2020年甘肃省兰州市高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)

2020年高考（文科）数学一诊试卷
一、选择题.
1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，2，4} B ．{2，4} C ．{1，3，5} D ．{1，2，3，4，5}
2．已知复数z =5i
2−i
+2，则|z |＝（ ） A ．√5
B ．5
C ．13
D ．√13
3．已知非零向量a →
，b →
，给定p ：∃λ∈R ，使得a →
=λb →
，q ：|a →
+b →
|=|a →
|+|b →
|，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若2sin 5π12
cos
7π12
=
1−tan 2α2
tan
α
2
，则tan α＝（ ）
A ．4
B ．3
C ．﹣4
D ．﹣3
5．已知双曲线x 2a 2−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是
（ ） A ．√5
2
B ．√3
C ．√5
D ．2√3
6．已知集合A ={π
6，5π
6，7π
6，11π
6，13π
6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A ．
110
B ．2
5
C ．3
5
D ．
3
10
7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万
只） 1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
根据表及图得到以下判断：
①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；
②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系
数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；
以上判断中正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
8．已知函数f(x)=ln(√x2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log1
3
3)，则a、
b、c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）
A．√3
2B．√
2
2
C．√
3
3
D．
1
3
10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是
A．（1
2
，
3
4
]B．（
1
2
，
5
4
]C．（
5
4
，
3
2
]D．（
5
4
，
5
2
]
11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）
A．1+2√5B．2√5C．√17D．5
12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）
A．﹣e B．e C．1
e
D．−
1
e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数f(x)={
2x ，x ＜1
2x +1，x ≥1
，则f(f(log 23
2))= ．
14．已知向量a →
，b →
满足|b →
|=√2，向量a →
，b →
夹角为120°，且（a →+b →
）⊥b →
，则向量|a →
+b →
|
＝ ．
15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A
2=1
3，则c ＝ ．
16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱AA '、BB '、CC '、DD '、EE '、FF '相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B ′C ′D ′＝109°28′16''．已知一个房中BB '＝5√3，AB ＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =4
n(12+a n
)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =9
5，求n 的值．
18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√3
3，且直线AC 与PB 垂直．
（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．
19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．
（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；
（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：
标记不标记合计坡腰
坡顶
合计
并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？
（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x1和x2，若|x1−x2|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x1和x2（同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异． 附：K 2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
． P （K 2≥k ）
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
20．已知点F 为椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为
椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）． 21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+12
（a ∈R 且a ≠0）．
（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；
（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√2
2t
y =2+√2
2t （t 为参数），以坐标
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π
4)，曲线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；
（Ⅱ）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB →
⋅AP →
的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ． （Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；
（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．
解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{x|x＝2n，n∈N}，
∴A∩B＝{2，4}．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．已知复数z=
5i
2−i
+2，则|z|＝（）
A．√5B．5C．13D．√13【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．
解：因为复数z=
5i
2−i
+2=5i(2+i)
(2−i)(2+i)
+2＝i（2+i）+2＝1+2i；
∴|z|=√12+22=√5；
