_定积分定义

（ 3 ） 当 函 数 在 区 间 上 的 定 积 分 存 在 时 ， f ( x ) [ a , b ]
称 在 区 间 上 可 积 . f ( x ) [ a , b ]
（4）函数 f ( x ) 在区间[a , b]上可积，则 f ( x ) 在区间[a , b]上一定有界。
三、存在定理
f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
a x x x x b , 令 x x x ,任取 0 1 2 n i i i 1
[ x ] ,只要 max { x } 0 时 f ( i ) xi i i,x i 1 i
1 i n
b
n
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f ( x) 在区间
A ?
a b x
x b 所 围 成 .
o
解决步骤： 1) 分割.
在区间 [a,b]内插入若干个分点， a x0 x xn1 xn b, 1 x 2
把区间 [a, b] 分成n 个小区间 [ xi1, xi ] ， 长度为 xi xi xi1;
y
在每个小区间 [x i 1, x i] 上任取一点 ， i
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
f(x ) dx A曲边梯形的面积 a
的负值
b
b
A1
A2
A3
A4
f ( x ) dx A A A A 1 2 3 4 a
b
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b之间的各部分面积的代 数和． 在x 轴上方的面积取正号； 在x 轴下方的面 积取负号．




例如,根据定积分的几何意义,可直接写出一些定 积分的值: (利用画图)
1

b a
1d x b a
2

a
a
a x d x
2 2
a 2
3

2
0
c o sxd x 0
例1. 利用定义计算定积分
1 将 [0,1] n 等分, 分点为 xi
y
( i 0 , 1 , , n )
i , x 1 ( 1 , 2 , , n ) 取 i n i n i 2 i 2 o 则 f ( ) x x i i i i n3
yx
2
i n
1x
1 n 2 11 ( n 1 )( 2 n 1 ) f (i )xi 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1
解: 原式
1 2 ( n 1 ) n lim sin sin sin sin n n n n n n
n 1 i 1n i sin lim sin lim n n n n n n i 1 i1
b
n
积分和
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a,b] 积分区间
注意：
而 与 积 分 变 量 的 字 母 无 关 .
（ 1 ） 积 分 值 仅 与 被 积 函 数 及 积 分 区 间 有 关 ，
a f (x)dx a f (t)dta f (u)du
b
b
b
（ 2 ） 定 义 中 区 间 的 分 法 和 取 法 是 任 意 的 . i的
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
解决步骤：
[T 区间任意插入分点 : (1)分割：在 1, T 2]
T t t t t t T 1 0 1 k 1 k n 2
n
1 1 1 ( 1 )( 2 ) 6 n n
y
x d x lim
0
12
n
0 i 1
2 x i i
y x2
1 1 lim 1( 1 )( 2 ) n 6 n n 1 3
o
i n
1x
[ 例 2 ] 证明 Dirichlet 函数
1 x 为有理数 D (x ) 在 [ 0 ,1 ] 上不可积 0 x 为无理数 n [ 证] 任 [ 0 给 ,1 ] 的一个 x 划 分 k k 0
12
n
n
v ( i ) ti 路程的精确值 slim
0 i 1
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似替换 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
二、定积分定义 ( 黎曼积分定义P225 )
任一种分法 [ a ,b ] 的 设函数 f ( x ) 定义在 [ a , b ] 上 ,若对
将 [ T , T ] 分成 n 个子区 [ t , t ] ( k 1 , 2 , , n ) 1 2 k 1 k
(2) 近似：
部分路程值
n
s v ( ) t i i i
某时刻的速度
（3）求和
（4）取极限
s v(i ) ti
i1
max{ t , t , , t }
D ( ) x 0
k 1 k k n

k 1
0
k 1
lim D ( x 0 k) k
0
k 1
n
故 Dirichlet 函数 [ 0 ,在 1 ] 上不可积
例3. 将下列极限转为定积分
1 1 1 ( 1 )lim ... n n 1n 2 n n
oax
1
x i 1 ixi
x n 1 b
x
[ x ,x 为底， f( 为高的小矩 2) 近似. 以 i 1 i] i)
A f ( x i i) i
3) 求和.
A A i f (i )xi
i 1
i1
n
n
4) 取极限.
当分割无限加细 ,即小区间的最大长度
第五章 定积分
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第五章
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
x x a 轴 与 两 条 直 线 、
y
y f( x )
y f ( x ) ( f ( x ) 0 ) 、
任 [ 取 x ,x ] 是有 ( k 1 , 理 , n ) k k 1 k
D ( ) x x 1 lim D ( x 1 k k k k) k
k 1 n n

n
另 [ 取 x , x ] 是无 ( k 1 , 理 , n ) k k 1 k
1 sin xdx . 0
i
xi
max{ x1,x2, xn} 趋近于零 ( 0)时，
lim f( x 曲边梯形面积为 A i) i
0 i 1
n
实例2 （求变速直线运动的路程）
设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度 vv (t)是 [ T t 的 时 间 间 隔 一 个 连 续 函 数 ， 且 1,T 2]上 求 物 体 在 这 段 时 间 内 所 经 过 的 路 程 . v (t) 0，
f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 时 ， 定理1 当
f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 有 界 ， 定理2 设
且 只 有 有 限 个 间 断 点 ， f ( x ) 则 在
[ a , b ] 区 间 上 可 积 .
四、定积分的几何意义
f( x ) 0 , f( x ) 0 ,
i 1
[a , b]上的定积分, 记作 a f (x) dx
即

lim f (i )xi a f (x)dx 0i 1
b
n
o ax1
i
x i 1 x i b
x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
f ( x ) dx I lim f ( ) x i i a 0 i 1
1 1 1 1 ... 原式 lim n n 1 2 n 1 1 1 n n n
lim
n
解:

n
i1
1 i n 1 n
1
x i
1 f ( x) 1 x
1 dx 0 1 x
1

i
1 ( n 1 ) 2 ( 2 ) lim sin sin sin n n n n n