高三数学最新课件-[原创]有关垂直的证明 精品
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 线面垂直的判定与性质
2. 面面垂直的判定与性质
线面垂直的判定方法 (1)定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条 直线都垂直，则直线与平面垂直。 (2)判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一 个平面，则另一条也垂直于这个平面。
(3)判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，则直线与平面垂直。
P M A G C A N P M G C
N
B
B
例5 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB1⊥CA1， 求证：AB1⊥BC1。
C1 B1 A1 C1 B1 A1
C
A
C B z C1
A A1
B
C1
B1
A1
B1
C B
A
C
o
A
B x
y
三垂线定理的应用
例5 在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90o， AB＝AD，DC＝2AB，DS⊥平面ABCD。 求证：SA⊥AB，SB⊥BC．
n
A 面ADC⊥面BCD
①
D C E
面ABD ⊥面BCD
B
② ③ ④
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE ⊥BC BC ⊥面ADE 面ABC ⊥面ADE
①
面面垂直
④
线面垂直
② ③
线线垂直
课堂练习
空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( ）
(A) 平面ABD ⊥面BCD
A E D B C
A
C
B
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面 ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
① 求证： PB ⊥AC ② 二面角C-PA-M的大小
P
D
B
A
M
C
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC， ∠ACB= 90°,PB=BC=CA,E为PC中点， ① 求证： 平面PAC ⊥面PBC ② 求异面直线PA与BE所成角的大小
A
C
O
B
如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面 ABCD，∠BAD= 120°,E为PC上任意一点， ① 求证： 平面BED ⊥面PAC ② 若E是PC中点， AB=PA=a,求二面角 E-CD-A的大小
P E O F C
A B
D
4. 已知：平面 PAB⊥平面 ABC ，平面 PAC⊥平 面ABC，E是点A在平面PBC内的射影. (1)求证：PA⊥平面ABC； (2) 当 E 为△ PBC 的垂心时，求证：△ ABC 是直 角三角形.
线面垂直的性质 (1)定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条 直线垂直于平面内的任意一条直线 (2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面， 则这两条直线平行。
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上 的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
（1）BC⊥面PAC
P
(2)若AH⊥PC,则AH⊥面PBC
(B)
(C)
平面BCD ⊥面ABC
平面ACD ⊥面ABC
(D)
平面ACD ⊥面BDE
如图，ABCD是正方形，PA ⊥面ABCD， 连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对 互相垂直的平面？
面PAC⊥面ABCD
P D
面PAB⊥面ABCD 面PAD⊥面ABCD 面PAD⊥面PAB 面PAD⊥面PCD 面PBC⊥面PAB 面PBD⊥面PAC
H
A
B C
在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H ⊥D1O, 求证：B H⊥面D AC
1 1
D1
C1
H
A1B1DAOCB
例3 斜边为AB的直角△ABC，过A作AP⊥平面 ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：PB⊥平 面AEF，AF⊥EF．
P F A E
C B
图
例4 已知三棱锥P－ABC中，PA＝PB，CB⊥平面 PAB，M为PC的中点，N在AB上，且AN＝3NB． （1）求证：MN⊥AB； （2）当∠APB＝90°，BC＝2，AB＝4时，求MN的 长．
b
a
求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直， 则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面
l
A B P
3. 在三棱锥A—BCD中，AB=3，AC=AD=2，且 ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°. 求证：平面BCD⊥平ADC.
用定义证面面 垂直也是常用 方法
⊿ABC是直角三角形, ∠ACB=90°,P为平 面外一点，且PA=PB=PC . 求证： 平面PAB ⊥面ABC P
5. 已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中 位线 DE 相交于 G ，将此三角形沿 DE 折成二面 角A1-DE-B. (1)求证：平面A1GF⊥平面BCED； (2) 当二面角 A1-DE-B 为多大时，异面直线 A1E 与BD互相垂直?证明你的结论.