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知非零向量a→，b→，给定p：∃λ∈R，使得a→=λb→，q：|a→+b→|=|a→|+|b→|，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由q可得向量a→，b→同向共线，进而判断出关系．
解：由q可得向量a→，b→同向共线，
∴q⇒p，反之不成立．
∴p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．
【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．若2sin 5π12
cos
7π12
=
1−tan 2α2
tan
α2
，则tan α＝（ ）
A ．4
B ．3
C ．﹣4
D ．﹣3
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tan α的值． 解：若2sin
5π12
cos
7π12
=
1−tan 2α2
tan
α
2
，即2cos
π
12
•（﹣sin
π
12
）＝2•
1tanα
，即﹣sin
π6
=
2cosαsinα
=
−12
， ∴
cosαsinα
=−1
4
，故tan α＝﹣4，
故选：C ．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 5．已知双曲线x 2a −
y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是
（ ） A ．√5
2
B ．√3
C ．√5
D ．2√3
【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y =−b
a
x 上，可得a 2＝4b 2，即可得到离心率． 解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y =−b
a
x 上，则a ＝2b ，即a 2＝4b 2，
所以e =√c 2a 2=√a 2+b 2a
2
=√52
， 故选：A ．
【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a 、b 关系是关键，属于中档题． 6．已知集合A ={π
6，5π
6，7π
6，11π
6，13π
6}，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）
A ．
1
10
B ．2
5
C ．3
5
D ．
3
10
【分析】从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10，其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4，由此能求出其正弦值相等的概率． 解：∵集合A ={π
6
，5π6
，7π6，11π6，13π6}， sin
π6
=sin
5π6
，sin
π6=sin 13π6，sin 5π6
=sin 13π6，sin 7π6=sin 11π6， 从A 中任选两个角，基本事件总数n =C 52=10， 其正弦值相等包含的基本事件个数m =C 41=4， ∴其正弦值相等的概率是p =m n =410=2
5
． 故选：B ．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万
只） 1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
根据表及图得到以下判断：
①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；
②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r 1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2，则|r 1|＜|r 2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；
以上判断中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．
解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；
对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，
因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；
对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；
综上知，正确的判断序号是②，共1个．
故选：B．
【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．
3)，则a、8．已知函数f(x)=2+1)，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log1
3
b、c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
3=−1，由此能比较三个数的大小．【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log1
3
解：∵函数f(x)=2+1)的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），
3=−1，
0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，log1
3
3)，
∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），c=f(log1
3
∴b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆
周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A ．√3
2
B ．√2
2
C ．√3
3
D ．1
3
【分析】建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．高和底面的半径相等，得OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ，利用向量夹角公式即可得出． 解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB ＝1．
因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB ．
∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ； ∴D 为BE
̂的中点 则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB →
=（0，﹣1，﹣1），DE →
=（﹣1，1，0）， ∴cos ＜AB →
，DE →
＞=|
AB →⋅DE
→
|AB →
|⋅|DE →
|
|=1
2，
∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为π3
． ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为√3
2．
故选：A ．
【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．已知函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）（ω＞0），若函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是 A ．（1
2
，3
4]
B ．（12
，5
4
]
C ．（54
，3
2
]
D ．（54
，5
2
]
【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin （2ωx −π
4）=√2
2有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．
解：因为函数f （x ）＝sin ωx （sin ωx +cos ωx ）=12
（1﹣cos2ωx ）+12
sin2ωx =√
