最合算.
【解析】本题主要考查数列的实际应用.解答本题时要注意根据条件建立关于使用年数n的函数，然后构造基本不等式，应用基本不等式求解最值.高考对于数列的主要考查方式有：等差、等比数列的定义及通项公式；等差、等比数列的前n项和；一般数列的求和，数列与不等式等.
21．已知数列满足：，.数列的前n项和为，
.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，.求数列的前项和.
【答案】(1)由得，
又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于
是，.
当时，当时，，
，
又时，所以，.
(2)由(Ⅰ)知，，，
所以.
所以 (1)
等式两边同乘以得
(2)
(1)-(2)得
所以.
【解析】本题主要考查求数列的通项及求和问题.解答本题时要注意利用题中所给的递推关系，找到从中隐含的等差、等比情况，然后利用该数列的特征，表示通项.同时掌握错位相减法求和的步骤，并会应用.数列有关高考的主要考查方式有：等差、等比数列的定义及通项公式；等差、等比数列的前n项和；一般数列的求和，数列与不等式等
22．已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若数列{，,求数列{的通项公式；
（Ⅲ）若数列{满足是数列{的前n项和，是否存在正实数k，使不等式对于一切的恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】.
（Ⅱ）
由知.
上两式相加得：;
（Ⅲ）
.
.
.
要使不等式对于一切的恒成立，即恒成立，即.
令.
在是单调递增的.的最小值为.
.
【解析】本题主要考查了函数，数列与不等式的综合应用.直接代入化简得到. （Ⅱ）利用结论，再用倒序相加法求出. （Ⅲ）首先利用错位相减法求出，再代入，化简孤立k转化为恒成立问题.。