(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)

一、选择题
1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
2
，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，
且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．
1
3
B ．
32
C ．
12
D ．1
2．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．33
-
B ．
33
C ．13
-
D ．
13
3．已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直
线2
a x c
=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A ．1[,1)2
B ．2[,1)2
C ．51[,1)2
-
D ． 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
4．如图，已知1F 、2F 双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上
关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112
ABF π
∠=
，则双曲线的离心率为（ ）
A 2
B 3
C 6
D 4
23
5．椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左
焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[
42
，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A
．
B ．[1 , 2]
C ．[4 8]，
D
．
6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线
2
219
x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线
()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光
线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4
3
，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =
B ．26y x =
C ．24y x =
D ．22y x =
8．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C
的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A
．B ．2
C
D
9．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22
143
x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，
AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，
2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123
111
k k k ++=（ ） A ．43
-
B ．3-
C ．1813
-
D ．32
-
10．设P 为椭圆22
:1169
x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，
125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22
182
x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．77
y x =±
B ．7y x =±
C ．55
y x =±
D ．5y x =±
12．双曲线2
214
x y -=的离心率为（ ）
A ．5
B ．3
C ．
52
D ．
32
二、填空题
13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.
14．已知双曲线22
143
x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交
于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.
15．过椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两
点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.
16．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.
17．已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与
直线3y x =-垂直，当3a b +取最大值时，双曲线C 的方程为________.
18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.
19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，右焦点为()1,0F ，三角形ABC
的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三
条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则
123
111
k k k ++=______. 20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为
()4,2，则PB PF +的最小值为________．
三、解答题
21．已知A ，B 分别为椭圆()2
22:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，
8AP PB ⋅=.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与
()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.
22．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>经过点(0
，离心率为12，左、右焦点分别为
F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；
（2）若直线l ：y ＝－1
2
x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两
点，且满足
||||AB CD =
，求直线l 的方程. 23．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）设直线2l 过点1
1,22Q ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出
λ的值；若不存在，请说明理由.
24．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.
（1）求线段AB 的长度.
（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由. 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；
（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两
点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．
26．已知P 是椭圆2
2:18
x C y +=上的动点.
（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆2
2
1
:(1)49
D x y ++=
上的动点，求PQ 的最小值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】
解：由c e a ==22222
34c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为222
44x y b +=，
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，
把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222
224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①
②
， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴
1212121241
4()422
y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为
1
2
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．
2．C
解析：C 【详解】
因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，
2
2
2
2
11
1y x my x m
+=⇒-=-, 所以
11(
)
1213
m m +-=⇒=-， 故选C.
3．C
解析：C 【分析】
取AP 中点Q ，可转化()
0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得
||FA a =，2
||a FP c c
≥-，求解即得.
【详解】
取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()
0FP FA AP +⋅=， 故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，
故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =， 且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，
由于P 在直线2a x c =上，故2
||a FP c c ≥-
即22
22110a a a a c e e c c c
≥-∴≥-∴+-≥，
解得：512e ≥或51
2
e -≤，又01e << 51
1e -≤<， 故选：C 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ． 【详解】
连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，
1
112
BFO ABF π
∠=∠=，122F F c =，则22sin
12
BF c π
=，12cos
12
BF c π
=，
∴122cos
2sin
212
12
BF BF c c a π
π
-=-=，
∴离心率为111
2
22cos sin 2cos 2cos sin 121232
12212c e a πππππ=
====⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：A ．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．
5．C
解析：C 【分析】 由题可求得2
12
12
22
ABF AF F BF F c
S
S
S
=+=
，2
2
2
2ABF EAB
EBF EAF S S
S
S
a =++=，
即可得出2a
AB c
=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】
设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，
2
12
12
112121121211
sin sin 22
ABF AF F BF F S
S
S
AF F F AF F BF F F BF F =+=
⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222
c
AF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 又22222111
222
ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
()2211
4222
AB BF AF a a =
++=⨯=, 222
c AB a
∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8a
c
⋅∈，
即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.
【点睛】
本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2a
AB c
=可求解. 6．C
解析：C 【分析】
根据中位线性质得到22111
()22
OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】
如图所示：延长1F H 交2PF 于B
12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，
在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，
⇒22111()322
OH BF PF PF a ==-==
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将21
2
OH BF =
是解题的关键. 7．D
解析：D 【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】
,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设()00,P x y 由题意有02y =
将02y =代入()2
20y px p =>得02x p
=
2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204
232
p p -=-
解得：1p =
故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】
抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，
2
p
等于焦点到抛物线
顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
8．B
解析：B 【分析】
首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】
由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是b
y x a
=
，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=
，与渐近线方程b
y x a =联立方程，解得()2b a c y a
-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22
b a
c a a a c b c -=----，
化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.