22
sin
（2ωx −π4）+1
2（ω＞0），
∵函数f （x ）的图象与直线y ＝1在（0，π）上有3个不同的交点； 即√2
2
sin （2ωx −π
4）+12
=1有3个根；
∴sin （2ωx −π4）=√
22
有三个根；
∵x ∈（0，π）；
∴2ωx −π
4∈（−π
4，2ωπ−π
4）； ∵2π+π
4＜2ωπ−π
4≤2π+3π4⇒54＜ω≤32
． 故选：C ．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．
11．已知点M （﹣4，﹣2），抛物线x 2＝4y ，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 做PQ ⊥l ，点Q 为垂足，过P 作抛物线的切线l 1，l 1与l 交于点R ，则|QR |+|MR |的最小值为（ ） A ．1+2√5
B ．2√5
C ．√17
D ．5
【分析】画出图形，设出P 的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR |+|MR |的最小值就是MF 的距离即可． 解：设P （m ，m 2
4
），则过P 的切线的斜率为：k =m 2，Q （m ，﹣1），k PQ =−2
m ，k PQ
＞k ＝﹣1，
根据抛物线的定义，|PF |＝|PQ |． l 1为FQ 的垂直平分线，|RF |＝|RQ |，
|QR |+|MR |的最小值为|MF |=√(−4−0)2+(−2−1)2=5， 故选：D ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．
12．已知定义在R 上的函数f （x ），f '（x ）是f （x ）的导函数，且满足xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，f （1）＝e ，则f （x ）的最小值为（ ） A ．﹣e
B ．e
C ．1
e
D ．−1
e
【分析】构造函数F(x)=
f(x)
x ，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x
2=e x ，设F （x ）＝e x +c ，即f （x ）＝xe x +cx ，又f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ，再利用导数即可求得f （x ）的最小值．
解：由xf '（x ）﹣f （x ）＝x 2e x ，构造函数F(x)=f(x)
x
，则F′(x)=
xf′(x)−f(x)
x
2=e x ， 所以可以设F （x ）＝e x +c ，即
f(x)x
=e x +c ，f （x ）＝xe x +cx ，
又因为f （1）＝e 得c ＝0，所以f （x ）＝xe x ， 由f '（x ）＝e x （x +1）＝0得x ＝﹣1，
所以当x ＜﹣1时f '（x ）＜0，即f （x ）在（﹣∞，﹣1）上为减函数， 当x ＞﹣1时f '（x ）＞0，f （x ）在（﹣1，+∞）上为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1
e ，
故选：D ．
【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数f(x)={
2x ，x ＜1
2x +1，x ≥1
，则f(f(log 23
2))= 4 ．
【分析】先求出f （log 232
）=2log 23
2=32
，从而f(f(log 23
2))=f （3
2
），由此能求出结果．
解：∵函数f(x)={
2x ，x ＜1
2x +1，x ≥1
，
∴f （log 232
）=2log 23
2=32
，
∴f(f(log 23
2))=f （3
2
）＝2×3
2
+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．已知向量a →
，b →
满足|b →
|=√2，向量a →
，b →
夹角为120°，且（a →+b →
）⊥b →
，则向量|a →
+b →
|
＝ √6 ．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得|a →
|•|b →
|cos ＜a →
，b
→
＞=−2，及|a →
|的值，而|a →
+b →
|=√(a →
+b →
)2展开可求出其值． 解：因为（a →+b →
）⊥b →
，所以（a →+b →
）•b →
=0，即a →⋅b →
+b →
2＝0，
因为|b →
|=√2，向量a →
，b →夹角为120°，整理可得−b →
2＝|a →
|•|b →|cos ＜a →
，b →
＞=−2， 即﹣2＝|a →
|⋅√2•（−1
2
），所以|a →
|＝2√2，
所以|a →+b →
|=√(a →+b →
)2=√a →2+b →
2+2a →⋅b →
=√8+2+2⋅(−2)=√6
故答案为：√6．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．
15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且c 2=a 2+b 2−√2ab ，a ＝8，sin A 2=1
3，则c ＝ 9 ．
【分析】根据c 2=a 2+b 2−√2ab 可求出cos C ，进而求出sin C ．由sin A 2=1
3可得sin A ，
最后利用正弦定理求出c 的值．
解：由c 2
=a 2
+b 2
−√2ab 得cosC =a 2+b 2
−c 2
2ab =√2ab 2ab =√22
，
∴sinC =√1−cos 2C =√
22
．
显然
A
2∈(0，π
2
)，结合sin A 2=1
3，
∴cos A
2
=√1−sin2A2=2√23，∴sinA=2sin A2cos A2=4√29．
∵a＝8，由正弦定理得a
sinA =
c
sinC
，即4√2
9
=
√2
2
，
∴c＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．
16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5√3，AB＝2√6，tan54°44′08''=√2，则此蠊房的表面积是216√2．
【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，由OB′C′
D′为菱形，可求OC′＝2•
1
2
B′D′
tan54°44′08″
=6，B′C′＝3√3，进而可求CC′，可求
S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．
解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6√2，
∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''=√2，
∴OC′＝2•
1
2
B′D′
tan54°44′08″
=2×
3√2
2
=6，B′C′＝3√3，
∴CC′＝BB′−√B′C′2−BC2=4√3，
∴S 梯形BB ′CC ′=2√6×(5√3+4√
3)2
=27√2，
∴S 表面积＝6×27√2+3×12
×6×6√2=216√2． 故答案为：216√2．
【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在等差数列{a n }中，a 1＝﹣8，a 2＝3a 4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =4
n(12+a n
)(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n =9
5，求n 的值．
【分析】（Ⅰ）先设公差为d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4，求出d ，进而求出a n ；
（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n 求b n ，再利用裂项相消法求T n ，从而解决n 的值得问题． 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是d ，由a 1＝﹣8，a 2＝3a 4得：﹣8+d ＝3（﹣8+3d ）解得d ＝2，
