圆的综合证明型问题专题复习

第18讲 圆的综合证明问题专题复习

【知识点睛】

第一问常考考点——切线

1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！

无切点，作垂直，证半径！

☆特别地：

题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”

2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！

因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题

考题常见结合考点

1.知2得

1：2.三角形相似：3.Rt △勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！

4.三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；

特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt △

5.特殊角：

常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、

正切值=½ / ⅓ / ¾ 等的角度。

☆特别地：题目中没给角度（90°、180°除外），又要求角度时，答案一般为特殊角！

另：6.弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法

常用公式：问关联“切线”

常用于第得知等腰△平行线角平分线112⇒⎪⎭

⎪⎬⎫进而求长度例常因相似得对应边成比结合的可能性最大母子△相似字相似字、△相似⇒⎪⎭

⎪⎬⎫8A Rt ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒→︒︒→︒︒→︒︒︒︒→︒亦可得）

型等腰△（圆心角为：推亦可得）

△（圆心角为推等腰亦可得）推等边△（圆心角为的等腰△、、推当圆周角为12031:1609045603075753015Rt Lr r n S r n L 2

13601802===ππ扇形

常用辅助线

①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径

②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3

——或做两条弦心距，构造矩形或正方形

③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题

【类题讲练】

1．（2020春•拱墅区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2．

（1）求AD的长度和四边形ACBD的面积；

（2）证明：2AD2＝AC2+BC2．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．

（2）利用勾股定理证明即可．

【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

由勾股定理得，AC＝＝4，

∵∠ACB的平分线交⊙O于D，

∴＝，

∴AD＝BD＝×AB＝3；

∴四边形ACBD的面积＝×AD×BD+×BC×AC＝9+4．

（2）证明：∵∠ADB＝∠ACB＝90°，AD＝DB，

∴2AD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，

∴2AD2＝AC2+BC2．

2．（2019秋•婺城区期末）如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O 的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．

（1）求证：GC∥AE；

（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．

【分析】（1）连接OC，交AE于点H．根据垂径定理得到OC⊥AE．根据切线的性质得到OC⊥GC，于是得到结论；

（2）根据三角函数的定义得到sin∠OCD＝sin∠EAB＝．连接BE．AB是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OC，交AE于点H．

∵C是弧AE的中点，

∴OC⊥AE．

∵GC是⊙O的切线，

∴OC⊥GC，

∴∠OHA＝∠OCG＝90°，

∴GC∥AE；

（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，

∴OC⊥AE，

∵CD⊥AB，

∴∠CHF＝∠FDA＝90°，

∵∠CFH＝∠AFD，

∴∠OCD＝∠EAB．

∴．

在Rt△CDO中，OD＝3，

∴OC＝5，

∴AB＝10，

连接BE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°．

在Rt△AEB中，

∵，

∴BE＝6，

∴AE＝8．

3．（2020秋•鄞州区期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝BC＝4，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AC＝4AE时，求阴影部分弓形的面积．

【分析】（1）连接OD，BD，由圆周角定理得到∠BDC＝90°，等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ABD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；

（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OD，BD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∵AB＝BC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠ODB＝∠ABD，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，

∴AD＝CD，

∵AC＝4AE，

∴AD＝2AE，

∵∠AED＝90°，

∴∠ADE＝30°，

∴∠A＝60°，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴∠COD＝60°，AD＝CD＝AB＝2，BD＝AB＝2，

∴阴影部分弓形的面积＝﹣BD•CD＝﹣．

4．（2021•涪城区模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为

AB上一点，以BD为直径作⊙O，CD与⊙O交于点E，延长AE与BC

交于点F，且CF＝BF．

（1）求证：AF与⊙O相切；

（2）若AB＝8，BC＝12，求⊙O半径．

【分析】（1）连接OE，BE，根据直径所对圆周角是90度可得△CBE是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FE＝FB，又根据半径OE＝OB，可得∠OEF＝90°，进而可得AF与⊙O相切；

（2）根据结合（1）和勾股定理可得AF的长，从而可得AE，AO，再根据勾股定理列出方程，