20142015西城高三第一学期期末数学(理)试题及答案

北京市西城区2014—2015学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科）2015.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．设集合1,0,1{}A -=，2
{|2}B x x x =-<，则集合A B =I （ ） （A ）{1,0,1}-
（B ）{1,0}-
（C ）{0,1}
（D ）{1,1}-
3．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A 为锐角，2a b =
，sin B =，则（ ） （A ）3
A π= （
B ）6
A π=
（C
）sin 3
A =
（D ）2sin 3
A =
4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ） （A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b
5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
8. 设D 为不等式组1,
21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于
区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅u u u r u u u r
≤成立，则a b +的最大值等于（ ）
（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）3
6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A
（B ）最长棱的棱长为3
（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形
7. 已知抛物线2
:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得
90OQP
?o ，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4) （D ）(8,)+?
侧(左)视图
正(主)视图
俯视图
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i
12i
z -=+，则||z = _____．
10．设12,F F 为双曲线C ：22
21(0)16x y a a -
=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.
11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．
12．如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ， 且2AC AE =，那么AF
AB
=____；A ∠= _____．
13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目 之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______.（用数字作答）
14．设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转θ（02θπ<<）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数()cos cos 442
x x x
f x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.
16．（本小题满分13分）
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：
（2）购买基金：
（Ⅰ）当4
p =
时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
4
5
，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =
，1
6
q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=o ，BC AD //，且
122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .
（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；
（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.
18．（本小题满分13分）
已知函数2
()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同. （Ⅰ）若点P 的坐标为1
(,1)e
-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
11612
x y +
=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件
||
||
FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||
S PM S PN =.
B C
D
A B 1
C 1
E F
A 1 D 1
20．（本小题满分13分）
设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=L （其中1a 是个位数
字，2a 是十位数字，L ），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++L . 并规定(0)0A =．记
10()n A n =，21()n A n =，L ， 1()k k n A n -=，L ．
（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；
（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．1 10．22
1416x y -=
11．174
12．12 π
3
13．96 14．13 注：第10，12题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解
：因为()cos cos 442x x x
f x =+
cos 22x x
=+ ……………… 2分
=π2sin()26
x +， ……………… 4分
所以 2π
4π12
T =
=. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分
由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π
4π4π+33
k x k -≤≤，
所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π
[4π,4π+],()33
k k k -∈Z . (9)
分
（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x
由题意，得33π4
T
AC =
=，2=BC ，所以2
tan 3π
BC BAO AC ∠==
. ………… 13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以p +1
3
+q =1. ……………… 2分
又因为1
4
p =， 所以q =
5
12
． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分
则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1
()2
P A =
，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111
(1
)2
22
p p p =?+
?? 1122
p =
+. ……………… 6分
因为114()225P C p =+>，
所以3
5
p >. ……………… 7分
又因为1
13
p q +
+=，0q ≥， 所以23
p ≤.
所以3253p ≤<. (8)
分
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：
万元），
所以随机变量X 的分布列为：
X 4 0
2- P
12 18
3
8
…………… 9分
则1135
40(2)2884
EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量Y 的分布列为：
Y
2 0
1-
P
12
13
16
…………… 11分
则1115
20(1)2366
EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分
因为EX EY >，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…… 13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，
所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .
又因为平面ABCD I 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D I 平面11A ECF A F =， 所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，
所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分
B C
A 1 D 1
D
A B 1 C 1 E F x y
z
M
（Ⅱ）解：因为1
AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=o ，
所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分
则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1
,0,2)A E =-u u u r ,1(2,1,2)AC =-u u u r . 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z =u r
由10A E m ⋅=u u u r u r ，10
AC m ⋅=u u u r u r , 得20,
220.
x z x y z -=⎧⎨
+-=⎩
令1z =,得(2,2,1)m =-u r
. …………………7分
又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =r
， (8)
分
所以1
cos ,3
||||m n m n m n ⋅<>==⋅u r r
u r r u
r r ， 由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，
所以二面角1A EC D --的余弦值为13
. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,
因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,
所以11111113
B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分
1222323
FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为
4
3
. (14)
分
18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e e
a b
f =-=-， …………………1分
且()2f x ax b '=-，1
()g x x
'=， …………………3分
由已知，得11()()e e
f g ''=，即
2e e
a
b -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x
'=
， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,
由题意，得 2ln as as s -=， ① 1
2as a s
-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =
-，其中1
2s ≠，
代入①，得 1
ln 21
s s s -=-. （*） (7)
分
因为 1
0(21)
a s s =>-，且0s >，
所以 1
2
s >
. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1
(,)2x ∈+∞， 则 2
(41)(1)
()(21)x x F x x x ---'=-. (9)
分
令()0F x '= ，解得1x =或1
4
x =
(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，
()F x '
+ 0 -
()F x
↗
↘
…………………12分
所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1
(,1)(1,)2
x ∈+∞U 时()0F x <.
因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，
因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612
x y +=，
所以 4a =,23b =,222c a b =-=, ………………2分 则 1
2
c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为
||21
||42
FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分
若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),
2(,112162
2x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分
可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3
448162
221+-=k k x x . ……………… 8分
因为 8
)
2(8)2(8822112211--+
--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分
)8)(8()
8)(2()8)(2(211221----+--=
x x x x k x x k
)
8)(8(32)(102212121--++-=
x x k
x x k x kx
0)
8)(8(32341610344816221222
2=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，
所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分
因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11
||||sin 2
S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21
||||sin 2
S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分
所以
12||
||
S PM S PN =
. ……………… 14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，
5141832n =+=，6181432n =+=，……
所以 201532n =． (3)
分（Ⅱ）证明：因为函数2981
()(9)()24f x x x x =-=--+
，
所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++L ，
所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分
令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．
当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．
所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分
（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．
(14)
分。