所以a n ＝﹣10+2n ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n ＝﹣10+2n ，∴b n =4
n(12+a n )=4
n(2n+2)=2(1
n −1
n+1)，
所以T n ＝2[（1
1
−1
2
）+（1
2
−1
3
）+…+（1
n
−
1n+1）]=
2n
n+1
， 由T n =95
解得n ＝9．
【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．
18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，PA ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√3
3，且直线AC 与PB 垂直．
（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．
【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行
（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．
证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，
因为点E为PD中点，
故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB与平面ACE平行．
（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，
所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，V p−ACB=V A−PBC=13×12×x×1×1=
1
×12×√2×√x2+12×√33，得AC＝1，
3
则V P−EAC=12V P−ACD=12×13×12×1×1×1=112．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．
19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代
入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．
（I ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；
（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：
标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计
并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为x 1和x 2，若|x 1−x 2|＞20cm ，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算x 1和x 2（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．
附：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
P （K 2≥k ）
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
【分析】（I ）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值； （Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（Ⅲ）计算x 1和x 2，求出|x 1−x 2|，即可得出结论． 解：（I ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C ， 则P （C ）＝0.08+0.16+0.36＝0.6； （Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：
标记 不标记 合计 坡腰 30 20 50 坡顶 20 30 50 合计
50
50
100
由表中数据，计算K 2=100×(30×30−20×20)2
50×50×50×50
=4＞3.841，
所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；
（Ⅲ）计算x 1=0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm ）， x 2=0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm ）， 且|x 1−x 2|＝4.8＜20，
所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．
【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题． 20．已知点F 为椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为
椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，a +c ＝3，a ﹣c ＝1，可求出a ，c 的值，再利用b 2＝a 2﹣c 2求出b 的值，即可得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，所以直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3，联立直线AM 与椭圆方程求出点M 的坐标，联立直线BN 与椭圆方程求出点N 的坐标，再利用斜率公式分别求出k 1，k 2，化简k 1•k 2=−1
4，从而得到k 1•k 2＝e 2﹣1．
解：（Ⅰ）由题意可知，{a +c =3a −c =1，解得{a =2c =1，
∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，
∴椭圆的标准方程为：
x 24
+
y 23
=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A （2，0），B （0，−√3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，
故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx −√3， 由{
3x 2+4y 2=12
y =k(x −2) 得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴2x M =16k 2
−123+4k
2
，∴x M =
8k 2
−63+4k
2
，y M =−12k 3+4k
2，
∴M(
8k 2
−63+4k
2，
−123+4k
2)
，
由{
3x 2+4y 2=12
y =kx −√3 得：(3+4k 2)x 2−8√3kx =0， ∴x N =8√3k 3+4k
2，y N
=
4√3k 2
−3√33+4k
2
，
∴N(
8√3k
3+4k
2，4√3k 2
−3√33+4k
2
)，
∴k 1=4√3k 2
−3√3
3+4k 283k 3+4k
2=√3(4k 2−2(4k 2−43k+3)， k 2=−12k 3+4k
2+√
38k 2−63+4k
2=√3(4k 2−4√3k+3)2(4k 2
−3)
， ∴k 1k 2=
√3(4k 2
−2(4k 2
−4√3k+3)•
√
3(4k 2−4√3k+3)
2(4k 2−3)
=−3
4
，
又∵e =
c a =12
， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1．
【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．
21．已知函数f(x)=2√3x −alnx −12x 2+1
2（a ∈一、选择题且a ≠0）．
（Ⅰ）当a =2√3时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；
（Ⅲ）若y ＝f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜9﹣lna ．
