1996第十三届 全国 初中数学联赛(含答案)

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1996第十三届全国初中数学联赛
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．实数a ，b 满足1ab =，记1111M a b =
+++，11a b
N a b
=+
++，则M ，N 的关系为（ ） A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．不确定
2．设正整数a ，m ，n 242a m n -=，则这样的a ，m ，n 的取值（ ）
A ．有一组
B ．有二组
C ．多于二组
D ．不存在
3．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，2OA =，AB 是圆O 的切线，
B 是切点，弦B
C OA ∥，连结AC ，则阴影部分的面积等于（ ）
A ．
2π
9
B ．
π6
C ．
π3
6+
D ．
π3
6-
4．设1x ，2x 是二次方程230x x +-=的两个根，那么32
12
419x x -+的值 等于（ ）
A ．4-
B ．8
C ．6
D ．0
图 1
O
C
B
A
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5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有（ ）
A ．4个
B ．8个
C ．12个
D ．24个
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数0x ，0y 是方程组1||1
y x
y x ⎧
=
⎪⎨⎪=+⎩的解，则00x y +=__________． 2．如图2，在ABC △中，AB AC =，ABN MBC ∠=∠，BM NM =，BN a =，则点N 到边BC 的距离等于________．
3．设333199519961997x y z ==，0xyz >，
且3333333199519961997199519961997x y z ++=，
则
111
x y z
++=________． 4．如图3，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60︒至
AB C D '''的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是_________．
第二试
一、（本题满分20分）
图 2
N
M
C
B
A 图 3
D'C'
B'
D
C
B
A
3
某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(911145)m n m n ⋅+++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．
二、（本题满分25分）
设凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点为M ，过点M 作AD 的平行线
分别交AB ，CD 于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心OM 为半径的圆上一点（位置如图4所示），求证：OPF OEP ∠=∠．
三、（本题满分25分）
已知a ，b ，c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A ，B
到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．
1996第十三届全国初中数学联赛
解 答
第一试
图 4
O
P
M
F E
D C
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一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．B
【解析】 1111b a
M a b b ab a ab
=
+=+
++++， 又由1ab =，得到11
b a M N b a =
+=++． 选B ．
【点评】 这道题不能一上来就通分计算，观察出N 的分子有a b ，，所以把M 上下同乘以b a ，，再利
用条件化简．
2．A
【解析】 解法一：
将原式两边平方得到2422a m n mn -=+-
由于a m n ，，都是正整数，所以28a m n mn =+=，．
又m n >，仅当81m n ==，时a 为正整数．
所以共有1组解，选A ．
【点评】 这道题的方法比较明显，两边平方就可以，关键要小心的是隐藏条件m n >.
3．B
5
【解析】 如题图连结OB OC ，，因为BC 平行于OA ，所以OBC ABC S S =△△．
从而阴影部分面积即为扇形OBC 的面积；
又因为AB 为圆的切线，所以OB 垂直AB ，在Rt AOB △中，21AO OB ==，，所以
60AOB ∠=︒．
故60BOC ∠=︒．
因此扇形面积为：21π
π166
⨯⨯
=． 故选B ．
【点评】 注意同底等高的三角形的面积相等，在做面积的时候可以利用它来转化成其他的面积来求．
4．D
【解析】 由题意得22112
23030x x x x +-=+-=，，即22
112233x x x x =-=-，． 代入到()()()()32
12
1121121241934319334744x x x x x x x x x x -+=---+=--++=++． 再由韦达定理知121x x +=．
所以原式440=-+=．
故选D ．
【点评】 这是一道综合性较强的一元二次方程的题目，只其中要用到根的定义及韦达定理，化简得过
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程中需要仔细观察，用最简便的方法．
5．A
【解析】 我们首先要了解各种三角形的面积的算法，正弦公式，底乘高公式以及利用三角形内切圆半
径来计算三角形的面积公式．
如果内切圆的半径为r ，三角形的周长为l ，则三角形的面积为：
1
2
S r l =⨯⨯．
如图6：上面一部分的面积为()1
2
r AD AE ⨯⨯+，
下面一部分的面积为()1
2
r BD CE BC ⨯⨯++,
由于直线m 分三角形周长为两半，即BD CE BC AD AE ++=+，
所以上下两部分的面积相等，因此直线m 过内心．
故选A ．
【点评】 对于这道题来说，首先是要从面积的方法去猜想这道题与内心有关，然后是假设直线过内心，
这样很容易得出结论．
m I
E
D C
B
A
7
6．C
【解析】 设正k 边形满足条件，则除去k 个顶点外的20k -个点均匀的分布在正k 边形各边所对的劣弧
上，则有：
于是
2020
1k k k
-=-是整数，故k 能整除20，同时3k ≥． 所以4k =或5或10或20，
故所求正多边形的个数为
20202020
12451020
+++=． 故选C ．
【点评】 本道题关键是要确定正多边形所要满足的条件．
