线性代数-(周勇)文档

线性代数

第一章行列式

第一节二阶与三阶行列式

一、 二元线性方程组与二阶行列式 对于二元线性方程组 1111221a x a x b +=

2112222a x a x b += （１．１）

使用加减消元法，当

112212210a a a a -≠时，方程组(1.1)有解为，

122212

211121121112122111221221

,b a b a b a b a

x x a a a a a a a a --=

=-- ． （１．２）

(1.2)式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得．其中分母11221221a a a a -是由方程组(1.1)的4个系数确定的，把这4个数按它们在方程组(1.1)中的位置，排成两行两列(横排称行、竖排称列)的数表

11

12

2122

a a a a （１．３） 表达式11221221a a a a -称为数表(1.3)所确定的行列式，记作

1112

2122

a a a a ， （１．４）

数ij a (i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.4)的元素．元素ij a 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列．

上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆．如图1-1所示，即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积．

图 1-1

例1

322

1

-＝３×１－（－２）×２＝７.

二、 三阶行列式

三、 定义1.1设有9个数排成3行3列的数表

11

1213

21

222331

32

33

a a a a a a a a a （１．5）

用记号111213 2122

23

313233

a a a

a a a

a a a

表示代数和

112233122331132132132231122133112332

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

++---

上式称为数表(1.5)所确定的三阶行列式，即

Ｄ＝

111213

212223

313233

a a a

a a a

a a a

=

112233122331132132132231122133112332

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

++---（１．６）三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图1-2所示，其中各实线连接的3个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的3个元素的乘积是代数和中的负项．

图1-2

例2 计算三阶行列式

Ｄ＝

123

221

345

--

--

解由对角线法则

Ｄ＝１×（－２）×（－５）＋２×（－１）×（－３）＋３×４×２－

３×（－２）×（－３）－２×２×（－５）－１×４×（－１）＝４６．

例3

10

10

411

a

a>0的充分必要条件是什么?

解由对角线法则

10

10

411

a

a=21

a-

21a -＞0当且仅当｜a ｜＞1，因此可得：

1010411

a a ＞0 的充分必要条件是｜a ｜＞1．

第二节 n 阶行列式的定义

一、 全排列及其逆序数

把n 个不同元素按某种次序排成一列，称为n 个元素的全排列．n 个元素的全排列的总个数，一般用Pn 表示，且

Ｐn ＝n ！．

对于n 个不同元素，先规定各元素间有一个标准次序(如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它们构成了一个逆序．一个排列中所有逆序的总和，称为该排列的逆序数，排列 12n i i i L 的逆序数记作τ(12n i i i L )．

例如，对排列32514而言，4与5就构成了一个逆序，1与3，2，5也分别构成一个逆序，3与2也构成一个逆序，所以τ(32514)＝５．

逆序数的计算法：不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序，设12n i i i L 为这n 个自然数的一个排列，自右至左先计算排在最后一位数字n i 的逆序数，等于排在n i 前面且比n i 大的数字的个数，再计算12n i i -L 的逆序数，然后把所有数字的逆序数加起来，就是该排列的逆序数．

例1计算τ［１ ３ ５…（２n －１）２ ４ ６…（２n ）］．

解 从排列１ ３ ５…（２n －１）２ ４ ６…（２n ）看，前n 个数１ ３ ５…（２n －１）之间没有逆序，后n 个数２ ４…（２n ）之间也没有逆序，只有前后n 个数之间才构成逆序．

2n 最大且排在最后，逆序数为0，

2n-2的前面有2n-1比它大，故逆序数为1，

2n-4的前面有2n-1、2n-3比它大，故逆序数为2，

………………

2前面有n-1个数比它大，故逆序数为n-1，因此有

τ［１ ３ ５…（２n －１）２ ４ ６…（２n ）］＝０＋１＋…＋（n －１）＝

(1)

2

n n -． 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列． 二、 对换

在排列中，将任意两个元素对调，其余元素保持不动，这种作出新排列的方法叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．

定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．