全称命题和特称命题的否定

注意：1.全称命题的否定是特称命题．因为
要否定全称命题“ ∀x∈M ， p(x) 成立”，只需
在 M 中 找 到 一 个 x ， 使 得 p(x ) 不 成 立 ， 也 即
“∃x0∈M， ¬p(x0)成立”．
2．要证明一个全称命题是假命题，只需举
一个反例．
3．有些全称命题省略了量词，在这种情况下， 千万不要将否定写成“是”或“不是”，如第(4)
的”．
对省略量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全 称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称 命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命 题．如：|x|≥0，实际上是指：∀x∈R，|x|≥0 其否定为：∃x∈R，|x|<0
概念理解
1．命题：“∀x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定 是( ) A．∀x∈R，都有 x2－x＋1≤0 B．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1>0 C．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1≤0 D．以上均不正确
2.特称命题的否定：
一般地，对于含一个量词的特称命题的否定， 有下面的结论：特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的 否定綈p：∀x∈M， ¬ p(x)．特称命题的否定是全称 命题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的
否定为“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，
把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有
[解 ]
π 由于 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ )∈[－ 2， 2]，所 4
以如果对任意的 x∈R， r(x)为假命题， 即对任意的 x∈R， 不等式 sinx＋cosx>m 恒不成立， 所以 m> 2.又对任意的 x∈R，s(x)为真命题，即对任意的 x∈R，不等式 x2＋ mx＋1>0， 所以 Δ＝m2－4<0， 即－2<m<2.故如果对任意 的 x∈R，r(x)为假命题且 s(x)为真命题，应有 2<m<2.
命题．
跟踪练习
1. 写出下列特称命题的否定： (1)∃x0∈R，|x0＋1|≤1； (2)∃x0∈R，x2 0＋3x0－4≤0.
解： (1) ¬ p：∀x∈R，|x＋1|>1； (2) ¬ p： ∀x∈R，x2＋3x－4>0.
例题讲解
类型三、两种命题的综合 [例 3] 写出下列命题的否定，并判断真假．
解析：根据全称命题的否定是特称命题， 特称命题的否定是全称命题可知，选项D中，p
的否定应为： ¬ p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
答案：D
例题讲解
类型四、求参数的取值范围 [例4] 若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋
1>0，如果∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题， 求实数m的取值范围．
人教A版 ·数学
选修 2-1
3.3全称命题与特称命题的否定
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第一章
常用逻辑用语
二、 含有一 个量词的命题 的否定
新课讲解 1．全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定， 有下面的结论：全称命题 p ： ∀x∈M， p(x)，它的否 定 綈 p ： ∃ x0∈M ， ¬ p(x0) ．全称命题的否定是特称 命题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为 “至少存在一个正方形不是矩形”．其中，把全称 量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．
x
1 2 · x＝－2 2
x
∴m≤－2
答案：C
答案：对于任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
4 ． 命 题 “ ∀ x∈R,3x2 － 2x ＋ 1>0” 的 否 定 是
__________．
答案：∃x∈R,3x2－2x＋1≤0
5．写出下列命题的否定．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)∀x∈R，x2－2x＋1≥0；
(3)有些实数的绝对值是正数；
例题讲解
类型二、特称命题的否定 [例 2] 写出下列特称命题的否定：
2 (1)p：∃x0>1，使 x0 －2x0－3＝0.
(2)p：若 an＝－2n＋10，则∃n0∈N，使 Sn0<0. (3)p：a、b 是异面直线，∃A0∈a，B0∈b， 使 A0B0⊥a，A0B0⊥b.
[解 ]
(1) ¬ p：∀x>1，x2－2x－3≠0.
小题，将否定写成“负数的平方不是正数”就错
误了，因为这个命题也是全称命题，是假命题．
跟踪练习
1.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)任何一个素数是奇数． (2)所有同学学习都很努力． (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解． (4)可以被5整除的整数，末位是0.
解： (1) 是全称命题，其否定为：存在一个
素数，它不是奇数，因为 2 是素数，而不是奇
数，所以其否定是真命题．
(2) 是全称命题，其否定为：有的同学学习
不努力。
(3)是全称命题，其否题．
(4)是全称命题，其否定为：存在被5整除的
整数，末位不是0，因为15能被5整除，其末位
为5，因此其否定是真命题．
跟踪练习
1.已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使 4x＋2xm＋1＝0”．若命题¬ p是假命题，则 实数m的取值范围是( A．－2≤m≤2 C．m≤－2 )
B．m≥2 D．m≤－2或m≥2
解析：¬ p 是假命题，则 p 是真命题， 由 4x＋2xm＋1＝0 得， 1 m＝－(2 ＋ x)≤－2 2
[解 ]
(1)是全称命题且为真命题．
¬ p：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角
形且它的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．
¬ p ：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是全称命题且为真命题．
¬ p ：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(4)是全称命题且为真命题．
¬ p ：某个负数的平方不是正数．
(4)∃x∈R，x2＋1<0.
解：(1)否定：有的矩形不是平行四边形．
(2)否定：∃x∈R，x2－2x＋1<0.
(3)否定：任意实数的绝对值都不是正数．
(4)否定：∀x∈R，x2＋1≥0.
例题讲解
类型一、全称命题的否定 [例1] 判断下列命题的真假，并写出这些
命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)任何一个平行四边形的对边都平行； (4)负数的平方是正数．
(1)p：对任意的正数 x， x>x－1； (2)q：三角形有且仅有一个外接圆； (3)r：存在一个三角形，它的内角和大于 180° ； (4)s：有些质数是奇数．
[解] (1) ¬ p：存在正数 x，使 x≤x－1，真命题． (2) ¬ q：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆 或没有外接圆，假命题． (3) ¬ r：所有三角形的内角和小于或等于 180° ，真命 题． (4) ¬ s：所有的质数都不是奇数，假命题．
跟踪练习
1.对下列命题的否定，说法错误的是( A．p：能被3整除的整数是奇数 )
¬ p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：每一个四边形的四个顶点共圆
¬ p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：有的三角形为正三角形
¬ p：所有的三角形都不是正三角形
D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
¬ p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R
答案：C
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(
A．不存在x0∈R,2x0>0
)
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0 解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题． 答案：D
3．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否
定是________．
(2) ¬ p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，有Sn≥0.
(3) ¬ p：a、b是异面直线，则∀A∈a，B∈b，有 AB不与a垂直，或不与b垂直． [ 点评 ] 特称命题“ ∃ x0∈M ， p(x0)” 的否定是
“ ∀ x∈ M ， ¬ p(x)” ．遇到“且”命题否定时变为 “或”命题，遇到“或”命题否定时，变为“且”