【分析】（Ⅰ）因为a =2√3时，f ′（x ）＝2√3−2√
3x
−x ⇒f ′（1）＝﹣1，易求f （1）
＝2√3，从而可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）由题意可知f ′（x ）＝2√3−a x −x =−x 2+2√
3−a x
（x ＞0），令﹣x 2+2√3x ﹣a ＝0，
通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；
（Ⅲ）依题意，f′（x）=−x2+2√3−a
x
=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g
（x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1
x0），
利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．
解：
（Ⅰ）因为a=2√3时，f(x)=2√3x−2√3lnx−1
2
x2+12，所以f′（x）＝2√3−2√3
x
−x，
那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2√3，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2√3=−（x﹣1），即x+y ﹣2√3−1＝0，
（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′（x）＝2√3−a
x
−x=−x2+2√3−a
x
，由﹣x2+2√3x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，
即a＜3时，有x1=√3+√3−a，x2=√3−√3−a，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，
所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，
即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．
又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．
当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，
综上所述，当a＜0时，在（0，3+√3−a），f（x）为增函数；在（3+√3−a，+∞），f（x）为减函数；
当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3−√3−a）和（3+√3−a，+∞）上为减函数，在（3−√3−a，3+√3−a），f（x）为增函数；
当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．
（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=−x2+2√3−a
x
=0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2√3，x1•x2＝a＞0，
即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2√3（x1+x2）﹣aln（x1x2）−12（x12+x22）+1＝﹣alna+a+7，
若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，
构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx−1
x
−1＝lnx−1x，且在（0，3）
上为增函数，
又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2−1
2＞0，
所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0=1
x0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜
0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+1
x0），
又因为x0∈（1，2），则x0+1
x0∈（2，
5
2
），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，
即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{
x=−1−√22t
y=2+√22t
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ= 2√2cos(α+π4)，曲线C2的直角坐标方程为y=√4−x2．
（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；
（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求AB→⋅AP→的取值范围．
【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．
（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．
解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为{x =−1−√22t y =2+√22t
（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，
曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos(α+π4)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0，转换为标准式为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2，
所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =2=√22， 所以弦长|MN |＝2√(√2)2−(22)2=√6． （Ⅱ）线C 2的直角坐标方程为y =√4−x 2．转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝4，转换为
参数方程为{x =2cosθy =2sinθ（0≤θ≤π）．
由于A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cos θ，2sin θ），
所以AB →=(−1，1)，AP →=(2cosθ−1，2sinθ)，（0≤θ≤π），
所以AB →⋅AP →=2√2sin(θ−π
4)+1，
故：−√22≤sin(θ−π4)≤1， 所以AB →⋅AP →
∈[−1，2√2+1]．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ．
（Ⅰ）求不等式f （x ）＞4的解集；
（Ⅱ）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；
（Ⅱ）易知f （x ）min ＝2，g （x ）≥|2a +2|+a ，结合题意可知2≥|2a +2|+a ，由此求得实数a 的取值范围．
解：（Ⅰ）f(x)={−3x −1，x ≤−1
x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1
，
∴f （x ）＞4即为{x ≤−1−3x −1＞4或{−1＜x ＜1x +3＞4或{x ≥13x +1＞4
， ∴x ＜−53或x ∈∅或x ＞1，
∴不等式的解集为(−∞，−53
)∪(1，+∞)； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，
由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，故f （x ）min ≥g （x ）min ，即2≥|2a +2|+a ，解得﹣4≤a ≤0，
∴实数a 的取值范围为[﹣4，0]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。