四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD ⊥面 BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE ⊥面ABC
P
E C A B
在正方体AC1中,O为下底面的中心, 求证：AC⊥面D1B1BD
D1 C1
A1
B1
D
A
O
C
B
已知: a,b是异面直线 ,AB是他们 的公垂线，a , b , c 求证: AB//c
a A b B
c
m
已知: l // ,m 求证: l m l m
P
A B Q C
D
定义：如果两个平面所成的二面角是 直二面角，则这两个平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂直 线面垂直
D B E
A
面面垂直
C
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面
面面垂直
A D B E
线面垂直
C
求证：如果一个平面与另一个平面的 垂线平行，则这两个平面互相垂直
S
B C 图 D
A
例 6 在 三 棱 锥 P － ABC 中 ， PA⊥AC ， PB⊥BC ， AC⊥BC ；如图，设 P 到平面 ABC 的距离为 a ，若 PA ＝2a，PB＝ 2a ． （1）求点P到直线AB的距离； （2）问：直线PC与AB能否垂直？证明你的结论．
P
A B 图 C
8. 已知矩形ABCD中， AB＝1，BC＝a，（a＞0）， PA⊥平面ABCD，且PA＝1． （ 1 ）问 BC 边上是否存在点 Q ，使得 PQ⊥QD ，并说 明理由； （2）若边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求二 面角Q－PD－A的正切值．
2. 面面垂直的判定与性质
线面垂直的判定方法 (1)定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条 直线都垂直，则直线与平面垂直。 (2)判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一 个平面，则另一条也垂直于这个平面。
(3)判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，则直线与平面垂直。
P M A G C A N P M G C
N
B
B
例5 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB1⊥CA1， 求证：AB1⊥BC1。
C1 B1 A1 C1 B1 A1
C
A
C B z C1
A A1
B
C1
B1
A1
B1
C B
A
C
o
A
B x
y
三垂线定理的应用
例5 在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90o， AB＝AD，DC＝2AB，DS⊥平面ABCD。 求证：SA⊥AB，SB⊥BC．
n
A 面ADC⊥面BCD
①
D C E
面ABD ⊥面BCD
B
② ③ ④
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE ⊥BC BC ⊥面ADE 面ABC ⊥面ADE
①
面面垂直
④
线面垂直
② ③
线线垂直
课堂练习
空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( ）
(A) 平面ABD ⊥面BCD
A E D B C
A
C
B
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面 ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
① 求证： PB ⊥AC ② 二面角C-PA-M的大小
P
D
B
A
M
C
如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC， ∠ACB= 90°,PB=BC=CA,E为PC中点， ① 求证： 平面PAC ⊥面PBC ② 求异面直线PA与BE所成角的大小
A
C
O
B
如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面 ABCD，∠BAD= 120°,E为PC上任意一点， ① 求证： 平面BED ⊥面PAC ② 若E是PC中点， AB=PA=a,求二面角 E-CD-A的大小
P E O F C
A B
D
4. 已知：平面 PAB⊥平面 ABC ，平面 PAC⊥平 面ABC，E是点A在平面PBC内的射影. (1)求证：PA⊥平面ABC； (2) 当 E 为△ PBC 的垂心时，求证：△ ABC 是直 角三角形.
线面垂直的性质 (1)定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条 直线垂直于平面内的任意一条直线 (2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面， 则这两条直线平行。
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上 的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
（1）BC⊥面PAC
P
(2)若AH⊥PC,则AH⊥面PBC
(B)
(C)
平面BCD ⊥面ABC
平面ACD ⊥面ABC
(D)
平面ACD ⊥面BDE
如图，ABCD是正方形，PA ⊥面ABCD， 连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对 互相垂直的平面？
面PAC⊥面ABCD
P D
面PAB⊥面ABCD 面PAD⊥面ABCD 面PAD⊥面PAB 面PAD⊥面PCD 面PBC⊥面PAB 面PBD⊥面PAC
H
A
B C
在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H ⊥D1O, 求证：B H⊥面D AC
1 1
D1
C1
H
A1B1DAOCB
例3 斜边为AB的直角△ABC，过A作AP⊥平面 ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：PB⊥平 面AEF，AF⊥EF．
P F A E
C B
图
例4 已知三棱锥P－ABC中，PA＝PB，CB⊥平面 PAB，M为PC的中点，N在AB上，且AN＝3NB． （1）求证：MN⊥AB； （2）当∠APB＝90°，BC＝2，AB＝4时，求MN的 长．
b
a
求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直， 则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面
l
A B P
3. 在三棱锥A—BCD中，AB=3，AC=AD=2，且 ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°. 求证：平面BCD⊥平ADC.
用定义证面面 垂直也是常用 方法
⊿ABC是直角三角形, ∠ACB=90°,P为平 面外一点，且PA=PB=PC . 求证： 平面PAB ⊥面ABC P
5. 已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中 位线 DE 相交于 G ，将此三角形沿 DE 折成二面 角A1-DE-B. (1)求证：平面A1GF⊥平面BCED； (2) 当二面角 A1-DE-B 为多大时，异面直线 A1E 与BD互相垂直?证明你的结论.
四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD ⊥面 BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE ⊥面ABC
P
E C A B
在正方体AC1中,O为下底面的中心, 求证：AC⊥面D1B1BD
D1 C1
A1
B1
D
A
O
C
B
已知: a,b是异面直线 ,AB是他们 的公垂线，a , b , c 求证: AB//c
a A b B
c
m
已知: l // ,m 求证: l m l m
P
A B Q C
D
定义：如果两个平面所成的二面角是 直二面角，则这两个平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂直 线面垂直
D B E
A
面面垂直
C
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面
面面垂直
A D B E
线面垂直
C
求证：如果一个平面与另一个平面的 垂线平行，则这两个平面互相垂直
S
B C 图 D
A
例 6 在 三 棱 锥 P － ABC 中 ， PA⊥AC ， PB⊥BC ， AC⊥BC ；如图，设 P 到平面 ABC 的距离为 a ，若 PA ＝2a，PB＝ 2a ． （1）求点P到直线AB的距离； （2）问：直线PC与AB能否垂直？证明你的结论．
P
A B 图 C
8. 已知矩形ABCD中， AB＝1，BC＝a，（a＞0）， PA⊥平面ABCD，且PA＝1． （ 1 ）问 BC 边上是否存在点 Q ，使得 PQ⊥QD ，并说 明理由； （2）若边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求二 面角Q－PD－A的正切值．