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
15
【解析】 1
1y y x x
==+，，
很显然应该联立两式，消去y 可得：
1
1x x
=+． 由于0x ≠，以下分两种情况讨论：
当0x >时，方程变为
1
1x x
=+，即210x x +-=，解方程可得：
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005151
0x x ⎫---=
=<⎪⎪⎝⎭
舍去， 051y +=
当0x <时，方程变为
1
1x x
=-+，即210x x -+=，方程无实根． 综上所述，005151
5x y -++=
= 【点评】 碰到有绝对值的方程的时候，首先应该消去绝对值，一般情况下消去绝对值的时候都要找出
绝对值的零点分情况讨论．同时，应该注意的一点是在一种情况下得出的解必须要带到条件里面去检验，如题中的第二解就不符合条件，应该舍去．
23
【解析】 本题考查的是三角形角度计算的知识，要求点N 到边BC 的距离，首先我们做ND 垂直于BC ，
且交BC 边于D ，设ABN MBC α∠=∠=，
∵BM NM =，
∴MBN BNM ∠=∠．
若令MBN β∠=，则：1802C βα∠=--．2C B βα∠=∠=+， ∴18022βαβα--=+，即：()()318060αβαβ+=︒⋅+=︒．
所以：3
sin 60ND a =︒．
9
【点评】 对于本题来说，由于本文所给出的条件都是线段的相等，而只给出了一条线段的长度，要求
另外的一条线段的长度，显然应该通过角度的计算得出确定的值，再利用三角形中两条线段的关系和相应的三角函数知识就能得出本题的结果．
3．1
【解析】 设333199519961997x y z k ===，显然0k ≠，所以：
333199519961997k k k x y z =
==，，，
带入方程可得：33
3
333
k k k k k k x y z x y z ++=+． 即：3
3111111k k x y z
x y z ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
． ∵0k ≠，
∴111111x y z x y z
++++． 由已知可得0x >，0y >，0z >，
∴
111
1x y z
++=. 【点评】 由于题中多次出现1995，1996，1997，用换元法去代替它们可使计算简便，同时应该用题
目所给出的等式来构造出我们应该求的
111
x y z
++，然后再通过进一步的计算求出结果．
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4．23-【解析】 如图，过B '作MN 平行于AD ，分别交AB CD ，于M N ，两点，设B C ''交CD 于K ，
则3
sin 60B M AB ''=⋅︒， ∴31B N '=，1
2
AM =．
同时有：Rt Rt AKB AKD '△≌△，
∴15KAB KAD '∠=∠=︒，AD AB '=，
故可得：75ADB '∠=︒，15NDB '∠=︒,
从而Rt DB N '△和Rt AKD △，
∴
DK AD NB DN
=
'， AD AD
DK NB NB DN AM
'
'
=， 3112312
⎛⨯ ⎝⎭=
=-． 所以重叠部分的面积为：(1
22123232
ADK S S ==⨯⨯⨯=△．
【点评】 对于含有正方形，正三角形的几何题来说，一个是要充分的利用图形中的角相等以及边相等，
同时，要注意一些特殊角的三角函数值，作辅助线的时候也应该多考虑作平行以及垂直，构造全等以及特殊度数的角．
N
M
K
A
B C D
B'
C'
D'
11
第二试
一、
【解析】 根据题意甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数
相等有119m n +=+整除911145mn m n +++，而()()91114511946mn m n m n +++=+++，
所以119m n ++，都整除46，119m n +=+．
又m n ，是正整数所以：
只可能11923m n +=+=，或者11946m n +=+=．
即：1314m n ==，或3537m n ==，．
1314m n ==，时，捐款总数()()911145119462323462325mn m n m n +++=+++=⨯+=⨯，
所以每人捐25元．
3537m n ==，时，
捐款数()()911145119464646464647mn m n m n +++=+++=⨯+=⨯，
所以每人捐47元．
综上可知，每人捐款数为25元或47元．
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【点评】 这是一道应用题，作应用题首先要读清楚题，然后将已知条件转化为代数条件，在对代数条
件进行分析求解，对于本题来讲解题的方法并不复杂，弄清题意更显关键．
二、
【解析】 如图，延长AD 与BC 相交于K ，
由于OM 平行于AK ，
∴
OF CO OM
DK CK AK
==
． 故
OM AK
OF DK
=
． 由于OE 平行于AK ，
∴
OE BO OM
AK BK DK ==
． 故
OE AK
OM DK
=
． 所以有：
OM OE
OF OM
=
． 因为P M ，在圆O 上，所以OP OM =，得：
OP OE
OF OP
=
． 又∵POF EOP ∠=∠．
所以POF △相似于EOP △．
∴OPF OEP ∠=∠．
K
C D
E
F M P
O
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【点评】 通常穿过一个三角形的平行线会导致很多的角相等，很多的三角形相似，要清楚地了解各个
角的对应关系，各个边的对应关系，同时要搞清楚相应线段的比例关系，能利用这些复杂的关系求出要求的线段之间的关系．
三、
【解析】 由a b c ，，都是正整数知道：120b x x a
+=-<．
120c
x x a
=
>． 所以两根都是负数，又由两个点到原点距离小于1．得到1210x x -<<，． 由于0a >，抛物线开口向上，所以从图象中可以看到()()0010y y >->，．
即00c a b c a c b >-+>⇒+>，，
a b c ，，是正整数进而有1a c b +-≥．
又由于两根不等所以判别式240b ac ->，即2b bc >．
联合上两式有21a c ac +>．
1112a c ++=．
所以4a a ，≥最小为5．
而2b ac >41a c ，≥≥．
所以4
>，最小为5，
b b
当551
，，时经检验，符合题意，
===
a b c
∴11
a b c
++=最小．
【点评】这道题的解法比较复杂，关键是用好给出的二次函数与x交点在10
-，之间，由此得出
a b c
，，的不等关系，将所有的条件用上，可在不等中消去b，从而得到突破口，求出a的最小值，结下来的计算就很容易了．
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