高考数学总复习 第十章 第十节二项分布、超几何分布、

第十节 二项分布、超几何分布、正态分布
1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝45
4
，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，1
4数
C ．50，34
D ．50，1
4
解析：由ξ～B (n ，p )，有E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，所以p ＝1
4
，n ＝60.
答案：B
2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N (1,52
)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
解析：由正态分布的性质可知P (X ≤0)＝P (X ≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A. 答案：A
3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )
A.3235
B.1235
C.335
D.235
解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，
n ＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝C 12C 2
13C 315＝12
35
.故选B.
答案：B
4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的
方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2
.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概
率为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125
B ．
C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123
D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12 5
解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点
(2,3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－123.故选B.
答案：B
5．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为
止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A 2
m
A 3
n
的是( ) A ．P (ξ＝3) B ．P (ξ≥2) C ．P (ξ≤3) D ．P (ξ＝2)
解析：P (ξ＝2)＝A 2m C 1
n －m A 3n ＝（n －m ）A 2
m
A 3
n
. 故选D. 答案：D
6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x 2
8()x ∈R ，则总体的平均数和标准差分
别是( )
A ．0和8
B ．0和4
C ．0和2
D ．0和 2
答案：C 7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．
解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝ C k ＋1
5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫124－k ，得k ＝2.
答案：2
8．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为65
81
，
则事件A 在1次试验中出现的概率为________．
解析：A 至少发生一次的概率为65
81
，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1－
6581＝1681＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13
. 答案：1
3
9．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1
000,502
)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．
解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502
)，
得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝1
2，
则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p )2
＝34
.
答案：3
4
10．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93
× 0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14
.
其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．
解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”
是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93
×0.1，②不正确；“他至少击中
目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14
，故至少击
中目标1次的概率是1－0.14
，③正确．故选①③.
答案：①③
11．(2013·汕头一模改编)广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对幸福级别 非常幸福 幸福 不知道 不幸福 幸福指数(分) 90 60 30 0 人数(个) 19 21 7 3
(2)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；
解析：(1)记E (x )表示这50位市民幸福指数的数学期望，
所以E (x )＝1
50
(90×19＋60×21＋30×7＋0×3)＝63.6
(2)ξ的可能取值为0、1、2、3
P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎫153＝
1125，
P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫451⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝
12125，
P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪
⎫151＝48125，
P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫453⎝ ⎛⎭⎪⎫150＝
64125
，
ξ分布列为
ξ 0 1 2 3
P 1125 12125 48125 64
125
12．(2013·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1
2
，且各件产品是
否为优质品相互独立
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．
解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有E ＝(AB )∪(CD )，且AB 与CD 互斥，
所以P (E )＝P (AB )＋P (CD )＝P (A )P (B |A )＋P (C )P (D |C )＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124
×12
＝
364
. (2)X 的可能取值为400,500,800，并且
P (X ＝400)＝1－C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝14，
所以X 的分布列为
X 400 500 800
P 1116 116 14
E (X )＝400×1116＋500×116＋800×4
＝506.25(元)．
13．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比
赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2
3
.假设各
局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．
解析：(1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，
则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (C )＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝
427
.
(2)X 的可能的取值为0,1,2,3，
则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝16
27
，
P (X ＝1)＝P (C )＝4
27
，
P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝
427，
P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝1
9
，
所以X 的分布列为
X
0 1 2 3 P 1627 427 427 19
所以E (X )＝0×1627＋1×27＋2×27＋3×9＝9
(分)．
14．(2013·湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502
)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.
(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2
)，有P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.997 4)
(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆。

公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。

若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
解析：(1)依题意μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4，所以p 0＝0.5＋1
2
P (700
＜X ≤900)＝0.5＋1
2
×0.954 4＝0.977 2.
(2)设配备A 型车x 辆，B 型车y 辆，运营成本为z 元，由已知条件得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤21，36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，
x ，y ∈N ，而z ＝1 600x ＋2 400y ，
作出可行域，得到最优解x ＝5，y ＝12.
所以配备A 型车5辆，B 型车12辆可使运营成本最小．
15．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听视觉
听觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常
听觉记忆能力
偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1
且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为2
5
.
(1)试确定a ，b 的值；
(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；
(3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．
解析：(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10＋a 人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以
上”为事件A ，则P (A )＝10＋a 40＝2
5
，解得a ＝6.
所以b ＝40－(32＋a )＝40－38＝2.
(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．
(法一)记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则
“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，
所以P (B )＝1－P (B )＝1－C 3
32C 340＝1－124247＝123
247
.
(法二)记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，
所以P ()B ＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 3
8C 3
40＝123
247
. (3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C 3
40，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记
忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k 24C 3－k
16， 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P （ξ＝k ）＝C k
24C 3－k
16
C 3
40
，k ＝0,1,2,3. ξ的可能取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝C 024C 3
16C 340＝14
247，
P (ξ＝1)＝C 124C 2
16C 340＝72
247，
P (ξ＝2)＝C 224C 1
16C 340＝552
1 235，
P (ξ＝3)＝C 324C 0
16C 340＝253
1 235
.
所以ξξ 0 1 2 3 P
14247 72247 552
1 235 253
1 235
所以E (ξ)＝0×14247＋1×72247＋2×5521 235＋3×2531 235＝2 2231 235＝9
5.(人)
16．(2013·揭阳二模)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
(1)在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；
(2)在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．
解析：(1)设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次(每次一件)，恰有两次取到二
等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为2
5
，
故P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252
×35＝36125
.
(2)ξ可能的取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝C 24C 23C 25C 25＝18100＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 25C 25＋C 24C 13C 12C 25C 25＝12
25，
P (ξ＝2)＝C 14C 13·C 12C 25C 25＋C 24C 2
2C 25C 25＝1550＝3
10，
P (ξ＝3)＝C 14C 2
2C 25C 25＝1
25
.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 950 1225 1550 125
数学期望为E (ξ)＝1×25＋2×50＋3×25
＝1.2.(件)
17．已知A 1，A 2，A 3，…，A 10等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校
的考试获得通过的概率均为1
2
.
(1)如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；
(2)假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按A 1，A 2，A 3，…，A 10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望．
解析：(1)因为该同学通过各校考试的概率均为1
2
，所以该同学恰好通过2所高校自主招
生考试的概率为P ＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫122
×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－128＝451 024
.
(2)设该同学共参加了i 次考试的概率为P i (1≤i ≤10，i ∈Z )．
∵P i
＝⎩⎪⎨⎪⎧
12i
，1≤i ≤9，i ∈Z ，1
29
，i ＝10，
ξ a 2a 3a 4a 5a 6a 7a
8a
9a
10a
P 12 122 123 124 125 126 12
7 128 129 12
9
所以E (ξ)＝12×1＋122×2＋…＋129×9＋1
29×10a ，
令S ＝12×1＋122×2＋…＋1
29×9，
则12S ＝122×1＋123×2＋…＋129×8＋1
2
10×9， 上面两式相减得12S ＝12＋122＋123＋…＋129－1
210×9，
所以S ＝1＋12＋122＋…＋128－1
2
9×9，
所以E (ξ)＝1＋12＋122＋…＋128－129×9＋129×10a ＝1＋12＋122＋…＋128＋1
29a ＝1－1
210
1－1
2
a ＝
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1210a ＝1 023512a (元)．。