公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
9．A
解析：A 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：
11141
3t k s =-，同理可得：222
413t k s =-，333
41
3t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ， 因为A ，B 在椭圆上，
所以22
11143
x y +=，
22
22
143
x y +=， 两式相减得：
12121112121
3344y y x x s
k x x y y t -+=
=-⨯=-⨯-+， 即111
413t k s =-， 同理可得222413t k s =-，333
41
3t k s =-， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫+
+=-++ ⎪⎝⎭
因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，
所以12311144133
k k k ++=-⨯=-， 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.
10．D
解析：D 【分析】
先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】
由椭圆方程有4,3a b ==
，则c .
设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=， 由125PF PF ⋅=，得
cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==
，12
sin 13
θ∴=． 所以12PF F △的面积为1112
sin 1362213
S mn θ==⨯⨯=．
故选：D
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．11．C
解析：C
【分析】
求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．
【详解】
由题意已知椭圆的焦点坐标为(
，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c=
渐近线方程为
b
y x
a
=±，其中一条为0
bx ay
-=，
1
==，1
b=，
∴a=
∴
渐近线方程为y x
=．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222
a b c
=+，双曲线中222
+=
a b c．两者不能混淆．12．C
解析：C
【解析】
双曲线
2
21
4
x
y
-=
中，22222
4,1,5,
a b c a b e
==∴=+=∴==
本题选择C选项.
二、填空题
13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M到y轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的
解析：【分析】
设()()
1122
,,,
A x y
B x y，再表达出M的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可.
【详解】
设()()
1122
,,,
A x y
B x y，则利用中点坐标公式知1212
,
22
x x y y
M
++
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
又点M 到y 轴的距离为2，故
12
22
x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】
方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.
14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切
【分析】
设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：
21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半
径的值. 【详解】
设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，
BS BQ =，
所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，
由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得
Q ，1F 重合， 所以224TF a ==，
所以圆的半径为22tan 2AF B r MT TF ∠===
.
【点睛】
本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.
15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为： 解析：
53
【分析】
作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2
AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】
如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为
OA OF
=，所以OM AF ⊥，所以2AF
AF ⊥，
又因为12AF k =
，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33
a a
AF AF ==，
又因为2
2
22
2
AF AF FF +=，所以222
164499
a a c +=，所以2259c a =，所以53e =
. 故答案为：
5
3
.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助
几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.
16．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：
12
【分析】
由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】
设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：
则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，
又30COB α∠==︒，则1sin 2
c e a α===. 故答案为：12
【点睛】
本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.
17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次
解析：22
1
39
44
x y -= 【分析】
设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐
标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出22
3a b +=，利用三角换元思想求
得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】
设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24
x y =，求导得2x y '
=，
由于抛物线24x y =在点M
处的切线与直线y =
垂直，则
(0
12
x ⨯=-，
解得0x =，则200143x y ==，所以，点M
的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭
， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF
的斜率为1
1MF
k -
==
所以，直线l
的方程为1y x =+，该直线交x
轴于点)
1F ，223a b ∴+=，
可设a θ=
，b θ=，其中02θπ≤<，
3sin 6a πθθθ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
02θπ≤<，136
6
6
π
π
πθ∴
≤+
<
， 当6
2
π
π
θ+
=
时，即当3
π
θ=
时，a
取得最大值
此时，32
a π
==
，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为22
1
39
44x y -=. 故答案为：22
1
39
44
x y -=. 【点睛】
本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.
18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以
解析：22
13616
x y +=
【分析】
由已知可得
c =
||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点
P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.
【详解】
解：由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
因为(F -为椭圆C
的左焦点，所以c =， 因为||||OP OF =
，所以||||OP OF ==， 设点P 的坐标为(,)P m n
，则
11
422
OF n ⋅=⨯
解得n =
m =， 所以点P
的坐标为⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以
22
3664
155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，
所以椭圆的标准方程为22
13616x y +=，
故答案为：22
13616
x y +=
【点睛】
此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.
