江苏省宿迁市宿豫中学届高考数学(二轮复习)专题检测：不等式选讲.docx

高中数学学习材料
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46 不等式选讲
1．(2014·重庆改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12
a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；
当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52
，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12
]． 2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；
(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．
解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，
其图象如图所示，由图象可知，
当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，
∴原不等式的解集是{x |0<x <2}．
(2)∵a >－1，则－a 2<12
， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－a 2a ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2
≤x <124x ＋a －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12
当x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43
， ∴a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－1，43. 3．(2013·福建)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12
∉A ， (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．
解 (1)因为32∈A ，且12
∉A ， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32
.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，
所以f (x )的最小值为3.
4．(2014·课标全国Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .
(1)求a 3＋b 3的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab
，得ab ≥2， 且当a ＝b ＝2时等号成立．
故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，
且当a ＝b ＝2时等号成立．
所以a 3＋b 3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.
由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.
5．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；
(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．
解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.
由此可得x ≥3或x ≤－1.
故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．
(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.
此不等式化为不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧
x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}． 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 6．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2
的最小值． 解 由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，①
得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425
. 不等式①中当且仅当x 3＝y 4时等号成立，x 2＋y 2
取得最小值，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＝2，
x 3＝y 4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝625，y ＝825. 因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425. 7．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2
＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .
由题设得(a ＋b ＋c )2
＝1，
即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.
所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a
＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a
＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥1. 8．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．
(1)证明 由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥ ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2. 所以f (x )≥2.
(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a
， 由f (3)<5，得3<a <5＋212
. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a
， 由f (3)<5，得1＋52
<a ≤3. 综上，a 的取值范围是(1＋52，5＋212
)．
9．已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围．
解 由柯西不等式知
[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2]
≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2
即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2
又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6，
∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2，
∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，
∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立．
∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5.
∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}．
10．(2014·福建)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .
(1)求a 的值；
(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.
(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|
＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，
所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.
(2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3，
又因为p ，q ，r 是正实数，
所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.
11．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .
(1)求M ；
(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.
(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，
2x ，x >1.
当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；
当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4；
当x >1时，由2x <4，得1<x <2.
∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2,2)．
(2)证明 ∵a ，b ∈M ，即－2<a <2，－2<b <2，
∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2
)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，
∴2|a ＋b |<|4＋ab |.
12．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，并说明等号成立的条件．
解 因为a ，b ，c 均为正实数，
所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1
a ＋
b ，
当且仅当a ＝b 时等号成立；
12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2b ＋1
2c ≥1
2bc ≥1
b ＋
c ，
当且仅当b ＝c 时等号成立；
12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2c ＋1
2a ≥1
2ca ≥1
c ＋a ，
当且仅当a ＝c 时等号成立．
三个不等式相加，得
12a ＋12b ＋12c ≥1
b ＋
c ＋1
c ＋a ＋1
a ＋
b ，
当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。