19．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查
解析：2 【分析】
求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123
111k k k ++ 【详解】 由题意可得1c =
，
2
c a =
，所以a =
1b =， 所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,2
2x x y y D ++⎛⎫
⎪⎝⎭，
由2
2112
222
12
1
2
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ， 两式作差可得
()()()()212121212
x x x x y y y y -+=-
-+，
则()2121
2121
2y y x x y y x x -+=-+-， 而1212OD y y k x x +=
+，故
11
22AB OD
k k k =-=-，即112OD k k =-， 同理可得212OE k k =-，3
12OF k k =-， 所以()123
111
22OD OE OF k k k k k k +
+=-++=. 故答案为：2 【点睛】
本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5
【分析】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知
PF PD =，进而把问题转化为
求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知
PF PD =，
所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时
PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题
21．（1）22
19x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【分析】
（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；
（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴
对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以
12
12066
y y x x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】
解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由
8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =
所以椭圆C 的方程为2
219
x y +=
（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，
设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22
990x my n
x y =+⎧⎨+-=⎩
，
得()
222
9290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，
∴12229
mn y y m -+=+，21229
9n y y m -=+，
因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，
∴
12
12066
y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即
(
)()222292609
9
m n mn n m m ---=++，解得：32
n =
直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
求定点问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
22．（1）22143x y +=；（2
）12y x =-
或12y x =-- 【分析】
（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；
（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB
，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－1
2
x ＋m ，可求得结果. 【详解】
（1
）由题设知2
221
2b c a b a c ⎧=⎪
⎪=⎨⎪=-⎪⎩
，解得a ＝2，b
c ＝1，
∴椭圆的方程为22
143
x y +=.
（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=
的距离d =
，由d ＜1
，得||m <
||CD ∴===
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,4
3y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.
||AB =∴
=
=
由||||AB CD =
1
，解得m =，满足(*). ∴直线l
的方程为12y x =-
+
或12y x =-. 【点睛】
关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.
23．(1)24y x =，(1,2)；(2)
83. 【分析】
(1)将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立消去y ，根据直线与抛物线相切，由0∆=即可求出p 及点P 的坐标；
(2)根据题意可设直线2l 的方程为1
1()22
x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线2l 与抛物线方程联立消去x ，由根与系数的关系求出12y y +和12y y ，求直线PA ，PB 的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值.
【详解】
(1)由212y x y px
=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=， 因为直线1l 与抛物线C 相切，所以2(22)40p ∆=--=，解得2p =，
故抛物线C 的方程为24y x =.
将2p =代入2(22)10x p x +-+=，得2210x x -+=，解得1x =，所以2y =, 所以P 的坐标为(1,2).
(2)由题意可设直线2l 的方程为1
1()22
x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由211()224x m y y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩
，得24220y my m --+=，
22164(22)16880m m m m ∆=--+=+->，解得1m <-或12m >
， 所以124y y m +=，1222y y m =-+， 又1111111222(2)11123()122
y y y k x my m m y ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-， 所以[]12121222
121212243(1)()4(3)2(2)2(2)232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m -++----=+=+-+-+-++-λ =[]222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3
m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+， 故存在实数83λ=
满足条件. 【点睛】
思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决．
24．（1）8；（2）是，定值为2.
【分析】
（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；
（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值.
【详解】
（1）可得3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线的倾斜角为
60
则直线方程为32y x ⎫=-
⎪⎭
， 设()()1122,,,A x y B x y ，
联立直线与抛物线2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩
可得242090x x -+=， 则121295,4
x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；
（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，
设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，
把3x my =+代入26y x =得26180y my --=
∴126y y m +=，1218y y =-， ∴12121312123366
y t y t y t y t k k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()
1221126666y t my y t my my my -++-+=
++ ()()()1212212122612636
my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++ ()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，
26
t k =-，132k k k μ+=， 36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭
，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0， 2μ∴=，即μ为定值2.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；
（5）代入韦达定理求解.
25．（1）24y x =；（2）2.
【分析】
（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；
（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得
24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．
【详解】
（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以
12
p =，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；
（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，
由题意直线AB 斜率存在且不为0，
设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，
由()2412
y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k
+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =， 则1121112241214
PA y y k y x y --=
==-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244
PA PB PA PB y y PF
PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424
244y y y y k k -+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2.
【点睛】
思路点睛：
求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理. 26．（1）14-
；（
2）17
. 【分析】
（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；
（2
）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.
【详解】
（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，
因为21122x x +=⨯=，211212y y +=
⨯=， 所以212114
PA y y k x x -==--. （2
）设(,)(P x y x -≤≤，则2
218
x y +=，圆心(1,0)D -， 则222222786||(1)(1)18877
x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭， 当87x 时，PD
7=. 因为圆D
17=. 所以PD
的最小值为
11777
-=. 【点睛】 解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所
在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020
y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2
020y b k x a
⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。